PHAM Huyen

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Cette thèse vise à fournir des outils théoriques pour soutenir le développement et la gestion des énergies renouvelables intermittentes sur les marchés court terme de l'électricité.Dans la première partie, nous développons un modèle d'équilibre exploitable pour la formation des prix sur les marchés infrajournaliers de l'électricité. Pour cela, nous proposons un jeu non coopératif entre plusieurs producteurs interagissant sur le marché et faisant face à une production renouvelable intermittente. En utilisant la théorie des jeux et celle du contrôle stochastique, nous dérivons des stratégies optimales explicites pour ces producteurs ainsi qu'un prix d'équilibre en forme fermée pour différentes structures d'information et caractéristiques des joueurs. Notre modèle permet de reproduire et d'expliquer les principaux faits stylisés du marché intraday tels que la dépendance temporelle spécifique de la volatilité et la corrélation entre le prix et les prévisions de production renouvelable.Dans la deuxième partie, nous étudions des prévisions probabilistes dynamiques sous la forme de processus de diffusion. Nous proposons plusieurs modèles d'équations différentielles stochastiques pour capturer l'évolution dynamique de l'incertitude associée à une prévision, nous dérivons les densités prédictives associées et nous calibrons le modèle sur des données météorologiques réelles. Nous l'appliquons ensuite au problème d'un producteur éolien recevant des mises à jour séquentielles des prévisions probabilistes de la vitesse du vent, utilisées pour prédire sa production, et prendre des décisions d'achat ou de vente sur le marché. Nous montrons dans quelle mesure cette méthode peut être avantageuse comparée à l'utilisation de prévisions ponctuelles dans les processus décisionnels.Enfin, dans la dernière partie, nous proposons d'étudier les propriétésdes réseaux de neurones peu profonds agrégés. Nous explorons le cadre PAC-Bayesien comme alternative à l'approche classique de minimisation du risque empirique. Nous nous concentrons sur les priors Gaussiens et dérivons des bornes de risque non asymptotiques pour les réseaux de neurones agrégés. Ces bornes donnent des vitesses de convergence minimax pour l'estimation dans des espaces de Sobolev.Cette analyse fournit également une base théorique pour le réglage des paramètres et offre de nouvelles perspectives pour des applicationsdes réseaux de neurones agrégés à des problèmes pratiques de haute dimension, de plus en plus présents dans les processus de décision liés à l'énergie et impliquant des moyens de production renouvelable ou du stockage.

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Cet article présente des techniques d'apprentissage automatique et des algorithmes profonds basés sur l'apprentissage par renforcement pour la résolution efficace d'équations différentielles partielles non linéaires et de problèmes d'optimisation dynamique liés aux décisions d'investissement et à l'évaluation des produits dérivés en ingénierie financière. Nous passons en revue les résultats récents de la littérature, nous présentons les nouveaux développements, notamment dans le cas entièrement non linéaire, et nous comparons les différents schémas illustrés par des tests numériques sur diverses applications financières. Nous concluons en soulignant certaines directions de recherche futures.

Les méthodes d'apprentissage automatique pour la résolution d'équations différentielles partielles (EDP) non linéaires sont des sujets d'actualité brûlants, et différents algorithmes proposés dans la littérature montrent une approximation numérique efficace en haute dimension. Dans cet article, nous introduisons une classe d'EDP invariantes aux permutations, appelées EDP symétriques. De tels problèmes sont très répandus, allant de la cosmologie à la mécanique quantique, en passant par l'évaluation et la couverture des options sur un marché multi-actifs avec des gains échangeables. Notre principale application provient en fait de l'approximation par les particules des problèmes de contrôle du champ moyen. Nous concevons des algorithmes d'apprentissage profond basés sur certains types de réseaux neuronaux, nommés PointNet et DeepSet (et leurs réseaux dérivés associés), pour calculer simultanément une approximation de la solution et son gradient aux EDP symétriques. Nous illustrons la performance et la précision des réseaux PointNet/DeepSet par rapport aux réseaux feedforward classiques, et fournissons plusieurs résultats numériques de notre algorithme pour les exemples d'un risque systémique à champ moyen, d'un problème de variance moyenne et d'un problème de contrôle McKean-Vlasov linéaire quadratique min/max.

Nous établissons l'existence et l'unicité des équations de Riccati en dimension infinie prenant des valeurs dans l'espace de Banach $L^1(\mu \otimes \mu)$ pour certaines mesures matricielles signées $\mu$ qui ne sont pas nécessairement finies. De telles équations peuvent être considérées comme l'analogue infiniment dimensionnel des équations de Riccati matricielles, et elles apparaissent dans la théorie du contrôle linéaire-quadratique des équations stochastiques de Volterra.

Nous prouvons un taux de convergence d'ordre 1/N pour l'approximation à N particules d'une équation différentielle partielle du second ordre dans l'espace des mesures de probabilité, comme l'équation de Master ou l'équation de Bellman du problème de contrôle du champ moyen sous bruit commun. La preuve repose sur des techniques d'équations différentielles stochastiques à rebours.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous appliquons la théorie Principal-Agent à certains problèmes de microstructure de marché. Premièrement, nous développons une politique d’incitation afin d’améliorer la qualité de la liquidité de marché dans le cadre d’une activité de market-making dans un lit et un dark pool gérés par la même bourse d’échange. Puis, nous adaptions ce design d’incitations à la régulation de l’activité de market-making lorsque plusieurs market-makers sont en concurrence sur une plateforme. Nous proposons également une forme d’incitation basée sur le choix de tailles de ticks asymétriques à l’achat et à la vente sur un actif. Nous abordons ensuite la question de la conception d’un marché de produits dérivés, en utilisant une méthode de quantization pour sélectionner les options listées sur la plateforme, et la théorie Principal-Agent pour créer des incitations pour un market-maker d’options. Enfin, nous développons un mécanisme d’incitations robuste à la spécification de modèle pour augmenter l’investissement dans les obligations vertes.La deuxime partie de cette thèse est consacrée au market-making d’options en grande dimension. En faisant l’hypothèse de grecques constants nous proposons dans un premier temps un modèle pour traiter les options de longue maturité. Puis nous proposons une approximation de la fonction valeur permettant de traiter les grecques non-constants et les options de courte maturité. Enfin, nous développons un modèle pour la dynamique haute fréquence de la surface de volatilité implicite. En utilisant des processus Hawkes multidimensionnels, nous montrons comment ce modèle peut reproduire de nombreux faits stylisés tels que le skew, le smile et la structure par termes de la surface.La dernière partie de cette thèse est consacrée aux problèmes de trading optimal en grande dimension. Dans un premier temps, nous développons un modèle pour le trading optimal d’actions listées sur plusieurs plateformes. Pour un grand nombre de plateformes, nous utilisons une méthode d’apprentissage par renforcement profond pour calculer les contrôles optimaux du trader. Puis, nous proposons une méthodologie pour résoudre des problèmes de trading de façon approximativement optimale sans utiliser la théorie du contrôle stochastique. Nous présentons un modèle dans lequel un agent exhibe un comportement approximativement optimal s’il utilise le gradient de la trajectoire macroscopique comme signal de court terme. Enfin, nous présentons deux nouveaux développements sur la littérature d’exécution optimale. Tout d’abord, nous montrons que nous pouvons obtenir une solution analytique au problème d’exécution d’Almgren-Chriss avec mouvement Brownien géométrique et pénalité quadratique. Deuxièmement, nous proposons une application du modèle de carnet d’ordres latent au problème d’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs, dans le cadre de stress tests de liquidité.

Nous étudions l'équation de Bellman dans l'espace de Wasserstein qui apparaît dans l'étude des problèmes de contrôle du champ moyen, à savoir les problèmes de contrôle optimal stochastique pour les processus de diffusion de McKean-Vlasov. En utilisant la notion standard de solution de viscosité à la Crandall-Lions étendue à notre cadre de Wasserstein, nous prouvons un résultat de comparaison sous des conditions générales, qui, couplé au principe de programmation dynamique, implique que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Bellman maître. Il s'agit du premier résultat d'unicité dans un tel contexte du second ordre. Les arguments classiques utilisés dans les cas standard d'équations dans des espaces à dimensions finies ou dans des espaces de Hilbert séparables à dimensions infinies ne s'étendent pas au présent cadre, en raison de la nature maladroite de l'espace de Wasserstein sous-jacent. La stratégie adoptée est basée sur des approximations en dimension finie de la fonction de valeur obtenue en termes de jeu coopératif à n joueurs, et sur la construction d'une fonction de type jauge lisse, construite à partir d'une régularisation d'une estimation sharpe de la métrique de Wasserstein. Une telle fonction de type jauge est utilisée pour générer des maxima/minima par une extension appropriée de la généralisation de Borwein-Preiss du principe variationnel d'Ekeland sur l'espace de Wasserstein.

Cette thèse est divisée en quatre parties pouvant être lues indépendamment. Dans ce manuscrit, nous apportons quelques contributions à l’étude théorique et aux applications en finance de la quantification optimale. Dans la première partie, nous rappelons les fondements théoriques de la quantification optimale ainsi que les méthodes numériques classiques pour construire des quantifieurs optimaux. La seconde partie se concentre sur le problème d’intégration numérique en dimension 1. Ce problème apparait lorsque l’on souhaite calculer numériquement des espérances, tel que l’évaluation de produits dérivés. Nous y rappelons les résultats d’erreurs forts et faibles existants et étendons les résultats des convergences d’ordre 2 à d’autres classes de fonctions moins réguliers. Dans un deuxième temps, nous présentons un résultat de développement d’erreur faible en dimension 1 et un second développement en dimension supérieure pour un quantifieur produit. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à une première application numérique. Nous introduisons un modèle de Heston stationnaire dans lequel la condition initiale de la volatilité est supposée aléatoire de loi la distribution stationnaire de l’EDS du CIR régissant la volatilité. Cette variante du modèle de Heston original produit pour les options européennes sur les maturités courtes un smile de volatilité implicite plus prononcé que le modèle standard. Nous développons ensuite une méthode numérique à base de quantification récursive produit pour l’évaluation d’options bermudiennes et barrières. La quatrième et dernière partie traite d’une deuxième application numérique, l’évaluation d’options bermudiennes sur taux de change dans un modèle 3 facteurs. Ces produits sont connus sur les marchés sous le noms de PRDC. Nous proposons deux schémas pour évaluer ce type d’options toutes deux basées sur de la quantification optimale produit et établissons des estimations d’erreur à priori.

Nous proposons un cadre de modélisation microstructurelle pour étudier les politiques optimales de tenue de marché dans un carnet d'ordres à cours limité (LOB) FIFO (first in first out). Dans ce contexte, les arrivées d'ordres à cours limité, d'ordres au marché et d'ordres d'annulation dans le LOB sont modélisées comme des processus ponctuels de Cox dont l'intensité ne dépend que de l'état du LOB. Ce sont des modèles à haute dimension qui sont réalistes du point de vue de la micro-structure et qui ont été récemment développés dans la littérature. Dans ce contexte, nous considérons un teneur de marché qui est prêt à acheter et vendre des actions sur une base régulière et continue à un prix coté publiquement, et identifie les stratégies qui maximisent son P&L pénalisé par son inventaire. Nous appliquons la théorie des processus de décision de Markov et la méthode de programmation dynamique pour caractériser analytiquement les solutions à notre problème de tenue de marché optimale. La deuxième partie de l'article traite de l'aspect numérique du problème de négociation à haute dimension. Nous utilisons une méthode de randomisation de contrôle combinée à une méthode de quantification pour calculer les stratégies optimales. Plusieurs tests de calcul sont effectués sur des données simulées pour illustrer l'efficacité de la stratégie optimale calculée. En particulier, nous avons simulé un carnet d'ordres avec des intensités constantes/ symétriques/ asymétriques/ dépendantes de l'état, et nous avons comparé la stratégie optimale calculée avec des stratégies naïves.

Cet article étudie une variation de la sélection de portefeuille moyenne-variance en temps continu où une pénalisation de l'erreur de suivi est ajoutée au critère de moyenne-variance. Le terme de tracking error pénalise la distance entre les commandes d'allocation et un portefeuille de référence avec la même richesse et des pondérations fixes. Cette considération est motivée comme suit : (i) D'une part, c'est un moyen de robustifier l'allocation moyenne-variance en cas de paramètres mal spécifiés, en l'"ajustant" à un portefeuille de référence qui peut être agnostique aux paramètres du marché. (ii) D'autre part, il s'agit d'une procédure pour suivre un benchmark et améliorer le ratio de Sharpe du portefeuille résultant en considérant un critère de moyenne-variance dans la fonction objectif. Ce problème est formulé comme un problème de contrôle McKean-Vlasov. Nous fournissons des solutions explicites pour la stratégie de portefeuille optimale et des développements asymptotiques de la stratégie de portefeuille et de la frontière efficiente pour de petites valeurs du paramètre de l'erreur de suivi. Enfin, nous comparons les ratios de Sharpe obtenus par l'allocation standard moyenne-variance et l'allocation pénalisée pour quatre différents portefeuilles de référence : poids égaux, minimum-variance, contributions égales au risque et portefeuille rétrécissant. Cette comparaison est effectuée sur un modèle simulé mal spécifié, et sur un backtest réalisé avec des données historiques. Nos résultats montrent que dans la plupart des cas, le portefeuille pénalisé surpasse en termes de ratio de Sharpe à la fois la moyenne-variance standard et le portefeuille de référence.

Cet article étudie une variation de la sélection de portefeuille moyenne-variance en temps continu où une pénalisation de l'erreur de suivi est ajoutée au critère de moyenne-variance. Le terme de tracking error pénalise la distance entre les commandes d'allocation et un portefeuille de référence avec la même richesse et des pondérations fixes. Cette considération est motivée comme suit : (i) D'une part, c'est un moyen de robustifier l'allocation moyenne-variance en cas de paramètres mal spécifiés, en l'"ajustant" à un portefeuille de référence qui peut être agnostique aux paramètres du marché. (ii) D'autre part, il s'agit d'une procédure pour suivre un benchmark et améliorer le ratio de Sharpe du portefeuille résultant en considérant un critère de moyenne-variance dans la fonction objectif. Ce problème est formulé comme un problème de contrôle McKean-Vlasov. Nous fournissons des solutions explicites pour la stratégie de portefeuille optimale et des développements asymptotiques de la stratégie de portefeuille et de la frontière efficiente pour de petites valeurs du paramètre de l'erreur de suivi. Enfin, nous comparons les ratios de Sharpe obtenus par l'allocation standard moyenne-variance et l'allocation pénalisée pour quatre différents portefeuilles de référence : poids égaux, minimum-variance, contributions égales au risque et portefeuille rétrécissant. Cette comparaison est effectuée sur un modèle simulé mal spécifié, et sur un backtest réalisé avec des données historiques. Nos résultats montrent que dans la plupart des cas, le portefeuille pénalisé surpasse en termes de ratio de Sharpe à la fois la moyenne-variance standard et le portefeuille de référence.

