Processus réfléchis en finance et probabilité numérique : régularités et approximation d'EDSR réfléchies et options américaines en présence de coûts de transaction.

Résumé Cette thèse se compose de deux parties indépendantes qui portent sur l'application des probabilités au champ de la finance. La première partie étudie la régularité des solutions de certains types d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et réfléchies, ainsi que des schémas d'approximation numérique de ces solutions. En finance, l'application principale est le calcul du prix et de la couverture d'options américaines et d'options de jeu, mais nos travaux ne se limitent pas à ce cadre. La méthode systématique proposée est fondée sur l'étude d'équations qui ne sont réfléchies que sur une grille de temps discrète. En finance, ces équations s'interprètent comme des options bermudéennes. Dans un cadre général de domaines convexes multidimensionnels pouvant, sous certaines conditions, évoluer aléatoirement, nous obtenons des résultats de convergence et de régularité pour ces équations à réflexions discrètes que nous étendons aux EDSR réfléchies de manière continue. La seconde partie porte sur un problème théorique de finance mathématique. Nous y traitons de la valorisation d'options américaines dans le cadre des modèles de marché avec coûts de transaction proportionnels, à la fois pour le temps discret et pour le temps continu. Nous obtenons un théorème de sur-réplication pour ces actifs contingents dans le cadre très général de processus optionnels ladlag.