Cet article concerne la sélection de portefeuille avec de multiples actifs sous une matrice de covariance grossière. Nous étudions le problème de la moyenne-variance de Markowitz en temps continu pour une classe multivariée de modèles affines et quadratiques de Volterra. Dans ce cadre de marché incomplet non-markovien et non-semimartingale avec des coefficients aléatoires non bornés, la stratégie optimale de portefeuille est exprimée au moyen d'une équation différentielle stochastique inverse de Riccati (BSDE). Dans le cas de modèles affines de Volterra, nous dérivons des solutions explicites de cette BSDE en termes d'équations multidimensionnelles de Riccati-Volterra. Ce cadre inclut les modèles de Heston affines multivariés et étend les résultats de \cite{han2019mean}. Dans le cas quadratique, nous obtenons de nouvelles formules analytiques pour les BSDE de Riccati et nous établissons leur lien avec les équations de Riccati de dimension infinie. Ceci couvre les modèles de covariance approximatifs de type Stein-Stein et Wishart. Des résultats numériques sur un modèle de Stein-Stein rugueux à deux dimensions illustrent l'impact des volatilités rugueuses et des corrélations stochastiques sur la stratégie optimale de Markowitz. En particulier, pour les actifs positivement corrélés, nous trouvons que la stratégie optimale dans notre modèle est une stratégie d'"achat brut et de vente lisse".

Cet article concerne la sélection de portefeuille avec de multiples actifs sous une matrice de covariance grossière. Nous étudions le problème de la moyenne-variance de Markowitz en temps continu pour une classe multivariée de modèles affines et quadratiques de Volterra. Dans ce cadre de marché incomplet non-markovien et non-semimartingale avec des coefficients aléatoires non bornés, la stratégie optimale de portefeuille est exprimée au moyen d'une équation différentielle stochastique inverse de Riccati (BSDE). Dans le cas de modèles affines de Volterra, nous dérivons des solutions explicites de cette BSDE en termes d'équations multidimensionnelles de Riccati-Volterra. Ce cadre inclut les modèles de Heston affines multivariés et étend les résultats de \cite{han2019mean}. Dans le cas quadratique, nous obtenons de nouvelles formules analytiques pour les BSDE de Riccati et nous établissons leur lien avec les équations de Riccati de dimension infinie. Ceci couvre les modèles de covariance approximatifs de type Stein-Stein et Wishart. Des résultats numériques sur un modèle de Stein-Stein rugueux à deux dimensions illustrent l'impact des volatilités rugueuses et des corrélations stochastiques sur la stratégie optimale de Markowitz. En particulier, pour les actifs positivement corrélés, nous trouvons que la stratégie optimale dans notre modèle est une stratégie d'"achat brut et de vente lisse".

Cet article étudie une variation de la sélection de portefeuille moyenne-variance en temps continu où une pénalisation de l'erreur de suivi est ajoutée au critère de moyenne-variance. Le terme de tracking error pénalise la distance entre les commandes d'allocation et un portefeuille de référence avec la même richesse et des pondérations fixes. Cette considération est motivée comme suit : (i) D'une part, c'est un moyen de robustifier l'allocation moyenne-variance en cas de paramètres mal spécifiés, en l'"ajustant" à un portefeuille de référence qui peut être agnostique aux paramètres du marché. (ii) D'autre part, il s'agit d'une procédure pour suivre un benchmark et améliorer le ratio de Sharpe du portefeuille résultant en considérant un critère de moyenne-variance dans la fonction objectif. Ce problème est formulé comme un problème de contrôle McKean-Vlasov. Nous fournissons des solutions explicites pour la stratégie de portefeuille optimale et des développements asymptotiques de la stratégie de portefeuille et de la frontière efficiente pour de petites valeurs du paramètre de l'erreur de suivi. Enfin, nous comparons les ratios de Sharpe obtenus par l'allocation standard moyenne-variance et l'allocation pénalisée pour quatre différents portefeuilles de référence : poids égaux, minimum-variance, contributions égales au risque et portefeuille rétrécissant. Cette comparaison est effectuée sur un modèle simulé mal spécifié, et sur un backtest réalisé avec des données historiques. Nos résultats montrent que dans la plupart des cas, le portefeuille pénalisé surpasse en termes de ratio de Sharpe à la fois la moyenne-variance standard et le portefeuille de référence.

Nous proposons de nouveaux schémas d'apprentissage automatique pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires de haute dimension. S'appuyant sur la représentation classique d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE) des EDP, nos algorithmes estiment simultanément la solution et son gradient par des réseaux neuronaux profonds. Ces approximations sont réalisées à chaque pas de temps à partir de la minimisation de fonctions de perte définies récursivement par rétro-induction. La méthodologie est étendue aux inégalités variationnelles qui apparaissent dans les problèmes d'arrêt optimal. Nous analysons la convergence des schémas d'apprentissage profond et fournissons des estimations d'erreur en termes d'approximation universelle des réseaux neuronaux. Les résultats numériques montrent que nos algorithmes donnent de très bons résultats jusqu'à la dimension 50 (et certainement au-delà), à la fois pour les problèmes d'EDP et d'inégalités variationnelles. Pour la résolution des EDP, nos résultats sont très similaires à ceux obtenus par la méthode récente de \cite{weinan2017deep} lorsque cette dernière converge vers la bonne solution ou ne diverge pas. Les tests numériques indiquent que les méthodes proposées ne sont pas bloquées dans des minima locaux pauvres comme cela peut être le cas avec l'algorithme conçu dans \cite{weinan2017deep}, et aucune divergence n'est expérimentée. La seule limite semble être due à l'incapacité des réseaux neuronaux profonds considérés à représenter une solution avec une structure trop complexe en haute dimension.

Nous développons des schémas d'apprentissage automatique à plusieurs étapes pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires en haute dimension. La méthode est basée sur la représentation probabiliste des EDP par des équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE) et leur discrétisation temporelle itérée. Dans le cas d'EDP semi-linéaires, notre algorithme estime simultanément par rétro-induction la solution et son gradient par des réseaux neuronaux à travers des minimisations séquentielles de fonctions de perte quadratiques appropriées qui sont effectuées par descente de gradient stochastique. L'approche est étendue au cas plus difficile des EDP entièrement non linéaires, et nous proposons différentes approximations du Hessien de la solution de l'EDP, c'est-à-dire la composante $\Gamma$ de l'EDPS, en combinant des poids de Malliavin et des réseaux neuronaux. Des tests numériques approfondis sont effectués avec divers exemples d'EDP semi-linéaires, y compris l'équation de Burgers visqueuse, et des exemples d'EDP entièrement non linéaires comme les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman qui se posent dans les problèmes de sélection de portefeuille avec des volatilités stochastiques, ou les équations de Monge-Ampère en dimension jusqu'à 15. La performance et la précision de nos résultats numériques sont comparées à d'autres algorithmes d'apprentissage automatique récents dans la littérature, voir \cite{HJE17}, \cite{HPW19}, \cite{BEJ19}, \cite{BBCJN19} et \cite{phawar19}. En outre, nous fournissons une analyse rigoureuse de l'erreur d'approximation du schéma arrière profond à plusieurs étapes ainsi que de la méthode de fractionnement profonde pour les EDP semi-linéaires, qui donne un taux de convergence en termes de nombre de neurones pour les réseaux neuronaux peu profonds.

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Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.

La présente thèse est une étude de différents problèmes d'allocation optimale de portefeuilles dans le cas où le taux d'appréciation, appelé le drift, du mouvement brownien de la dynamique des actifs est incertain. Nous considérons un investisseur ayant une croyance sur le drift sous la forme d'une distribution de probabilité, appelée a priori. L'incertitude sur le drift est prise en compte par une approche d'apprentissage bayésien qui permet de mettre à jour la distribution de probabilité a priori du drift. La thèse est divisée en deux parties autonomes . la première partie contient deux chapitres : le premier développe les résultats théoriques, et le second contient une application détaillée de ces résultats sur des données de marché. La première partie de la thèse est consacrée au problème de sélection de portefeuilles de Markowitz dans le cas multidimensionnel avec incertitude de drift. Cette incertitude est modélisée via une loi arbitraire a priori qui est mise à jour à l'aide du filtrage bayésien. Nous avons d'abord transformé le problème de Markowitz bayésien en un problème auxiliaire standard de contrôle pour lequel la programmation dynamique est appliquée. Ensuite, nous montrons l'existence et l'unicité d'une solution régulière à l'équation aux dérivées partielles (EDP) semi-linéaire associée. Dans le cas d'une distribution a priori gaussienne, la solution multidimensionnelle est explicitement calculée. De plus, nous étudions l'impact quantitatif de l'apprentissage à partir des données progressivement observées, en comparant la stratégie qui met à jour l'estimation du drift, appelée stratégie apprenante, à celle qui la maintient constante, appelée stratégie non-apprenante. Pour finir, nous analysons la sensibilité du gain lié à l'apprentissage, appelé valeur d'information ou valeur informative, par rapport à différents paramètres. Ensuite, nous illustrons la théorie avec une application détaillée des résultats précédents à des données historiques de marché. Nous soulignons la robustesse de la valeur ajoutée de l'apprentissage en comparant les stratégies optimales apprenante et non-apprenante dans différents univers d'investissement : indices de différentes classes d'actifs, devises et stratégies smart beta. La deuxième partie aborde un problème d'optimisation de portefeuilles en temps discret. Ici, l'objectif de l'investisseur est de maximiser l'espérance de l'utilité de la richesse terminale d'un portefeuille d'actifs risqués, en supposant un drift incertain et une contrainte de maximum drawdown satisfaite. Dans cette partie, nous formulons le problème dans le cas général, et nous résolvons numériquement le cas gaussien avec la fonction d'utilité de type constant relative risk aversion (CRRA), via un algorithme d'apprentissage profond. Finalement, nous étudions la sensibilité de la stratégie au degré d'incertitude entourant l'estimation du drift et nous illustrons empiriquement la convergence de la stratégie non-apprenante vers un problème de Merton contraint, sans vente à découvert.

Nous étudions le contrôle optimal d'équations de McKean-Vlasov dépendantes du chemin et évaluées dans des espaces de Hilbert, motivées par des modèles de champs moyens non markoviens pilotés par des EDP stochastiques. Nous établissons d'abord le caractère bien posé de l'équation d'état, puis nous prouvons le principe de programmation dynamique (DPP) dans un tel cadre général. La propriété cruciale d'invariance des lois de la fonction de valeur V est rigoureusement obtenue, ce qui signifie que V peut être considéré comme une fonction sur l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues évaluées dans un espace de Hilbert. Nous définissons ensuite une notion de dérivée de mesure par chemin, qui étend la dérivée de Wasserstein due à Lions [41], et prouvons une formule d'Itô fonctionnelle connexe dans l'esprit de Dupire [24] et de Wu et Zhang [51]. L'équation de Bellman principale est dérivée de la DPP au moyen d'une notion appropriée de solution de viscosité. Nous fournissons différentes formulations et simplifications d'une telle équation de Bellman notamment dans le cas particulier où il n'y a pas de dépendance à la loi de contrôle.

Nous formulons un modèle d'équilibre des échanges intrajournaliers sur les marchés de l'électricité. Les agents font face à des contraintes d'équilibre entre la consommation de leurs clients plus les ventes intrajournalières et leur production plus les achats intrajournaliers. Ils ont une prévision continuellement mise à jour de la consommation de leurs clients à l'échéance avec une erreur de volatilité décroissante. Les prévisions sont sujettes au bruit idiosyncratique ainsi qu'au bruit commun (météo). Les capacités de production des agents sont soumises à des pannes aléatoires indépendantes, qui sont chacune modélisées par une chaîne de Markov. Le prix d'équilibre est défini comme le prix qui minimise le coût d'échange plus le coût de déséquilibre de chaque agent et qui satisfait la condition habituelle de compensation du marché. L'existence et l'unicité de l'équilibre sont prouvées, et nous montrons que le prix d'équilibre et les stratégies d'échange optimales sont des martingales. Les principales conclusions économiques sont les suivantes. (i) Lorsqu'il n'y a pas d'incertitude sur la production, il est démontré que le prix du marché est une combinaison convexe du coût marginal prévu de chaque agent, avec des poids déterministes. De plus, le prix du marché d'équilibre suit le modèle d'Almgren et Chriss et nous identifions la partie fondamentale ainsi que l'impact permanent sur le marché. Il s'avère que l'hétérogénéité entre les agents est une condition nécessaire pour que l'effet de Samuelson se vérifie. (ii) Lorsqu'il y a une incertitude de production, la volatilité des prix devient stochastique mais converge vers le cas sans incertitude de production lorsque le nombre d'agents augmente à l'infini. De plus, sur un cas à deux agents, nous montrons que les pannes potentielles d'un producteur à faible coût marginal réduisent sa position de vente.

Cette thèse propose des modèles et des méthodes pour étudier le contrôle du risque dans de larges systèmes financiers. Nous proposons dans une première partie une approche structurelle : nous considérons un système financier représenté comme un réseau d’institutions connectées entre elles par des interactions stratégiques sources de financement mais également par des interactions qui les exposent à un risque de contagion de défaut. La nouveauté de notre approche réside dans le fait que ces deux types d’interaction interfèrent. Nous proposons des nouvelles notions d’équilibre pour ces systèmes et étudions la connectivité optimale du réseau et le risque systémique associé. Dans une deuxième partie, nous introduisons des mesures de risque systémique définies par des équations différentielles stochastiques rétrogrades dirigées par des opérateurs à champ moyen et étudions des problèmes d’arrêt optimal associés. La dernière partie aborde des questions de liquidation optimale de portefeuilles.

La thèse porte sur les schémas numériques pour les problèmes de décisions Markoviennes (MDPs), les équations aux dérivées partielles (EDPs), les équations différentielles stochastiques rétrogrades (ED- SRs), ainsi que les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRs réfléchies). La thèse se divise en trois parties.La première partie porte sur des méthodes numériques pour résoudre les MDPs, à base de quan- tification et de régression locale ou globale. Un problème de market-making est proposé: il est résolu théoriquement en le réécrivant comme un MDP. et numériquement en utilisant le nouvel algorithme. Dans un second temps, une méthode de Markovian embedding est proposée pour réduire des prob- lèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle à des MDPs. Cette méthode est mise en œuvre sur trois différents problèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle, qui sont par la suite numériquement résolus en utilisant des méthodes numériques à base de régression et de quantification.Dans la seconde partie, on propose de nouveaux algorithmes pour résoudre les MDPs en grande dimension. Ces derniers reposent sur les réseaux de neurones, qui ont prouvé en pratique être les meilleurs pour apprendre des fonctions en grande dimension. La consistance des algorithmes proposés est prouvée, et ces derniers sont testés sur de nombreux problèmes de contrôle stochastique, ce qui permet d’illustrer leurs performances.Dans la troisième partie, on s’intéresse à des méthodes basées sur les réseaux de neurones pour résoudre les EDPs, EDSRs et EDSRs réfléchies. La convergence des algorithmes proposés est prouvée. et ces derniers sont comparés à d’autres algorithmes récents de la littérature sur quelques exemples, ce qui permet d’illustrer leurs très bonnes performances.

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Nous développons une étude exhaustive du processus de décision de Markov (MDP) sous interaction de champ moyen à la fois sur les états et les actions en présence d'un bruit commun, et lorsque l'optimisation est effectuée sur des contrôles en boucle ouverte sur un horizon infini. Un tel modèle, appelé CMKV-MDP pour conditional McKean-Vlasov MDP, se présente et est obtenu ici rigoureusement avec un taux de convergence comme le problème asymptotique de N agents coopératifs contrôlés par un planificateur/influenceur social qui observe les bruits de l'environnement mais pas nécessairement les états individuels des agents. Nous soulignons le rôle crucial des contrôles relaxés et de l'hypothèse de randomisation pour cette classe de modèles par rapport à la théorie classique des MDP. Nous prouvons la correspondance entre le PDM CMKV et un PDM levé général sur l'espace des mesures de probabilité, et établissons l'équation du point fixe de Bellman de la programmation dynamique satisfaite par la fonction de valeur, ainsi que l'existence de contrôles de rétroaction aléatoires optimaux. Les arguments de la preuve impliquent un couplage optimal mesurable original pour la distance de Wasserstein. Ceci fournit une procédure pour l'apprentissage de stratégies dans une grande population d'agents collaboratifs en interaction. Classification MSC : 90C40, 49L20.

Nous établissons l'existence et l'unicité des équations de Riccati de dimension infinie prenant des valeurs dans l'espace de Banach L 1 (µ ⊗ µ) pour certaines mesures matricielles signées µ qui ne sont pas nécessairement finies. De telles équations peuvent être considérées comme l'analogue en dimension infinie des équations de Riccati matricielles et elles apparaissent dans la théorie du contrôle linéaire-quadratique des équations stochastiques de Volterra.

Nous fournissons un traitement exhaustif des problèmes de contrôle linéaire-quadratique pour une classe d'équations stochastiques de Volterra de type convolution, dont les noyaux sont des transformées de Laplace de certaines mesures matricielles signées qui ne sont pas nécessairement finies. Ces équations ne sont en général ni markoviennes ni semimartingales, et incluent le mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst inférieur à $1/2$ comme cas particulier. Nous établissons la correspondance du problème initial avec un problème markovien de dimension éventuellement infinie dans un espace de Banach, ce qui nous permet d'identifier les variables d'état contrôlées markoviennes. En utilisant un argument raffiné de vérification des martingales combiné à une technique de complétion des carrés, nous prouvons que la fonction de valeur est de forme quadratique linéaire dans ces variables d'état avec un contrôle optimal linéaire par rétroaction, dépendant d'équations de Riccati non standard évaluées dans un espace de Banach. De plus, nous montrons que la fonction de valeur du problème d'optimisation stochastique de Volterra peut être approximée par celle des problèmes classiques markoviens linéaires quadratiques de dimension finie, ce qui est d'une importance cruciale pour la mise en œuvre numérique.

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

Nous proposons une méthode numérique pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) entièrement non linéaires de haute dimension. Notre algorithme estime simultanément par induction temporelle arrière la solution et son gradient par des réseaux de neurones multicouches, à travers une séquence de problèmes d'apprentissage obtenus à partir de la minimisation de fonctions de perte quadratiques appropriées et de simulations d'entraînement. Cette méthodologie étend au cas totalement non-linéaire l'approche récemment proposée dans [HPW19] pour les EDP semi-linéaires. Des tests numériques illustrent la performance et la précision de notre méthode sur plusieurs exemples en haute dimension avec non-linéarité sur le terme hessien incluant un problème de contrôle quadratique linéaire avec contrôle sur le coefficient de diffusion.

Nous proposons un cadre de modélisation microstructurelle pour étudier les politiques optimales de tenue de marché dans un carnet d'ordres à cours limité (LOB) FIFO (first in first out). Dans ce contexte, les arrivées d'ordres à cours limité, d'ordres au marché et d'ordres d'annulation dans le LOB sont modélisées comme des processus ponctuels de Cox dont l'intensité ne dépend que de l'état du LOB. Ce sont des modèles à haute dimension qui sont réalistes du point de vue de la micro-structure et qui ont été récemment développés dans la littérature. Dans ce contexte, nous considérons un teneur de marché qui est prêt à acheter et vendre des actions sur une base régulière et continue à un prix coté publiquement, et identifie les stratégies qui maximisent son P&L pénalisé par son inventaire. Nous appliquons la théorie des processus de décision de Markov et la méthode de programmation dynamique pour caractériser analytiquement les solutions à notre problème de tenue de marché optimale. La deuxième partie de l'article traite de l'aspect numérique du problème de négociation à haute dimension. Nous utilisons une méthode de randomisation de contrôle combinée à une méthode de quantification pour calculer les stratégies optimales. Plusieurs tests de calcul sont effectués sur des données simulées pour illustrer l'efficacité de la stratégie optimale calculée. En particulier, nous avons simulé un carnet d'ordres avec des intensités constantes/ symétriques/ asymétriques/ dépendantes de l'état, et nous avons comparé la stratégie optimale calculée avec des stratégies naïves.

Cet article présente plusieurs applications numériques des algorithmes basés sur l'apprentissage profond qui ont été introduits dans [HPBL18]. Des tests numériques et comparatifs utilisant TensorFlow illustrent les performances de nos différents algorithmes, à savoir l'apprentissage de contrôle par itération de performance (algorithmes NNcontPI et ClassifPI), l'apprentissage de contrôle par itération hybride (algorithmes Hybrid-Now et Hybrid-LaterQ), sur les exemples d'EDP non linéaires à 100 dimensions de [EHJ17] et sur des équations différentielles stochastiques quadratiques à rebours comme dans [CR16]. Nous avons également effectué des tests sur des problèmes de contrôle de basse dimension tels qu'un problème de couverture d'option en finance, ainsi que des problèmes de stockage d'énergie se posant dans l'évaluation du stockage de gaz et dans la gestion des micro-réseaux. Des résultats numériques et des comparaisons avec des algorithmes de type quantification sont également fournis. Qknn, en tant qu'algorithme efficace pour résoudre numériquement des problèmes de contrôle de faible dimension, et certains codes correspondants sont disponibles sur https://github.com/comeh/.

Nous proposons de nouveaux schémas d'apprentissage automatique pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires de haute dimension. S'appuyant sur la représentation classique d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE) des EDP, nos algorithmes estiment simultanément la solution et son gradient par des réseaux neuronaux profonds. Ces approximations sont réalisées à chaque pas de temps à partir de la minimisation de fonctions de perte définies récursivement par rétro-induction. La méthodologie est étendue aux inégalités variationnelles qui apparaissent dans les problèmes d'arrêt optimal. Nous analysons la convergence des schémas d'apprentissage profond et fournissons des estimations d'erreur en termes d'approximation universelle des réseaux neuronaux. Les résultats numériques montrent que nos algorithmes donnent de très bons résultats jusqu'à la dimension 50 (et certainement au-delà), à la fois pour les problèmes d'EDP et d'inégalités variationnelles. Pour la résolution des EDP, nos résultats sont très similaires à ceux obtenus par la méthode récente de \cite{weinan2017deep} lorsque cette dernière converge vers la bonne solution ou ne diverge pas. Les tests numériques indiquent que les méthodes proposées ne sont pas bloquées dans des minima locaux pauvres comme cela peut être le cas avec l'algorithme conçu dans \cite{weinan2017deep}, et aucune divergence n'est expérimentée. La seule limite semble être due à l'incapacité des réseaux neuronaux profonds considérés à représenter une solution avec une structure trop complexe en haute dimension.

Nous étudions le problème de sélection de portefeuille de Markowitz avec un vecteur de dérive inconnu dans le cadre multidimensionnel. La croyance préalable sur le taux de rendement attendu incertain est modélisée par une loi de probabilité arbitraire, et une approche bayésienne de la théorie du filtrage est utilisée pour apprendre la distribution postérieure sur la dérive étant donné les données de marché observées des actifs. Le problème bayésien de Markowitz est ensuite intégré dans un problème de contrôle standard auxiliaire que nous caractérisons par une méthode de programmation dynamique et prouvons l'existence et l'unicité d'une solution lisse à l'équation différentielle partielle (EDP) semi-linéaire correspondante. La stratégie optimale de portefeuille de Markowitz est calculée explicitement dans le cas d'une distribution préalable gaussienne. Enfin, nous mesurons l'impact quantitatif de l'apprentissage, en mettant à jour la stratégie à partir des données observées, par rapport au non-apprentissage, en utilisant une dérive constante dans un contexte incertain, et nous analysons la sensibilité de la valeur de l'information en fonction de divers paramètres pertinents de notre modèle.

Nous considérons un jeu différentiel stochastique multi-joueurs avec une dynamique linéaire de McKean-Vlasov et une fonctionnelle de coût quadratique dépendant de la variance et de la moyenne de l'état et des actions de contrôle des joueurs en boucle ouverte. Les problèmes à horizon fini et infini avec éventuellement des coefficients aléatoires ainsi qu'un bruit commun sont abordés. Nous proposons une approche directe simple basée sur le principe d'optimalité des martingales faibles ainsi qu'un argument de point fixe dans l'espace des contrôles pour résoudre ce problème de jeu. Les équilibres de Nash sont caractérisés en termes de systèmes d'équations différentielles ordinaires de Riccati et d'équations différentielles stochastiques rétroactives linéaires à champ moyen : des conditions d'existence et d'unicité sont fournies pour ces systèmes. Enfin, nous illustrons nos résultats sur un exemple fictif.

Nous étudions un problème de contrôle optimal stochastique pour une diffusion partiellement observée. En utilisant la méthode de randomisation du contrôle dans [4], nous prouvons un principe de programmation dynamique (DPP) randomisé correspondant pour la fonction de valeur, qui est obtenu à partir d'une propriété de flux d'un processus de filtrage associé. Ce DPP est l'étape clé vers notre résultat principal : une caractérisation de la fonction de valeur du problème de contrôle d'observation partielle en tant que solution unique de viscosité à l'équation de programmation dynamique correspondante de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Cette dernière est formulée comme une nouvelle équation différentielle partielle entièrement non linéaire sur l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité. Une caractéristique importante de notre approche est qu'elle ne requiert aucune condition de non-dégénérescence sur le coefficient de diffusion, et aucune condition n'est imposée pour garantir l'existence d'une densité pour la solution du processus de filtrage à l'équation de Zakai contrôlée, comme cela est généralement fait pour le problème séparé. Enfin, nous donnons une solution explicite à notre équation HJB dans le cas d'un modèle quadratique linéaire non gaussien partiellement observé.

Nous abordons une classe de problèmes de contrôle McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV conditionnel polynomial, et étendant la classe connue de problèmes de contrôle MKV stochastiques linéaires quadratiques. Nous montrons comment cette classe polynomiale peut être réduite par un encastrement de Markov approprié à des problèmes de contrôle stochastique de dimension finie, et nous fournissons une discussion et une comparaison de trois méthodes numériques probabilistes pour résoudre le problème de contrôle réduit : quantification, régression par randomisation du contrôle, et méthodes de régression ultérieure. Nos résultats numériques sont illustrés sur divers exemples de sélection et de liquidation de portefeuille sous incertitude de dérive, et un modèle de risque systémique interbancaire avec observation partielle.

Nous étudions les jeux différentiels stochastiques à somme nulle où la dynamique de l'état des deux joueurs est régie par une équation différentielle stochastique généralisée de McKean-Vlasov (ou champ moyen) dans laquelle la distribution de l'état et des contrôles de chaque joueur apparaît dans les coefficients de dérive et de diffusion, ainsi que dans les fonctions de gain courant et terminal. Nous prouvons le principe de programmation dynamique (DPP) dans ce cadre général, qui inclut également le cas de contrôle avec un seul joueur, où c'est la première fois que le DPP est prouvé pour des contrôles en boucle ouverte. Nous montrons également que les fonctions de valeur supérieure et inférieure sont des solutions de viscosité à une équation de Bellman-Isaacs maîtresse supérieure et inférieure correspondante. Nos résultats étendent le travail séminal de Fleming et Souganidis [15] au cadre McKean-Vlasov.

Cet article se concentre sur un problème dynamique de sélection de portefeuille moyenne-variance multi-actifs sous incertitude de modèle. Nous développons un cadre en temps continu pour prendre en compte l'aversion pour l'ambiguïté concernant à la fois les taux de rendement attendus et la matrice de corrélation des actifs, et pour étudier les effets conjoints sur la diversification du portefeuille. Le cadre dynamique nous permet de considérer des ensembles d'ambiguïtés variables dans le temps, qui incluent les cas où la dérive et la corrélation sont estimées sur une fenêtre glissante de données historiques ou lorsque l'investisseur prend en compte l'apprentissage sur l'ambiguïté. Dans ce contexte, nous prouvons un principe de séparation général pour le problème de contrôle robuste associé, qui nous permet de réduire la détermination de la stratégie dynamique optimale au calcul paramétrique de la fonction de prime de risque minimale. Nos résultats fournissent une justification de la sous-diversification, telle que documentée dans les études empiriques et dans les modèles statiques [16], [34]. En outre, nous quantifions explicitement le degré de sous-diversification en termes de limites de corrélation et de proximité des ratios de Sharpe, et nous soulignons les différentes caractéristiques induites par la dérive et l'ambiguïté de la corrélation. En particulier, nous montrons qu'un investisseur ayant une faible confiance dans l'estimation du rendement attendu ne détient aucun actif risqué et, d'autre part, ne négocie qu'un seul actif risqué lorsque le niveau d'ambiguïté de la matrice de corrélation est élevé. Nous fournissons également une image complète de la diversification pour le portefeuille robuste optimal dans le cas de trois actifs Classification JEL : G11, C61 Classification MSC : 91G10, 91G80, 60H30.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

Cet article étudie un problème robuste de sélection de portefeuille de Markowitz en temps continu où l'incertitude du modèle porte sur la matrice de covariance de plusieurs actifs risqués. Ce problème est formulé en un problème de moyenne-variance min-max sur un ensemble de mesures de probabilité non dominées qui est résolu par une approche de programmation dynamique McKean-Vlasov, ce qui nous permet de caractériser la solution en termes d'équation de Bellman-Isaacs dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité. Nous fournissons des solutions explicites pour les stratégies optimales de portefeuille robuste et illustrons nos résultats dans le cas de volatilités incertaines et de corrélation ambiguë entre deux actifs risqués. Nous dérivons ensuite la frontière efficiente robuste en forme fermée, et nous obtenons une limite inférieure pour le ratio de Sharpe de toute stratégie de portefeuille efficiente robuste. Enfin, nous comparons la performance des ratios de Sharpe pour un investisseur robuste et pour un investisseur avec un modèle mal spécifié. Classification MSC : 91G10, 91G80, 60H30.

Nous considérons un jeu différentiel stochastique multi-joueurs avec une dynamique linéaire de McKean-Vlasov et une fonctionnelle de coût quadratique dépendant de la variance et de la moyenne de l'état et des actions de contrôle des joueurs en boucle ouverte. Les problèmes à horizon fini et infini avec éventuellement des coefficients aléatoires ainsi qu'un bruit commun sont abordés. Nous proposons une approche directe simple basée sur le principe d'optimalité des martingales faibles ainsi qu'un argument de point fixe dans l'espace des contrôles pour résoudre ce problème de jeu. Les équilibres de Nash sont caractérisés en termes de systèmes d'équations différentielles ordinaires de Riccati et d'équations différentielles stochastiques rétroactives linéaires à champ moyen : des conditions d'existence et d'unicité sont fournies pour ces systèmes. Enfin, nous illustrons nos résultats sur un exemple fictif.

Nous proposons une approche simple et originale pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique à champ moyen linéaire-quadratique. Nous étudions à la fois les problèmes à horizon fini et à horizon infini, et permettons notamment à certains coefficients d'être stochastiques. L'extension au cas du bruit commun est également abordée. Notre méthode est basée sur une version appropriée de la formulation martingale pour les théorèmes de vérification en théorie du contrôle. Le contrôle optimal implique la solution d'un système d'équations différentielles ordinaires de Riccati et d'une équation différentielle stochastique linéaire à champ moyen.

Nous étudions le problème de sélection de portefeuille de Markowitz avec un vecteur de dérive inconnu dans le cadre multidimensionnel. La croyance préalable sur le taux de rendement attendu incertain est modélisée par une loi de probabilité arbitraire, et une approche bayésienne de la théorie du filtrage est utilisée pour apprendre la distribution postérieure sur la dérive étant donné les données de marché observées des actifs. Le problème bayésien de Markowitz est ensuite intégré dans un problème de contrôle standard auxiliaire que nous caractérisons par une méthode de programmation dynamique et prouvons l'existence et l'unicité d'une solution lisse à l'équation différentielle partielle (EDP) semi-linéaire correspondante. La stratégie optimale de portefeuille de Markowitz est calculée explicitement dans le cas d'une distribution préalable gaussienne. Enfin, nous mesurons l'impact quantitatif de l'apprentissage, en mettant à jour la stratégie à partir des données observées, par rapport au non-apprentissage, en utilisant une dérive constante dans un contexte incertain, et nous analysons la sensibilité de la valeur de l'information en fonction de divers paramètres pertinents de notre modèle.

Nous considérons le problème de contrôle optimal stochastique d'une équation différentielle stochastique de McKean-Vlasov où les coefficients peuvent dépendre de la loi conjointe de l'état et du contrôle. En utilisant des contrôles par rétroaction, nous reformulons le problème en un problème de contrôle déterministe avec seulement la distribution marginale du processus comme variable d'état contrôlée, et nous prouvons que le principe de programmation dynamique tient dans sa forme générale. Ensuite, en nous appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilités récemment introduite par P.L. Lions dans [32], et sur une formule spéciale d'Itô pour les flux de mesures de probabilité, nous dérivons l'équation de Bellman (programmation dynamique) pour le problème de contrôle stochastique à champ moyen, et nous prouvons un théorème de vérification dans notre cadre McKean-Vlasov. Nous donnons des solutions explicites à l'équation de Bellman pour le problème de contrôle linéaire quadratique du champ moyen, avec des applications à la sélection de portefeuille à moyenne variance et à un modèle de risque systémique. Nous considérons également une notion de solutions de visc-sité levée pour l'équation de Bellman, et nous montrons la propriété de viscosité et l'unicité de la fonction de valeur pour le problème de contrôle de McKean-Vlasov. Enfin, nous considérons le cas du problème de contrôle de McKean-Vlasov avec des contrôles en boucle ouverte et discutons l'équation de programmation dynamique associée que nous comparons au cas des contrôles en boucle fermée.

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Nous étudions les jeux différentiels stochastiques à somme nulle où la dynamique de l'état des deux joueurs est régie par une équation différentielle stochastique généralisée de McKean-Vlasov (ou champ moyen) dans laquelle la distribution de l'état et des contrôles de chaque joueur apparaît dans les coefficients de dérive et de diffusion, ainsi que dans les fonctions de gain courant et terminal. Nous prouvons le principe de programmation dynamique (DPP) dans ce cadre général, qui inclut également le cas de contrôle avec un seul joueur, où c'est la première fois que le DPP est prouvé pour des contrôles en boucle ouverte. Nous montrons également que les fonctions de valeur supérieure et inférieure sont des solutions de viscosité à une équation de Bellman-Isaacs maîtresse supérieure et inférieure correspondante. Nos résultats étendent le travail séminal de Fleming et Souganidis [15] au cadre McKean-Vlasov.

Nous proposons une approche simple et originale pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique à champ moyen linéaire-quadratique. Nous étudions à la fois les problèmes à horizon fini et à horizon infini, et permettons notamment à certains coefficients d'être stochastiques. L'extension au cas du bruit commun est également abordée. Notre méthode est basée sur une version appropriée de la formulation martingale pour les théorèmes de vérification en théorie du contrôle. Le contrôle optimal implique la solution d'un système d'équations différentielles ordinaires de Riccati et d'une équation différentielle stochastique linéaire à champ moyen.

Cette thèse se compose de trois chapitres qui portent sur des problématiques de contrôle impulsionnel. Dans le premier chapitre, nous introduisons un cadre général de contrôle impulsionnel avec incertitude. Sachant une loi a priori sur des paramètres inconnus, nous expliquons comment celle-ci doit évoluer et l'intégrons au problème de contrôle optimal. Nous caractérisons la solution à travers une équation parabolique quasivariationnelle qui se résout numériquement puis donnons des exemples d'application à la finance. Dans le deuxième chapitre, nous introduisons un problème de contrôle impulsionnel avec incertitude dans un cadre actuariel. Un (ré)assureur fait face à des catastrophes naturelles et peut émettre des CAT bonds afin de réduire le risque pris. Nous caractérisons à nouveau le problème de contrôle optimal à travers une équation parabolique quasi-variationnelle qui se résout numériquement et donnons des exemples d'application. Dans le dernier chapitre, nous proposons une modélisation du prix à travers un carnet d'ordre complètement endogène. Nous résolvons des problèmes de contrôle optimal impulsionnel (placement d'ordre) d'agents économiques rationnels que nous rassemblons sur un même marché.

Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en mathématiques financières. La thèse contient deux parties. Dans la première partie, nous développons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés, nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique. Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur de l’équation de Bellman. Dans le premier chapitre, nous résumons quelques résultats utiles du calcul différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret. Le troisième chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu. Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites permettent de justifier quantitativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.

Cet article développe des algorithmes pour les problèmes de contrôle stochastique de haute dimension basés sur l'apprentissage profond et la programmation dynamique (DP). Contrairement à l'approche classique de la programmation dynamique approximative, nous approximons d'abord la politique optimale au moyen de réseaux de neurones dans l'esprit de l'apprentissage par renforcement profond, puis la fonction de valeur par régression de Monte Carlo. Ceci est réalisé dans la récursion DP par performance ou itération hybride, et par des méthodes de régression maintenant ou plus tard/quantification à partir de probabilités numériques. Nous fournissons une justification théorique de ces algorithmes. La cohérence et le taux de convergence des estimations des fonctions de contrôle et de valeur sont analysés et exprimés en termes d'erreur d'approximation universelle des réseaux neuronaux. Des résultats numériques sur diverses applications sont présentés dans un article complémentaire [2] et illustrent la performance de nos algorithmes.

Nous abordons une classe de problèmes de contrôle McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV conditionnel polynomial, et étendant la classe connue de problèmes de contrôle MKV stochastiques linéaires quadratiques. Nous montrons comment cette classe polynomiale peut être réduite par un encastrement de Markov approprié à des problèmes de contrôle stochastique de dimension finie, et nous fournissons une discussion et une comparaison de trois méthodes numériques probabilistes pour résoudre le problème de contrôle réduit : quantification, régression par randomisation du contrôle, et méthodes de régression ultérieure. Nos résultats numériques sont illustrés sur divers exemples de sélection et de liquidation de portefeuille sous incertitude de dérive, et un modèle de risque systémique interbancaire avec observation partielle.

Les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini forment une classe de problèmes de contrôle optimal où interviennent des processus stochastiques considérés sur un intervalle de temps borné. Tout comme beaucoup de problème de contrôle optimal, ces problèmes sont résolus en utilisant le principe de la programmation dynamique qui induit une équation aux dérivées partielles (EDP) appelée équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Les méthodes basées sur la discrétisation de l’espace sous forme de grille, les méthodes probabilistes ou plus récemment les méthodes max-plus peuvent alors être utilisées pour résoudre cette équation. Cependant, le premier type de méthode est mis en défaut quand un espace à dimension grande est considéré à cause de la malédiction de la dimension tandis que le deuxième type de méthode ne permettait jusqu'ici que de résoudre des problèmes où la non linéarité de l'équation aux dérivées partielles par rapport à la Hessienne n'est pas trop forte. Quant au troisième type de méthode, il entraine une explosion de la complexité de la fonction valeur. Nous introduisons dans cette thèse deux nouveaux schémas probabilistes permettant d'agrandir la classe des problèmes pouvant être résolus par les méthodes probabilistes. L'une est adaptée aux EDP à coefficients bornés tandis que l'autre peut être appliqué aux EDP à coefficients bornés ou non bornés. Nous prouvons la convergence des deux schémas probabilistes et obtenons des estimées de l'erreur de convergence dans le cas d'EDP à coefficients bornés. Nous donnons également quelques résultats sur le comportement du deuxième schéma dans le cas d'EDP à coefficients non bornés. Ensuite, nous introduisons une méthode complètement nouvelle pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini que nous appelons la méthode max-plus probabiliste. Elle permet d'utiliser le caractère non linéaire des méthodes max-plus dans un contexte probabiliste tout en contrôlant la complexité de la fonction valeur. Une application au calcul du prix de sur-réplication d'une option dans un modèle de corrélation incertaine est donnée dans le cas d’un espace à dimension 2 et 5.

Cette thèse porte sur la valorisation et les stratégies financières de couverture des risques dans les marchés de l'énergie. Ces marchés présentent des particularités qui les distinguent des marchés financiers standards, notamment l'illiquidité et l'incomplétude. L'illiquidité se reflète par des coûts de transactions importants et des contraintes sur les volumes échangés. L'incomplétude est l'incapacité de pouvoir répliquer parfaitement des produits dérivés. Nous nous intéressons à différents aspects de l'incomplétude de marché. La première partie porte sur la valorisation dans les modèles de Lévy. Nous obtenons une formule approximative du prix d'indifférence et nous mesurons la prime minimale à apporter par rapport au modèle de Black-Scholes. La deuxième partie concerne la valorisation d'options spread en présence de corrélation stochastique. Les options spread portent sur la différence de prix entre deux sous-jacents -- par exemple gaz et électricité -- et sont très utilisées sur les marchés de l'énergie. Nous proposons une procédure numérique efficace pour calculer le prix de ces options. Enfin, la troisième partie traite de la valorisation d'un produit comportant un risque exogène dont il existe des prévisions. Nous proposons une stratégie dynamique optimale en présence de risque de volume, et l'appliquons à la valorisation des fermes éoliennes. De plus, une partie est consacrée aux stratégies optimales asymptotiques en présence de coûts de transactions.

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La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme.

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Nous développons et mettons en œuvre une méthode d'estimation par maximum de vraisemblance d'un modèle de volatilité stochastique à changement de régime. Notre modèle utilise un processus stochastique en temps continu pour la dynamique des actions avec la variance instantanée pilotée par un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et chaque paramètre modulé par une chaîne de Markov cachée. Nous proposons une extension de l'algorithme EM à travers l'implémentation Baum-Welch pour estimer notre modèle et filtrer l'état caché de la chaîne de Markov tout en utilisant l'indice VIX pour inverser l'état latent de la volatilité. En utilisant des simulations de Monte Carlo, nous testons la convergence de notre algorithme et le comparons avec une procédure de vraisemblance approximative où l'état de volatilité est remplacé par l'indice VIX. Nous avons constaté que notre méthode est plus précise que la procédure approximative. Ensuite, nous appliquons les méthodes de Fourier pour dériver une expression semi-analytique des prix des options S&P 500 et VIX, que nous calibrons aux données du marché. Nous montrons que le modèle est suffisamment riche pour encapsuler les caractéristiques importantes de la dynamique conjointe de l'action et de la volatilité et pour ajuster de manière cohérente les prix du marché des options.

Nous développons et mettons en œuvre une méthode d'estimation par maximum de vraisemblance d'un modèle de volatilité stochastique à changement de régime. Notre modèle utilise un processus stochastique en temps continu pour la dynamique des actions avec la variance instantanée pilotée par un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et chaque paramètre modulé par une chaîne de Markov cachée. Nous proposons une extension de l'algorithme EM à travers l'implémentation Baum-Welch pour estimer notre modèle et filtrer l'état caché de la chaîne de Markov tout en utilisant l'indice VIX pour inverser l'état latent de la volatilité. En utilisant des simulations de Monte Carlo, nous testons la convergence de notre algorithme et le comparons avec une procédure de vraisemblance approximative où l'état de volatilité est remplacé par l'indice VIX. Nous avons constaté que notre méthode est plus précise que la procédure approximative. Ensuite, nous appliquons les méthodes de Fourier pour dériver une expression semi-analytique des prix des options S&P 500 et VIX, que nous calibrons aux données du marché. Nous montrons que le modèle est suffisamment riche pour encapsuler les caractéristiques importantes de la dynamique conjointe de l'action et de la volatilité et pour ajuster de manière cohérente les prix du marché des options.

Nous considérons le problème de contrôle optimal stochastique d'une équation différentielle stochastique de McKean-Vlasov où les coefficients peuvent dépendre de la loi conjointe de l'état et du contrôle. En utilisant des contrôles par rétroaction, nous reformulons le problème en un problème de contrôle déterministe avec seulement la distribution marginale du processus comme variable d'état contrôlée, et nous prouvons que le principe de programmation dynamique tient dans sa forme générale. Ensuite, en nous appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilités récemment introduite par P.L. Lions dans [32], et sur une formule spéciale d'Itô pour les flux de mesures de probabilité, nous dérivons l'équation de Bellman (programmation dynamique) pour le problème de contrôle stochastique à champ moyen, et nous prouvons un théorème de vérification dans notre cadre McKean-Vlasov. Nous donnons des solutions explicites à l'équation de Bellman pour le problème de contrôle linéaire quadratique du champ moyen, avec des applications à la sélection de portefeuille à moyenne variance et à un modèle de risque systémique. Nous considérons également une notion de solutions de visc-sité levée pour l'équation de Bellman, et nous montrons la propriété de viscosité et l'unicité de la fonction de valeur pour le problème de contrôle de McKean-Vlasov. Enfin, nous considérons le cas du problème de contrôle de McKean-Vlasov avec des contrôles en boucle ouverte et discutons l'équation de programmation dynamique associée que nous comparons au cas des contrôles en boucle fermée.

Cet article analyse l'interaction entre les technologies centralisées émettrices de carbone et les technologies distribuées intermittentes non émissives. Dans notre modèle, il existe un consommateur représentatif qui peut satisfaire sa demande d'électricité en investissant dans la production distribuée (panneaux solaires) et en achetant de l'électricité à une entreprise centralisée à un prix fixé par cette dernière. La production distribuée est intermittente et induit un coût d'externalité pour le consommateur. L'entreprise fournit une production d'électricité non aléatoire soumise à une taxe sur le carbone et à des coûts de transmission. L'objectif du consommateur est de satisfaire sa demande tout en minimisant les coûts d'investissement, les paiements à l'entreprise et les coûts d'intermittence. L'objectif de l'entreprise est de satisfaire la demande résiduelle du consommateur tout en minimisant les coûts d'investissement, les coûts de déviation de la demande et en maximisant les paiements du consommateur. Nous formulons les décisions d'investissement comme des problèmes de contrôle McKean-Vlasov avec des coefficients stochastiques. Nous fournissons des solutions explicites, sans modèle de prix, aux problèmes de décision optimale rencontrés par chaque joueur, la solution de l'optimum de Pareto, et l'équilibre de Stackelberg où la firme est le leader. Nous constatons que, du point de vue du planificateur social, la taxe carbone ou les coûts de transmission sont nécessaires pour justifier une part positive de capacité distribuée à long terme, quels que soient les coûts d'investissement respectifs des deux technologies. L'équilibre de Stackelberg est loin de l'équilibre de Pareto et conduit à un surinvestissement dans l'énergie distribuée et à un prix beaucoup plus élevé pour l'énergie centralisée.

Cet article étudie un problème robuste de sélection de portefeuille de Markowitz en temps continu où l'incertitude du modèle porte sur la matrice de covariance de plusieurs actifs risqués. Ce problème est formulé en un problème de moyenne-variance min-max sur un ensemble de mesures de probabilité non dominées qui est résolu par une approche de programmation dynamique McKean-Vlasov, ce qui nous permet de caractériser la solution en termes d'équation de Bellman-Isaacs dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité. Nous fournissons des solutions explicites pour les stratégies optimales de portefeuille robuste et illustrons nos résultats dans le cas de volatilités incertaines et de corrélation ambiguë entre deux actifs risqués. Nous dérivons ensuite la frontière efficiente robuste en forme fermée, et nous obtenons une limite inférieure pour le ratio de Sharpe de toute stratégie de portefeuille efficiente robuste. Enfin, nous comparons la performance des ratios de Sharpe pour un investisseur robuste et pour un investisseur avec un modèle mal spécifié. Classification MSC : 91G10, 91G80, 60H30.

Nous considérons le problème de contrôle optimal pour une équation linéaire conditionnelle de McKean-Vlasov avec une fonctionnelle de coût quadratique. Les coefficients du système et les matrices de pondération dans la fonctionnelle de coût sont autorisés à être des processus adaptés par rapport à la filtration du bruit commun. Nous introduisons des stratégies en semi-boucle et, en suivant l'approche de programmation dynamique de [32], nous résolvons le problème et caractérisons le contrôle optimal cohérent dans le temps au moyen d'un système d'équations différentielles de Riccati stochastiques arrières découplées. Nous présentons plusieurs applications financières avec des solutions explicites, et revisitons en particulier les problèmes de suivi optimal avec impact sur les prix, et la sélection de portefeuille moyenne-variance conditionnelle dans un modèle de marché incomplet.

Nous analysons le comportement asymptotique d'un système d'inégalités quasi variationnelles paraboliques et elliptiques entièrement non linéaires. Ces équations sont liées aux problèmes de contrôle de commutation robuste introduits dans [3]. Nous prouvons que, lorsque l'horizon temporel va vers l'infini (resp. le facteur d'escompte va vers zéro), la solution moyenne à long terme du système parabolique (resp. la solution escomptée limite du système elliptique) est caractérisée par une solution d'un système non linéaire d'inégalités variationnelles ergodiques. Nos résultats sont valables sous une condition de dissipativité et sans aucune hypothèse de non dégénérescence sur le terme de diffusion. Notre approche utilise principalement des arguments probabilistes et en particulier une représentation de jeu aléatoire dual pour la solution du système d'inégalités variationnelles.

Nous fournissons une représentation stochastique pour une classe générale d'équations de Hamilton-Jacobi (HJ) visqueuses, qui ont une convexité et une non-linéarité superlinéaire dans leur terme de gradient, via un type d'équation différentielle stochastique inverse (BSDE) avec une contrainte dans la partie martingale. Nous comparons notre résultat avec la représentation classique en termes de BSDE (super)quadratique, et nous montrons en particulier que l'existence d'une solution à l'équation HJ visqueuse peut être obtenue sous des hypothèses de croissance plus générales sur les coefficients, y compris le coefficient de diffusion non borné et les données terminales.

La présente thèse traite la modélisation mathématique des risques souverains et ses applications.Dans le premier chapitre, motivé par la crise de la dette souveraine de la zone euro, nous proposons un modèle de risque de défaut souverain. Ce modèle prend en compte aussi bien le mouvement de la solvabilité souveraine que l’impact des événements politiques critiques, en y additionnant un risque de crédit idiosyncratique. Nous nous intéressons aux probabilités que le défaut survienne aux dates d’événements politiques critiques, pour lesquelles nous obtenons des formules analytiques dans un cadre markovien, où nous traitons minutieusement quelques particularités inhabituelles, entre autres le modèle CEV lorsque le paramètre d’élasticité β >1. Nous déterminons de manière explicite le processus compensateur du défaut et montrons que le processus d’intensité n’existe pas, ce qui oppose notre modèle aux approches classiques. Dans le deuxième chapitre, en examinant certains modèles hybrides issus de la littérature, nous considérons une classe de temps aléatoires dont la loi conditionnelle est discontinue et pour lesquels les hypothèses classiques du grossissement de filtrations ne sont pas satisfaites. Nous étendons l’approche de densité à un cadre plus général, où l’hypothèse de Jacod s’assouplit, afin de traiter de tels temps aléatoires dans l’univers du grossissement progressif de filtrations. Nous étudions également des problèmes classiques : le calcul du compensateur, la décomposition de la surmartingale d’Azéma, ainsi que la caractérisation des martingales. La décomposition des martingales et des semi-martingales dans la filtration élargie affirme que l’hypothèse H’ demeure valable dans ce cadre généralisé. Dans le troisième chapitre, nous présentons des applications des modèles proposés dans les chapitres précédents. L’application la plus importante du modèle de défaut souverain et de l’approche de densité généralisée est l’évaluation des titres soumis au risque de défaut. Les résultats expliquent les sauts négatifs importants dans le rendement actuariel de l’obligation à long terme de la Grèce pendant la crise de la dette souveraine. La solvabilité de la Grèce a tendance à s’empirer au fil des années et le rendement de l’obligation a des sauts négatifs lors des événements politiques critiques. En particulier, la taille d’un saut dépend de la gravité d’un choc exogène, du temps écoulé depuis le dernier événement politique, et de la valeur du recouvrement. L’approche de densité généralisée rend aussi possible la modélisation des défauts simultanés qui, bien que rares, ont un impact grave sur le marché.

L’objectif principal de cette thèse est d’apporter de nouveaux résultats théoriques concernant la performance d’investissements basés sur des modèles stochastiques. Pour ce faire, nous considérons la stratégie optimale d’investissement dans le cadre d’un modèle d’actif risqué à volatilité constante et dont la tendance est un processus caché d’Ornstein Uhlenbeck. Dans le premier chapitre,nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la faisabilité de la calibration de la tendance. Nous répondons à cette question avec des résultats analytiques et des simulations numériques. Nous clôturons ce chapitre en quantifiant également l’impact d’une erreur de calibration sur l’estimation de la tendance et nous exploitons les résultats pour détecter son signe. Dans le troisième chapitre, nous supposons que l’agent est capable de bien calibrer la tendance et nous étudions l’impact qu’a la non-observabilité de la tendance sur la performance de la stratégie optimale. Pour cela, nous considérons le cas d’une utilité logarithmique et d’une tendance observée ou non. Dans chacun des deux cas, nous explicitons la limite asymptotique de l’espérance et la variance du rendement logarithmique en fonction du ratio signal-sur-bruit et de la vitesse de retour à la moyenne de la tendance. Nous concluons cette étude en montrant que le ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec observations partielles ne peut dépasser 2/(3^1.5)∗100% du ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec informations complètes. Le quatrième chapitre étudie la robustesse de la stratégie optimale avec une erreur de calibration et compare sa performance à une stratégie d’analyse technique. Pour y parvenir, nous caractérisons, de façon analytique,l’espérance asymptotique du rendement logarithmique de chacune de ces deux stratégies. Nous montrons, grâce à nos résultats théoriques et à des simulations numériques, qu’une stratégie d’analyse technique est plus robuste que la stratégie optimale mal calibrée.

Nous étudions le comportement à long terme de solutions à des équations paraboliques entièrement non linéaires de type Hamilton-Jacobi-Bellman qui apparaissent typiquement dans la théorie du contrôle stochastique avec un contrôle à la fois sur les coefficients de dérive et de diffusion. Nous prouvons que, lorsque l'horizon temporel va vers l'infini, la solution moyenne à long terme est caractérisée par une équation ergodique non linéaire. Nos résultats sont valables sous des conditions de dissipativité, et sans aucune hypothèse de non-dégénérescence sur le terme de diffusion. Notre approche utilise principalement des arguments probabilistes s'appuyant sur une nouvelle représentation de l'EDS à rebours pour les équations paraboliques, elliptiques et ergodiques non linéaires.

Nous considérons un cadre unifié pour les problèmes de contrôle stochastique incluant les caractéristiques suivantes : observation partielle, dépendance de chemin (à la fois par rapport à l'état et au contrôle), et sans aucune condition de non-dégénérescence sur l'équation différentielle stochastique (EDS) pour le processus d'état contrôlé, piloté par un processus de Wiener. Dans ce contexte, nous développons une méthodologie générale, appelée méthode de randomisation, étudiée dans [23] pour le contrôle markovien classique sous observation complète, et consistant essentiellement à remplacer le contrôle par un processus exogène indépendant du bruit moteur de l'EDD. Notre premier résultat principal est de prouver l'équivalence entre le problème de contrôle primal et le problème de contrôle randomisé où l'optimisation est effectuée sur le changement de mesures de probabilité équivalentes affectant les caractéristiques du processus exogène. Le problème randomisé s'avère être associé par dualité et argument de séparation à une SDE inverse, ce qui conduit au principe de programmation dynamique dite randomisée et à l'équation randomisée en termes de filtre dépendant du chemin, puis caractérise la fonction de valeur du problème primal. En particulier, les problèmes classiques de contrôle optimal avec observation partielle affectée par un bruit gaussien non dégénéré entrent dans le champ d'application de notre cadre, et sont traités au moyen d'un SDE arrière associé.

Nous considérons le problème de contrôle optimal pour une équation linéaire conditionnelle de McKean-Vlasov avec une fonctionnelle de coût quadratique. Les coefficients du système et les matrices de pondération dans la fonctionnelle de coût sont autorisés à être des processus adaptés par rapport à la filtration du bruit commun. Nous introduisons des stratégies en semi-boucle et, en suivant l'approche de programmation dynamique de [32], nous résolvons le problème et caractérisons le contrôle optimal cohérent dans le temps au moyen d'un système d'équations différentielles de Riccati stochastiques arrières découplées. Nous présentons plusieurs applications financières avec des solutions explicites, et revisitons en particulier les problèmes de suivi optimal avec impact sur les prix, et la sélection de portefeuille moyenne-variance conditionnelle dans un modèle de marché incomplet.

Nous considérons le problème du contrôle optimal stochastique des systèmes non linéaires à champ moyen en temps discret. Nous reformulons le problème en un problème de contrôle déterministe avec une distribution marginale comme variable d'état contrôlée, et nous prouvons que le principe de programmation dynamique est valable dans sa forme générale. Nous appliquons notre méthode pour résoudre explicitement la sélection de portefeuille à moyenne variance et le problème de contrôle McKean-Vlasov linéaire-quadratique multivarié.

Nous étudions un problème de contrôle optimal stochastique pour une diffusion partiellement observée. En utilisant la méthode de randomisation du contrôle dans [4], nous prouvons un principe de programmation dynamique (DPP) randomisé correspondant pour la fonction de valeur, qui est obtenu à partir d'une propriété de flux d'un processus de filtrage associé. Ce DPP est l'étape clé vers notre résultat principal : une caractérisation de la fonction de valeur du problème de contrôle d'observation partielle en tant que solution unique de viscosité à l'équation de programmation dynamique correspondante de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Cette dernière est formulée comme une nouvelle équation différentielle partielle entièrement non linéaire sur l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité. Une caractéristique importante de notre approche est qu'elle ne requiert aucune condition de non-dégénérescence sur le coefficient de diffusion, et aucune condition n'est imposée pour garantir l'existence d'une densité pour la solution du processus de filtrage à l'équation de Zakai contrôlée, comme cela est généralement fait pour le problème séparé. Enfin, nous donnons une solution explicite à notre équation HJB dans le cas d'un modèle quadratique linéaire non gaussien partiellement observé.

Nous étudions le contrôle optimal de l'équation stochastique générale de McKean-Vlasov. Ce problème est motivé à l'origine par la formulation asymptotique de l'équilibre coopératif pour une grande population de particules (joueurs) dans une interaction de champ moyen sous un bruit commun. Notre premier résultat principal est d'énoncer un principe de programmation dynamique pour la fonction de valeur dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité, qui est prouvé à partir d'une propriété de flux de la loi conditionnelle du processus d'état contrôlé. Ensuite, en nous appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité due à P.L. Lions [32], et sur la formule d'Itô le long d'un flux de mesures conditionnelles, nous dérivons l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman en programmation dynamique, et prouvons la propriété de viscosité ainsi qu'un résultat d'unicité pour la fonction de valeur. Enfin, nous résolvons explicitement le problème de contrôle linéaire-quadratique stochastique de McKean-Vlasov et donnons une application à un modèle de risque systémique interbancaire avec bruit commun.

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Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité. convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés.

Nous considérons un problème de commande de commutation robuste. Le contrôleur n'observe que l'évolution du processus d'état, et utilise donc des stratégies de commutation à rétroaction (en boucle fermée), une classe non standard de contrôles de commutation introduite dans cet article. Le joueur adverse (nature) choisit des contrôles en boucle ouverte qui représentent ce qu'on appelle l'incertitude de Knightian, c'est-à-dire les mauvaises spécifications du modèle. Le (demi-)jeu switcher contre nature est alors formulé comme un problème d'optimisation (robuste) en deux étapes. Nous développons la méthode stochastique de Perron dans ce cadre, et prouvons qu'elle produit une sous et une supersolution de viscosité à un système d'inégalités variationnelles de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), qui enveloppe la fonction de valeur. Avec un principe de comparaison, cela caractérise la fonction de valeur du jeu comme la solution unique de viscosité à l'équation HJB, et montre comme sous-produit le principe de programmation dynamique pour le problème de contrôle de commutation à rétroaction robuste.

Nous analysons un problème de contrôle optimal stochastique, où le processus d'état suit une dynamique de McKean-Vlasov et où le coefficient de diffusion peut être dégénéré. Nous prouvons que sa fonction de valeur V admet une représentation non linéaire de Feynman-Kac en termes d'une classe d'équations différentielles stochastiques avant-arrière, avec un processus avant autonome. Nous exploitons cette représentation probabiliste pour prouver rigoureusement le principe de programmation dynamique (DPP) pour V. La représentation de Feynman-Kac que nous obtenons a un rôle important au-delà de son rôle intermédiaire dans l'obtention de notre résultat principal : en fait, elle serait utile pour développer des schémas numériques probabilistes pour V. Le DPP est important pour obtenir une caractérisation de la fonction de valeur comme solution d'une équation différentielle partielle non linéaire (l'équation dite de Hamilton-Jacobi-Belman), dans ce cas sur l'espace de Wasserstein des mesures. Il convient de noter que la manière habituelle de résoudre ces équations est le principe du maximum de Pontryagin, qui nécessite certaines hypothèses de convexité. Il y a eu des tentatives d'utilisation de l'approche de programmation dynamique auparavant, mais ces travaux supposaient a priori que les contrôles étaient de type rétroaction markovienne, ce qui permet d'écrire le problème uniquement en termes de distribution du processus d'état (et le problème de contrôle devient un problème déterministe). Dans cet article, nous considérons des commandes en boucle ouverte et nous dérivons le principe de programmation dynamique dans ce cas le plus général. Afin d'obtenir la représentation de Feynman-Kac et le principe de programmation dynamique randomisé, nous mettons en œuvre la méthode dite de randomisation, qui consiste à formuler un nouveau problème de contrôle de McKean-Vlasov, exprimé sous forme faible en prenant le supremum sur une famille de mesures de probabilité équivalentes. L'un des principaux résultats de l'article est la preuve que ce dernier problème de contrôle a la même fonction de valeur V que le problème de contrôle original.

Cette thèse explore théoriquement et empiriquement les implications de la dynamique jointe action/option sur divers problématiques liées au trading d’options. Dans un premier temps, nous commençons par l’étude de la dynamique jointe entre une option sur un stock et une option sur l’indice de marché. Le modèle CAPM fournit un cadre mathématique adéquat pour cette étude car il permet de modéliser la dynamique jointe d’un stock et son indice de marché. En passant aux prix d’options, nous montrons que le beta et la volatilité idiosyncratique, paramètres du modèle, permettent de caractériser la relation entre les surfaces de volatilité implicite du stock et de l’indice. Nous nous penchons alors sur l’estimation du paramètre beta sous la probabilité risque-neutre en utilisant les prix d’options. Cette mesure, appelée beta implicite, représente l’information contenue dans les prix d’options sur la réalisation du paramètre beta dans le futur.Pour cette raison, nous essayons de voir, si le beta implicite a un pouvoir prédictif du beta futur.En menant une étude empirique, nous concluons que le beta implicite n’améliore pas la capacité de prédiction en comparaison avec le beta historique qui est calculé à travers la régression linéaire des rendements du stock sur ceux de l’indice. Mieux encore, nous remarquons que l’oscillation du beta implicite autour du beta futur peut entraîner des opportunités d’arbitrage, et nous proposons une stratégie d’arbitrage qui permet de monétiser cet écart. D’un autre côté, nous montrons que l’estimateur du beta implicite pourrait être utilisé pour la couverture d’options sur le stock en utilisant des instruments sur l’indice, cette couverture concerne notamment le risque de volatilité et aussi le risque de delta. Dans la deuxième partie de notre travail, nous nous intéressons au problème de market making sur options. Dans cette étude, nous supposons que le modèle de dynamique du sous-jacent sous la probabilité risque-neutre pourrait être mal spécifié ce qui traduit un décalage entre la distribution implicite du sous-jacent et sa distribution historique.Dans un premier temps, nous considérons le cas d’un market maker risque neutre qui vise à maximiser l’espérance de sa richesse future. A travers l’utilisation d’une approche de contrôle optimal stochastique, nous déterminons les prix optimaux d’achat et de vente sur l’option et nous interprétons l’effet de présence d’inefficience de prix sur la stratégie optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons que le market maker est averse au risque et essaie donc de réduire l’incertitude liée à son inventaire. En résolvant un problème d’optimisation basé sur un critère moyenne-variance, nous obtenons des approximations analytiques des prix optimaux d’achat et de vente. Nous montrons aussi les effets de l’inventaire et de l’inefficience du prix sur la stratégie optimale. Nous nous intéressons par la suite au market making d’options dans une dimension plus élevée. Ainsi, en suivant le même raisonnement, nous présentons un cadre pour le market making de deux options ayant des sous-jacents différents avec comme contrainte la réduction de variance liée au risque d’inventaire détenu par le market-maker. Nous déterminons dans ce cas la stratégie optimale et nous appuyons les résultats théoriques par des simulations numériques.Dans la dernière partie de notre travail, nous étudions la dynamique jointe entre la volatilité implicite à la monnaie et le sous jacent, et nous essayons d’établir le lien entre cette dynamique jointe et le skew implicite. Nous nous intéressons à un indicateur appelé "Skew Stickiness Ratio"qui a été introduit dans la littérature récente. Cet indicateur mesure la sensibilité de la volatilité implicite à la monnaie face aux mouvements du sous-jacent. Nous proposons une méthode qui permet d’estimer la valeur de cet indicateur sous la probabilité risque-neutre sans avoir besoin d’admettre des hypothèses sur la dynamique du sous-jacent. [.].

Nous considérons un problème d'arrêt optimal non-markovien sur un horizon fini. Nous prouvons que le processus de valeur peut être représenté au moyen d'une équation différentielle stochastique inverse (BSDE), définie sur un espace de probabilité élargi, contenant une intégrale stochastique ayant un processus ponctuel à un saut comme intégrateur et un processus (inconnu) avec une contrainte de signe comme intégrande. Ceci fournit une représentation alternative par rapport à la représentation classique donnée par une BSDE réfléchie. La connexion entre les deux BSDE est également clarifiée. Enfin, nous prouvons que la valeur du problème d'arrêt optimal est la même que la valeur d'un problème d'optimisation auxiliaire où l'intensité du processus ponctuel est contrôlée.

Cette thèse est constituée de deux parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, trois utilisations des équations différentielles stochastiques rétrogrades sont présentées. Le premier chapitre est une application de ces équations au problème de couverture moyenne-variance dans un marché incomplet où des défauts multiples peuvent survenir. Nous faisons une hypothèse de densité conditionnelle sur les temps de défaut. Nous décomposons ensuite la fonction valeur en une suite de fonctions valeur entre deux défauts consécutifs et nous prouvons la forme quadratique de chacune d'entre elles. Enfin, nous illustrons nos résultats dans un cas particulier à 2 temps de défaut suivant des lois exponentielles indépendantes. Les deux chapitres suivants sont des extensions de l'article [75]. Le deuxième chapitre est l'étude d'une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts négatifs et barrière supérieure. L'existence et l'unicité d'une solution minimale sont prouvées par double pénalisation sous des hypothèses de régularité sur l'obstacle. Cette méthode permet de résoudre le cas où le coefficient de diffusion est dégénéré. Nous montrons aussi, dans un cadre markovien adapté, le lien entre notre classe d'équations rétrogrades et des inégalités variationnelles non linéaires. En particulier, notre représentation d'équation rétrograde donne une formule de type Feynman-Kac pour les équations aux dérivées partielles associées à des jeux différentiels stochastiques de type contrôleur et stoppeur à somme nulle, où le contrôle affecte à la fois les termes dérives de volatilité. De plus, nous obtenons une formule duale du jeu de la solution minimale de l'équation rétrograde, ce qui donne une nouvelle représentation des jeux différentiels stochastiques contrôleur et stoppeur à somme nulle. Le troisième chapitre est lié à l'incertitude de modèle, où l'incertitude affecte à la fois la volatilité et l'intensité. Ces problèmes de contrôle stochastiques sont associées à des équations intégro-différentielles aux dérivées partielles telles que la partie de saut est caractérisée par la mesure lambda(a,. ) dépendant d'un paramètre a. Nous ne supposons pas que la famille lambda(a,. ) est dominée. Nous obtenons une formule non linéaire de type Feynman-Kac à la fonction valeur associée à ces problèmes de contrôle. Pour cela, nous introduisons une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec saut et une partie diffusive partiellement contrainte. Ici aussi le cas où le coefficient de diffusion est dégénéré est résolu Dans la seconde partie de la thèse, un problème de gestion actif-passif conditionnelle est résolu Nous obtenons d'abord le domaine de définition de la fonction valeur associée au problème en identifiant la richesse minimale pour laquelle il existe une stratégie d'investissement admissible permettant de satisfaire la contrainte à maturité. Cette richesse minimal est identifiée comme une solution de viscosité d'une EDP. Nous montrons aussi que sa transformée de Fenschel-Legendre est une solution de viscosité d'une autre EDP, ce qui permet d'obtenir un schéma numérique avec une convergence plus rapide. Nous identifions ensuite la fonction valeur liée au problème d'intérêt comme une solution de viscosité d'une EDP sur son domaine de définition. Enfin, nous résolvons numériquement le problème en présentant des graphes de la richesse minimale, de la fonction valeur du problème et de la stratégie optimale.

Cette étude examine le problème de sélection de portefeuille pour un horizon à long terme. Nous considérons deux objectifs : (i) maximiser la probabilité de surpasser un taux de croissance cible du processus de richesse ; (ii) minimiser la probabilité de tomber en dessous d'un taux de croissance cible. Nous étudions le comportement asymptotique de ces critères formulés comme des problèmes de contrôle des grandes déviations, que nous résolvons par une méthode de dualité conduisant à des problèmes d'optimisation de portefeuille ergodique sensible au risque. Un accent particulier est mis sur les modèles factoriels linéaires pour lesquels des solutions explicites sont obtenues.

Nous introduisons un nouveau modèle pour décrire les fluctuations du prix d'un actif unique tick-by-tick. Notre modèle est basé sur des processus de renouvellement de Markov. Nous considérons un processus ponctuel associé aux horodatages des sauts de prix, et des marques associées aux incréments de prix. En modélisant les marques avec une chaîne de Markov appropriée, nous pouvons reproduire la forte inversion de la moyenne des rendements des prix, connue sous le nom de bruit de microstructure. De plus, en utilisant des processus de renouvellement de Markov, nous pouvons modéliser la présence de pics dans l'intensité de l'activité du marché, c'est-à-dire le regroupement de la volatilité, et considérer la dépendance entre les incréments de prix et les temps de saut. Nous fournissons également des procédures statistiques paramétriques et non paramétriques simples pour l'estimation de notre modèle. Nous obtenons une formule à forme fermée pour le tracé de la signature moyenne, et nous montrons le comportement diffusif de notre modèle à grande échelle. Nous illustrons nos résultats par des simulations numériques, et nous montrons que notre modèle est cohérent avec les données empiriques sur le futur Euribor.

Nous proposons un nouveau schéma numérique probabiliste pour une équation entièrement non linéaire de type Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associée à un problème de contrôle stochastique, qui est basé sur la représentation de Feynman-Kac dans [12] au moyen de la randomisation du contrôle et de l'équation différentielle stochastique inverse avec sauts non positifs. Nous étudions une approximation en temps discret pour la solution minimale de cette classe d'EDSB lorsque le pas de temps devient nul, ce qui fournit à la fois une approximation pour la fonction de valeur et pour un contrôle optimal sous forme de rétroaction. Nous avons obtenu un taux de convergence sans aucune condition d'ellipticité sur le coefficient de diffusion contrôlé. Un schéma explicite implémentable basé sur des simulations de Monte-Carlo et des régressions empiriques, une analyse des erreurs associées et des expériences numériques sont présentés dans l'article complémentaire [13].

La formule classique de Feynman-Kac établit le lien entre les équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliques linéaires, comme l'équation de la chaleur, et l'espérance des processus stochastiques pilotés par le mouvement brownien. Elle donne ensuite une méthode pour résoudre les EDP linéaires par des simulations de Monte Carlo de processus aléatoires. L'extension aux EDP (entièrement) non linéaires a conduit ces dernières années à des développements importants en analyse stochastique et à l'émergence de la théorie des équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE), qui peuvent être considérées comme des formules de Feynman-Kac non linéaires. Nous passons en revue dans cet article les principales idées et résultats dans ce domaine, et présentons les implications de ces représentations probabilistes pour la résolution numérique des EDP non linéaires, ainsi que certaines applications aux problèmes de contrôle stochastique et à l'incertitude des modèles en finance.

Pas de résumé disponible.

Nous établissons des règles explicites socialement optimales pour une décision d'investissement irréversible avec temps de construction et incertitude. En supposant une fonction de demande sensible au prix avec un intercept aléatoire, nous fournissons des statiques comparatives et des interprétations économiques pour trois modèles de demande (brownien arithmétique, brownien géométrique, et le Cox-Ingersoll-Ross). La capacité engagée, c'est-à-dire la capacité installée plus l'investissement dans le pipeline, ne doit jamais descendre en dessous du meilleur prédicteur de la demande future, moins deux biais. Le biais d'actualisation tient compte du fait que l'investissement est payé d'avance pour une utilisation future. Le biais de précaution multiplie un type d'indice d'aversion au risque par la volatilité locale. En s'appuyant sur les formes analytiques, nous discutons en détail les effets économiques.

Dans cette thèse, on s'occupe de la modélisation du prix des actifs dans un carnet d'ordre (limit order book) et de l'applications des techniques du contrôle optimal au trading algorithmique, en particulier du market making. Pour les actifs avec petit tick, on développe un algorithme de market making dans un carnet ou les arrivés d'ordres suivent une loi de Poisson avec moyenne qui décroît exponentiellement avec la distance de l'ordre du mid-price. Grace à des technique des développement asymptotique, on obtient des résultats explicites pour une classe très large de modèles de prix, dont on suppose connaitre seulement les deux premiers moment. Pour les actifs à grand tick, on propose un nouveau modèle basé sur un processus semi-Markovian, avec lequel on réplique des phénomènes de marché connu comme la reversion à la moyenne, le comportement Brownian à large échelle, et la dépendance de l'estimateur de la variance de la fréquence d'observation. Dans cet environment, on décrit un algorithme de market making en utilisant des techniques de contrôle optimal et développement asymptotique, en réduisant la partie numérique au minimum. Finalement, on améliore le modèle precedent en utilisant des VLMC (Chaînes de Markov à longueur variable), qui permettent de décrire la longue mémoire du prix, et, qui, quitte à abandoner des formules explicites, permettent d'obtenir des interessantes applications au trading algorithmique.

Nous considérons le problème du contrôle optimal stochastique des systèmes non linéaires à champ moyen en temps discret. Nous reformulons le problème en un problème de contrôle déterministe avec une distribution marginale comme variable d'état contrôlée, et nous prouvons que le principe de programmation dynamique est valable dans sa forme générale. Nous appliquons notre méthode pour résoudre explicitement la sélection de portefeuille moyenne-variance et le problème de contrôle McKean-Vlasov linéaire-quadratique multivarié.

Notre objectif est de fournir une représentation de type Feynman-Kac pour l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, en termes d'équation différentielle stochastique avant-arrière (FBSDE) avec un processus avant simulable. Dans ce but, nous introduisons une classe d'EDSB où la composante des sauts de la solution est soumise à une contrainte partielle non positive. L'existence et l'approximation d'une solution minimale unique sont prouvées par une méthode de pénalisation sous des hypothèses légères. Nous montrons ensuite comment la solution minimale de cette classe de BSDE fournit une nouvelle représentation probabiliste pour les équations différentielles intégro-partielles (IPDE) non linéaires de type Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), lorsqu'on considère une SDE à changement de régime dans un cadre markovien. De plus, nous énonçons une formule duale de cette solution minimale de l'EDSB impliquant un changement équivalent de mesures de probabilité. Ceci donne en particulier une représentation originale pour les fonctions de valeur des problèmes de contrôle stochastique incluant un coefficient de diffusion contrôlé.

Nous considérons le problème de la négociation optimale pour un producteur d'électricité dans le contexte des marchés intra-journaliers de l'électricité. L'objectif est de minimiser le coût de déséquilibre induit par la demande résiduelle aléatoire en électricité, c'est-à-dire la consommation des clients moins la production issue des énergies renouvelables. Pour un modèle simple d'impact linéaire sur les prix et un critère quadratique, nous obtenons explicitement des stratégies optimales approximatives sur le marché intraday et la production d'énergie thermique, et montrons certaines propriétés remarquables du taux d'échange. En outre, nous étudions le cas où il y a des sauts sur la prévision de la demande et sur le prix intrajournalier, typiquement dus à une erreur dans la prédiction de la production d'énergie éolienne. Enfin, nous résolvons le problème en tenant compte des contraintes de délai dans la production d'énergie thermique.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles mathématiques de l'évolution des prix sur les marchés de l'électricité, du point de vue de la statistique des processus et de celui du contrôle optimal stochastique. Dans une première partie, nous estimons les composantes de la volatilité d'un processus de diffusion multidimensionnel représentant l'évolution des prix sur le marché à terme de l'électricité. Sa dynamique est conduite par deux mouvements browniens. Nous cherchons à réaliser l'estimation efficacement en termes de vitesse de convergence, et de variance limite en ce qui concerne la partie paramétrique de ces composantes. Cela nécessite une extension de la définition usuelle de l'efficacité au sens de Cramér-Rao. Nos méthodes d'estimation sont fondées sur la variation quadratique réalisée du processus observé. Dans la deuxième partie, nous ajoutons des termes d'erreur de modèle aux observations du modèle précédent, pour pallie le problème de surdétermination qui survient lorsque la dimension du processus observé est supérieure à deux. Les techniques d'estimation sont toujours fondées sur la variation quadratique réalisée, et nous proposons d'autres outils afin de continuer à estimer les composantes de la volatilité avec la vitesse optimale en présence des termes d'erreur. Des tests numériques permettent de mettre en évidence la présence de telles erreurs dans nos données. Enfin, dans la dernière partie nous résolvons le problème d'un producteur qui intervient sur le marché infrajournalier de l'électricité afin de compenser les coûts liés aux rendements aléatoires de ses unités de production. Par ses actions, il exerce un impact sur le marché. Les prix et son anticipation de la demande de ses consommateurs sont modélisés par une diffusion à sauts. Les outils du contrôle optimal stochastique permettent de déterminer sa stratégie dans un problème approché. Nous donnons des conditions pour que cette stratégie soit très proche de l'optimalité dans le problème de départ, et l'illustrons numériquement.

Nous considérons le problème de la négociation optimale pour un producteur d'électricité dans le contexte des marchés intra-journaliers de l'électricité. L'objectif est de minimiser le coût de déséquilibre induit par la demande résiduelle aléatoire en électricité, c'est-à-dire la consommation des clients moins la production issue des énergies renouvelables. Pour un modèle simple d'impact linéaire sur les prix et un critère quadratique, nous obtenons explicitement des stratégies optimales approximatives sur le marché intraday et la production d'énergie thermique, et montrons certaines propriétés remarquables du taux d'échange. En outre, nous étudions le cas où il y a des sauts sur la prévision de la demande et sur le prix intrajournalier, typiquement dus à une erreur dans la prédiction de la production d'énergie éolienne. Enfin, nous résolvons le problème en tenant compte des contraintes de délai dans la production d'énergie thermique.

Nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques rétrospectives réfléchies avec sauts non positifs et barrière supérieure. L'existence et l'unicité d'une solution minimale sont prouvées par une approche de double péna\-lisation sous des hypothèses de régularité sur l'obstacle. Dans un cadre de diffusion à changement de régime approprié, nous montrons la connexion entre notre classe de BSDEs et les inégalités variationnelles entièrement non linéaires. Notre représentation BSDE fournit en particulier une formule de type Feynman-Kac pour les EDP associées aux jeux différentiels stochastiques généraux à somme nulle de type controller-and-stopper, où le contrôle affecte à la fois la dérive et le terme de diffusion, et où le coefficient de diffusion peut être dégénéré. De plus, nous énonçons une formule de jeu double de cette solution minimale BSDE impliquant un changement équivalent des mesures de probabilité et des processus d'escompte. Cela donne en particulier une nouvelle représentation pour les jeux différentiels stochastiques à somme nulle de type controller-and-stopper.

Cette thèse a été réalisée au sein de l’entreprise Invivoo. L’objectif principal était de trouver des stratégies d’investissement : avoir un gain important et un risque faible. Les travaux de recherche ont été principalement portés par ce dernier point. Dans ce sens, nous avons voulu généraliser un modèle fidèle à la réalité des marchés financiers, que ce soit pour des données à basse comme à haute fréquence et, à très haute fréquence, variation par variation.

La finance haute fréquence a récemment évolué de la modélisation statistique et de l'analyse des données financières - où l'objectif initial était de reproduire des faits stylisés et de développer des outils d'inférence appropriés - vers l'optimisation du trading, où un agent cherche à exécuter un ordre (ou une série d'ordres) dans un environnement stochastique qui peut réagir à l'algorithme de trading de l'agent (impact sur le marché, facturation). Ce contexte pose de nouveaux défis scientifiques abordés par le minisymposium OPSTAHF.

Cette thèse traite de la résolution numérique de problèmes généraux de contrôle stochastique, avec des applications notables pour les marchés de l'électricité. Nous proposons d'abord un modèle structurel pour le prix de l'électricité, permettant des pics de prix bien supérieurs au prix marginal du combustible dans des conditions de marché tendues. Ce modèle permet de fixer le prix et de couvrir partiellement les dérivés de l'électricité, en utilisant des contrats à terme sur le carburant comme instruments de couverture. Ensuite, nous proposons un algorithme, qui combine des simulations de Monte-Carlo avec des régressions à base locale, pour résoudre des problèmes généraux de commutation optimale. Un taux de convergence complet de la méthode est fourni. De plus, nous parvenons à rendre l'algorithme parcimonieux en mémoire (et donc adapté aux problèmes de haute dimension) en généralisant à ce cadre une méthode de réduction de la mémoire qui évite le stockage des chemins d'échantillonnage. Nous illustrons cela sur le problème des investissements dans de nouvelles centrales électriques (notre modèle structurel de prix de l'électricité permettant aux nouvelles centrales d'avoir un impact sur le prix de l'électricité). Enfin, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique plus généraux (le contrôle peut être continu et avoir un impact sur la dérive et la volatilité du processus d'état), dont les solutions appartiennent à la classe des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman entièrement non linéaires, et peuvent être traitées via des équations différentielles stochastiques à rebours contraintes, pour lesquelles nous développons un algorithme à rebours basé sur la randomisation du contrôle et des optimisations paramétriques. Un taux de convergence entre l'EDPS contrainte et sa version discrète est fourni, ainsi qu'une estimation du contrôle optimal. Cet algorithme est ensuite appliqué au problème de la superréplication des options sous des volatilités (et corrélations) incertaines.

Nous proposons un algorithme numérique probabiliste pour résoudre les équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts non négatifs, une classe de BSDE introduite dans [9] pour représenter les équations HJB entièrement non linéaires. En particulier, cela nous permet de résoudre numériquement des problèmes de contrôle stochastique à volatilité contrôlée, éventuellement dégénérée. Notre schéma rétrograde, basé sur des régressions des moindres carrés, tire avantage des propriétés de haute dimension des méthodes de Monte-Carlo, et fournit également une estimation paramétrique sous forme de rétroaction pour le contrôle optimal. Une analyse partielle de l'erreur du schéma est fournie, ainsi que des tests numériques sur le problème de la superréplication de l'option avec des volatilités et/ou des corrélations incertaines, y compris une comparaison détaillée avec les résultats numériques du schéma alternatif proposé dans [7].

Dans cet article, nous présentons un algorithme numérique probabiliste combinant la programmation dynamique, les simulations de Monte Carlo et les régressions à base locale pour résoudre les problèmes de commutation multiple optimale non stationnaire à horizon infini. Nous fournissons le taux de convergence de la méthode en fonction du pas de temps utilisé pour discrétiser le problème, de la base de régression utilisée pour approximer les espérances conditionnelles, et de l'horizon temporel de troncature. Pour rendre la méthode viable pour les problèmes de haute dimension et à long horizon temporel, nous étendons une méthode de réduction de la mémoire au schéma d'Euler général, de sorte que, lors de la résolution numérique, le stockage des chemins de simulation de Monte Carlo n'est pas nécessaire. Nous appliquons ensuite cet algorithme à un modèle d'investissement optimal dans des centrales électriques en dimension huit, c'est-à-dire avec deux technologies différentes et six facteurs aléatoires.

Nous établissons des règles explicites socialement optimales pour une décision d'investissement irréversible avec temps de construction et incertitude. En supposant une fonction de demande sensible au prix avec un intercept aléatoire, nous fournissons des statiques comparatives et des interprétations économiques pour trois modèles de demande (brownien arithmétique, brownien géométrique, et le Cox-Ingersoll-Ross). La capacité engagée, c'est-à-dire la capacité installée plus l'investissement dans le pipeline, ne doit jamais descendre en dessous du meilleur prédicteur de la demande future, moins deux biais. Le biais d'actualisation tient compte du fait que l'investissement est payé d'avance pour une utilisation future. Le biais de précaution multiplie un type d'indice d'aversion au risque par la volatilité locale. En s'appuyant sur les formes analytiques, nous discutons en détail les effets économiques.

La formule classique de Feynman-Kac établit le lien entre les équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliques linéaires, comme l'équation de la chaleur, et l'espérance des processus stochastiques pilotés par le mouvement brownien. Elle donne ensuite une méthode pour résoudre les EDP linéaires par des simulations de Monte Carlo de processus aléatoires. L'extension aux EDP (entièrement) non linéaires a conduit ces dernières années à des développements importants en analyse stochastique et à l'émergence de la théorie des équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE), qui peuvent être considérées comme des formules de Feynman-Kac non linéaires. Nous passons en revue dans cet article les principales idées et résultats dans ce domaine, et présentons les implications de ces représentations probabilistes pour la résolution numérique des EDP non linéaires, ainsi que certaines applications aux problèmes de contrôle stochastique et à l'incertitude des modèles en finance.

Cette étude examine le problème de sélection de portefeuille pour un horizon à long terme. Nous considérons deux objectifs : (i) maximiser la probabilité de surpasser un taux de croissance cible du processus de richesse ; (ii) minimiser la probabilité de tomber en dessous d'un taux de croissance cible. Nous étudions le comportement asymptotique de ces critères formulés comme des problèmes de contrôle des grandes déviations, que nous résolvons par une méthode de dualité conduisant à des problèmes d'optimisation de portefeuille ergodique sensible au risque. Un accent particulier est mis sur les modèles factoriels linéaires pour lesquels des solutions explicites sont obtenues.

L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques.

Nous proposons un cadre permettant d'étudier les politiques de négociation optimales dans un carnet d'ordres à limite proportionnelle à untick, comme cela se produit généralement dans les contrats à terme de taux d'intérêt à court terme. Le trader haute fréquence a le choix de négocier via des ordres au marché ou des ordres à cours limité, qui sont représentés respectivement par des commandes impulsives et des commandes régulières. Nous modélisons et discutons les conséquences des deux principales caractéristiques de cette microstructure particulière : premièrement, les ordres à cours limité envoyés par le trader haute fréquence ne sont que partiellement exécutés, et il n'a donc aucun contrôle sur la quantité exécutée. À cette fin, les volumes cumulés exécutés sont modélisés par des processus de Poisson composés. Deuxièmement, le trader haute fréquence est confronté au risque de survente, c'est-à-dire au risque de variations brutales de son stock. Les conséquences de ce risque sont étudiées dans le contexte de la liquidation optimale. Le problème du trading optimal est étudié par des méthodes de contrôle stochastique et de programmation dynamique, qui conduisent à une caractérisation de la fonction de valeur en termes d'une inégalité quasi-variationnelle intégrale. Nous fournissons ensuite la procédure de résolution numérique associée, et la convergence de ce schéma de calcul est prouvée. Ensuite, nous examinons plusieurs situations où nous pouvons d'une part simplifier la procédure numérique en réduisant le nombre de variables d'état, et d'autre part nous concentrer sur des cas spécifiques d'intérêt pratique. Nous examinons à la fois un problème de tenue de marché et un problème de meilleure exécution dans le cas où le processus de prix moyen est une martingale. Nous détaillons également une stratégie de trading à haute fréquence dans le cas où une information directionnelle (prédictive) sur le prix moyen est disponible. Chacune des stratégies résultantes est illustrée par des tests numériques.

L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique.

Pas de résumé disponible.

Nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques rétrospectives réfléchies avec sauts non positifs et barrière supérieure. L'existence et l'unicité d'une solution minimale sont prouvées par une approche de double péna\-lisation sous des hypothèses de régularité sur l'obstacle. Dans un cadre de diffusion à changement de régime approprié, nous montrons la connexion entre notre classe de BSDEs et les inégalités variationnelles entièrement non linéaires. Notre représentation BSDE fournit en particulier une formule de type Feynman-Kac pour les EDP associées aux jeux différentiels stochastiques généraux à somme nulle de type controller-and-stopper, où le contrôle affecte à la fois la dérive et le terme de diffusion, et où le coefficient de diffusion peut être dégénéré. De plus, nous énonçons une formule de jeu double de cette solution minimale BSDE impliquant un changement équivalent des mesures de probabilité et des processus d'escompte. Cela donne en particulier une nouvelle représentation pour les jeux différentiels stochastiques à somme nulle de type controller-and-stopper.

Nous introduisons un nouveau modèle pour décrire les fluctuations du prix d'un actif unique tick-by-tick. Notre modèle est basé sur des processus de renouvellement de Markov. Nous considérons un processus ponctuel associé aux horodatages des sauts de prix, et des marques associées aux incréments de prix. En modélisant les marques avec une chaîne de Markov appropriée, nous pouvons reproduire la forte inversion de la moyenne des rendements des prix, connue sous le nom de bruit de microstructure. De plus, en utilisant des processus de renouvellement de Markov, nous pouvons modéliser la présence de pics dans l'intensité de l'activité du marché, c'est-à-dire le regroupement de la volatilité, et considérer la dépendance entre les incréments de prix et les temps de saut. Nous fournissons également des procédures statistiques paramétriques et non paramétriques simples pour l'estimation de notre modèle. Nous obtenons une formule à forme fermée pour le tracé de la signature moyenne, et nous montrons le comportement diffusif de notre modèle à grande échelle. Nous illustrons nos résultats par des simulations numériques, et nous montrons que notre modèle est cohérent avec les données empiriques sur le futur Euribor.

Nous introduisons un nouveau modèle pour décrire les fluctuations du prix d'un actif unique tick-by-tick. Notre modèle est basé sur des processus de renouvellement de Markov. Nous considérons un processus ponctuel associé aux horodatages des sauts de prix, et des marques associées aux incréments de prix. En modélisant les marques avec une chaîne de Markov appropriée, nous pouvons reproduire la forte inversion de la moyenne des rendements des prix, connue sous le nom de bruit de microstructure. De plus, en utilisant des processus de renouvellement de Markov, nous pouvons modéliser la présence de pics dans l'intensité de l'activité du marché, c'est-à-dire le regroupement de la volatilité, et considérer la dépendance entre les incréments de prix et les temps de saut. Nous fournissons également des procédures statistiques paramétriques et non paramétriques simples pour l'estimation de notre modèle. Nous obtenons une formule à forme fermée pour le tracé de la signature moyenne, et nous montrons le comportement diffusif de notre modèle à grande échelle. Nous illustrons nos résultats par des simulations numériques, et nous montrons que notre modèle est cohérent avec les données empiriques sur le futur Euribor.

Nous étudions un problème de trading haute fréquence optimal dans le cadre d'un modèle de microstructure de marché visant un bon compromis entre précision et tractabilité. Le prix de l'action est modélisé par un processus de renouvellement de Markov (MRP), tandis que les ordres de marché arrivent dans le carnet d'ordres limite via un processus ponctuel corrélé avec le prix de l'action, et prenant en compte le risque de sélection adverse. Nous appliquons des méthodes de contrôle stochastique dans ce cadre semi-markovien, et montrons comment réduire remarquablement la complexité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman associée par un changement de variables approprié qui exploite la symétrie spécifique du problème. Nous traitons ensuite numériquement la partie restante de l'équation HJB, simplifiée en une équation différentielle integro-ordinaire, par un schéma d'Euler bidimensionnel. Des procédures statistiques et des tests numériques pour calculer les stratégies optimales d'ordre limite illustrent nos résultats.

Nous étudions le problème du contrôle stochastique optimal pour les équations différentielles stochastiques (EDS) non-markoviennes où la dérive, les coefficients de diffusion et les fonctions de gain dépendent du chemin, et surtout nous ne faisons aucune hypothèse d'ellipticité sur l'EDS. Nous développons une approche de randomisation des contrôles, et prouvons que la fonction de valeur peut être reformulée sous une famille de mesures dominées sur un espace de probabilité filtré élargi. Cette fonction de valeur est alors caractérisée par une EDD à rebours avec des sauts non positifs sous une mesure de probabilité unique, qui peut être considérée comme une version dépendante du chemin de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, et une extension de l'espérance $G$.

Nous proposons un algorithme numérique probabiliste pour résoudre les équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts non négatifs, une classe de BSDE introduite dans [9] pour représenter les équations HJB entièrement non linéaires. En particulier, cela nous permet de résoudre numériquement des problèmes de contrôle stochastique à volatilité contrôlée, éventuellement dégénérée. Notre schéma rétrograde, basé sur des régressions des moindres carrés, tire avantage des propriétés de haute dimension des méthodes de Monte-Carlo, et fournit également une estimation paramétrique sous forme de rétroaction pour le contrôle optimal. Une analyse partielle de l'erreur du schéma est fournie, ainsi que des tests numériques sur le problème de la superréplication de l'option avec des volatilités et/ou des corrélations incertaines, y compris une comparaison détaillée avec les résultats numériques du schéma alternatif proposé dans [7].

Nous proposons une approche quantitative de certaines problématiques du trading haute fréquence. Nous nous intéressons à plusieurs aspects de ce domaine, de la minimisation des coûts indirects de trading au market making, et plus généralement aux stratégies de maximisation du profit sur un horizon temporel fini. Nous construisons un cadre original qui reflète les spécificités du trading haute fréquence, et notamment la distinction entre trading passif et actif, grâce à des méthodes de contrôle stochastique mixte. Nous modélisons soigneusement les phonomènes du marché haute fréquence, et pour chacun d'entre eux, nous proposons des méthodes de calibration compatibles avec les contraintes pratiques du trading algorithmique.

Cet article étudie un problème d'investissement {\it réversible} où un planificateur social vise à contrôler sa capacité de production afin de s'adapter de manière optimale à la demande aléatoire d'un bien. Notre modèle permet une dynamique de diffusion générale sur la demande ainsi qu'une fonctionnelle de coût générale. Le problème d'optimisation résultant conduit à un problème de contrôle stochastique singulier bidimensionnel à variation limitée dégénéré, pour lequel une solution explicite n'est pas disponible en général et l'approche de vérification standard ne peut pas être appliquée a priori. Nous utilisons une approche de solutions de viscosité directe pour dériver certaines caractéristiques de la fonction limite libre optimale, et pour afficher la structure de la solution. Dans le cas d'un coût quadratique, nous sommes en mesure de prouver une propriété d'ajustement lisse $C^2$, qui donne lieu à une caractérisation complète des frontières optimales et de la fonction de valeur.

On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal.

Le travail présenté dans cette thèse a été motivé par des problématiques posées par l'évaluation de contrats échangés sur le marché du gaz: les contrats de stockage et d'approvisionnement en gaz. Ceux-ci incorporent de l'optionalité et des contraintes, ce qui rend leur évaluation difficile dans un contexte de prix de matières premières aléatoires. L'évaluation de ces contrats mène à des problèmes de contrôle stochastique complexes: switching optimal ou contrôle impulsionnel et contrôle stochastique en grande dimension. La première partie de cette thèse est une revue relativement exhaustive de la littérature, mettant en perspective les différentes approches d'évaluation existantes. Dans une deuxième partie, nous considérons une méthode numérique de résolution de problèmes de contrôle impulsionnel basée sur leur représentation comme solution d'EDSRs à sauts contraints. Nous proposons une approximation à temps discret utilisant une pénalisation pour traiter la contrainte et donnons un taux de convergence de l'erreur introduite. Combinée avec des techniques Monte Carlo, cette méthode a été testée numériquement sur trois problèmes: gestion optimale de biomasse, évaluation d'options Swing et de contrats de stockage gaz. Dans une troisième partie, nous proposons une méthode pour l'évaluation d'options dont le payoff dépend de moyennes mobiles de prix sous-jacents. Elle utilise sur une approximation à dimension finie de la dynamique des processus de moyenne mobile, basée sur un développement en série de Laguerre tronquée. Les résultats numériques fournis incluent des exemples de contrats Swing gaziers à prix d'exercice, indexés sur moyennes mobiles de prix pétroliers.

Cette thèse est divisée en deux parties qui peuvent être lues indépendamment. La première partie concerne la modélisation mathématique du risque de liquidité. L'aspect de l'illiquidité étudié ici est la contrainte sur les dates de négociation, c'est-à-dire que contrairement aux modèles classiques où les investisseurs peuvent négocier en continu, nous supposons que la négociation n'est possible qu'à des moments aléatoires discrets. Nous utilisons ensuite des techniques de contrôle optimal (programmation dynamique et équations de Hamilton-Jacobi-Bellman) pour identifier les fonctions de valeur et les stratégies d'investissement optimales sous ces contraintes. Le premier chapitre se concentre sur un problème de maximisation de l'utilité à horizon fini, dans un cadre inspiré des marchés de l'énergie. Dans le deuxième chapitre, nous étudions un marché illiquide avec changement de régime, et dans le troisième chapitre, nous considérons un marché dans lequel l'agent a la possibilité d'investir dans un actif liquide et un actif illiquide qui sont corrélés. Dans la deuxième partie, nous présentons des méthodes de quantification probabiliste pour résoudre numériquement un problème de commutation optimale. Nous considérons d'abord une approximation en temps discret de notre problème et prouvons un taux de convergence. Nous proposons ensuite deux méthodes de quantification numérique : une approche markovienne où nous quantifions la gaussienne dans le schéma d'Euler, et, dans le cas où la diffusion sous-jacente n'est pas contrôlée, une approche de quantification marginale inspirée des méthodes numériques pour le problème d'arrêt optimal.

Cette thèse porte sur l'optimisation des portefeuilles d'actifs soumis au risque de défaut. La crise actuelle nous a permis de comprendre qu'il est important de tenir compte du risque de défaut pour pouvoir donner la valeur réelle de son portefeuille. En effet dûs aux différents échanges des acteurs du marché financier, le système financier est devenu un réseau de plusieurs connections dont il est indispensable d'identifier pour évaluer le risque d'investir dans un actif financier. Dans cette thèse, nous définissons un système financier avec un nombre fini de connections et nous proposons un modèle de la dynamique d'un actif dans un tel système en tenant compte des connections entre les différents actifs. La mesure de la corrélation sera faite à travers l'intensité de sauts des processus. A l'aide des Equations stochastiques Différentielles Rétrogrades (EDSR), nous déduirons le prix d'un actif contingent et nous tiendrons compte du risque de modèle afin de mieux évaluer la consommation et la richesse optimal si on investit dans un tel marché.

Nous étudions le lien entre EDS rétrogrades et certains problèmes d'optimisation stochastique ainsi que leurs applications en finance. Dans la première partie, nous nous intéressons à la représentation par EDSR de problème d'optimisation stochastique séquentielle : le contrôle impulsionnel et le switching optimal. Nous introduisons la notion d'EDSR contrainte à sauts et montrons qu'elle donne une représentation des solutions de problème de contrôle impulsionnel markovien. Nous lions ensuite cette classe d'EDSR aux EDSRs à réflexions obliques et aux processus valeurs de problèmes de switching optimal. Dans la seconde partie nous étudions la discrétisation des EDSRs intervenant plus haut. Nous introduisons une discrétisation des EDSRs contraintes à sauts utilisant l'approximation par EDSRs pénalisées pour laquelle nous obtenons la convergence. Nous étudions ensuite la discrétisation des EDSRs à réflexions obliques. Nous obtenons pour le schéma proposé une vitesse de convergence vers la solution continûment réfléchie. Enfin dans la troisième partie, nous étudions un problème de liquidation optimale de portefeuille avec risque et coût d'exécution. Nous considérons un marché financier sur lequel un agent doit liquider une position en un actif risqué. L'intervention de cet agent influe sur le prix de marché de cet actif et conduit à un coût d'exécution modélisant le risque de liquidité. Nous caractérisons la fonction valeur de notre problème comme solution minimale d'une inéquation quasi-variationnelle au sens de la viscosité contrainte.

Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique à la couverture d'options en présence d'illiquidité. Dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de surcouverture d'option dans un modèle à volatilité stochastique. L'originalité provient du fait que l'actif servant à couvrir la volatilité n'est pas liquide et que l'agent devra donc opérer un montant total fini de transactions. La deuxième partie concerne la couverture d'option en présence de volatilité incertaine dont la dynamique n'est pas spécifiée. Nous introduisons un critère permettant d'obtenir des prix d'options non triviaux, en autorisant l'agent à perdre de l'argent pour des réalisations de la volatilité qu'il juge peu probables. Enfin dans une troisième partie nous étudions un problème de contrôle impulsionnel pour lequel les contrôles prennent effet avec retard. Cette étude s'applique notamment à la couverture d'options sur hedge funds, pour lesquels les ordres d'achat et de vente sont exécutés avec retard. Dans chaque partie, nous caractérisons la fonction valeur du problème comme étant l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles. Dans la première et la troisième partie, nous introduisons dans un second chapitre des algorithmes de résolution numériques de ces EDP par différences finies. La convergence de ces algorithmes est prouvée de manière théorique.

Cette thèse se compose de deux parties indépendantes qui portent sur l'application des probabilités au champ de la finance. La première partie étudie la régularité des solutions de certains types d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et réfléchies, ainsi que des schémas d'approximation numérique de ces solutions. En finance, l'application principale est le calcul du prix et de la couverture d'options américaines et d'options de jeu, mais nos travaux ne se limitent pas à ce cadre. La méthode systématique proposée est fondée sur l'étude d'équations qui ne sont réfléchies que sur une grille de temps discrète. En finance, ces équations s'interprètent comme des options bermudéennes. Dans un cadre général de domaines convexes multidimensionnels pouvant, sous certaines conditions, évoluer aléatoirement, nous obtenons des résultats de convergence et de régularité pour ces équations à réflexions discrètes que nous étendons aux EDSR réfléchies de manière continue. La seconde partie porte sur un problème théorique de finance mathématique. Nous y traitons de la valorisation d'options américaines dans le cadre des modèles de marché avec coûts de transaction proportionnels, à la fois pour le temps discret et pour le temps continu. Nous obtenons un théorème de sur-réplication pour ces actifs contingents dans le cadre très général de processus optionnels ladlag.

Cette thèse porte sur l'optimisation de portefeuille en observations partielles. Le travail est organisé en trois parties qui analysent les sujets suivants: Partie 1. Optimisation de portefeuille en observations partielles dans un modèle de diffusion avec sauts. Part 2. Prix d'indifférence en observations partielles dans un modèle de diffusion avec sauts. Part 3. Approximation numérique par quantification de problèmes de contrôle en temps discret et observations partielles et applications en finance. Dans les deux premières parties on considère le cas des observations en temps continu alors que dans la troisième, on analyse le cas d'observations en temps discret.

Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique aux options réelles et au risque de liquidité. Plus précisément, dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de sélection du portefeuille optimal sous un modèle de risque de liquidité, puis dans la deuxième partie, à deux options réelles: un problème de changement de régime et un problème couplé de contrôle singulier et de changement de régime pour une politique de dividende avec investissement réversible, et enfin, dans la dernière partie, à l'existence d'un équilibre dans marché compétitif sous asymétrie d'information. Dans la résolution de ces problèmes, surtout dans les deux premières parties, des techniques de contrôle stochastique seront utilisées. L'approche typique consiste à exprimer le principe de la programmation dynamique lié à chaque problématique afin d'obtenir une caractérisation par EDP des fonctions de valeur. Par cette approche, nous montrons, dans le problème de risque de liquidité et les deux options réelles, que les fonctions de valeur correspondantes sont l'unique solution du système d'inégalités variationnelles d'HJB associé. Dans chaque problème des deux premières parties, on peut obtenir les solutions, en particulier les contrôles optimaux, soit d'une manière explicite, soit par une méthode itérative.

Nous développons une approche de résolution numérique du filtrage par méthode de grille, en utilisant des résultats de quantification optimale de variables aléatoires. Nous mettons en oeuvre deux algorithmes de calcul de filtres utilisant les techniques d'approximation du type ordre 0 et ordre 1. Nous proposons les versions implémentables de ces algorithmes et étudions le comportement de l'erreur des approximations en fonction de la taille des quantifieurs en s'appuyant sur la propriété de stationnarité des quantifieurs optimaux. Nous positionnons cette approche par grille par rapport à l'approche particulaire du type Monte Carlo à travers la comparaison des deux méthodes et leur expérimentation sur différents modèles d'états. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à l'avantage qu'offre la quantification pour le prétraitement des données offline pour développer un algorithme de filtrage par quantification des observations (et du signal). L'erreur est là aussi étudiée et un taux de convergence est établi en fonction de la taille des quantifieurs. Enfin, la quantification du filtre en tant que variable aléatoire est étudiée dans le but de la résolution d'un problème d'évaluation d'option américaine dans un marché à volatilité stochastique non observée. Tous les résultats sont illustrés à travers des exemples numériques.

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Le présent travail se compose de six chapitres classés en trois parties et a pour trait commun les applications probabilistes et de contrôle stochastique à l'évaluation d'actifs contingents en marche incomplet. Le premier chapitre concerne le problème de temps d'arrêt optimal d'un processus de diffusion à sauts contrôlé et montre, généralisant les résultats de Lions (1983), que la fonction valeur est caractérisée comme l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman issue de la programmation dynamique, avec des conditions aux limites appropriées. Le deuxième chapitre établit des résultats d'existence et d'unicité dans la classe des fonctions régulières c#1#,#2 lorsque l'opérateur intégrodifférentiel précèdent est linéaire, c'est à dire quand il n'y a pas de contrôle sur le processus de diffusion à sauts. La deuxième partie s'intéresse au problème de couverture et d'évaluation d'actifs contingents dans un cadre de marche incomplet. A partir de critères d'optimisation quadratique, on détermine, au chapitre 3, la stratégie de prix et de couverture qui dupliquent au mieux un actif contingent donné, lorsque les processus de prix sont des semi martingales. A partir d'une approche d'évaluation par équilibre, le chapitre 4, dans un cadre de modèle à volatilité stochastique, donne des conditions nécessaires et suffisantes sur un système de prix d'Arrow-Debreu donne pour qu'il soit cohérent avec un modèle d'équilibre intertemporel additif à plusieurs agents. Enfin, la troisième partie traite de l'évaluation d'options dans un modèle de diffusion avec sauts. Utilisant les résultats de la partie 1, on étudie la régularité du prix d'une option européenne (chapitre 5) et celle d'une option américaine (chapitre 6) et on les caractérise comme solutions d'équations intégrodifférentielles paraboliques du second ordre, avec des conditions aux limites adéquates. On établit certaines propriétés d'une option, relatives aux facteurs d'incomplétude de marche causes par la présence des sauts.