CHASSAGNEUX Jean Francois

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Cette thèse se compose de deux parties indépendantes et la première regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie, nous étudions d’abord le problème de Principal-Agent dans des systèmes dégénérés, qui apparaissent naturellement dans des environnements à l’observation partielle où l’Agent et le Principal n’observent qu’une partie du système. Nous présentons une approche se basant sur le principe du maximum stochastique, dont le but est d’étendre les travaux existants qui utilisent le principe de la programmation dynamique dans des systèmes non-dégénérés. D’abord nous résolvons le problème du Principal dans un ensembledes contrats élargi donné par la condition du premier ordre du problème de l’Agent sous forme d’une équation différentielle stochastique progressive-rétrograde (abrégée EDSPR) dépendante de la trajectoire. Ensuite nous utilisons la condition suffisante du problème de l’Agent pour vérifier que le contrat optimal obtenu est bien implémentable. Une étude parallèle est consacrée à l’existence et l’unicité de la solution d'EDSPRs dépendantes de la trajectoire dans le chapitre IV. Nous étendons la méthode de champ de découplage aux cas où les coefficients des équations peuvent dépendre de la trajectoire du processus forward. Nous démontrons également une propriété de stabilité pour ce genre d'EDSPRs. Enfin, nous étudions le problème de hasard moral avec plusieurs Principals. L’Agent ne peut travailler que pour un seul Principal à la fois et fait donc face à un problème de switching optimal. En utilisant la méthode de randomisation nous montrons que la fonction valeur de l’Agent et son effort optimal sont donnés par un processus d’Itô. Cette représentation nous aide à résoudre ensuite le problème du Principal lorsqu’il y a une infinité de Principals en équilibre selon un jeu à champ-moyen. Nous justifions la formulation à champ-moyen par un argument de propagation de chaos.La deuxième partie de cette thèse est constituée des chapitres V et VI. La motivation de ces travaux est de donner un fondement théorique rigoureux pour la convergence des algorithmes du type descente de gradient très souvent utilisés dans la résolution des problème non-convexes comme la calibration d’un réseau de neurones. Pour les problèmes non-convexes du type réseaux de neurones à une couche cachée, l’idée clé est de transformer le problème en un problème convexe en le relevant dans l’espace des mesures. Nous montrons que la fonction d’énergie correspondante admet un unique minimiseur qui peut être caractérisé par une condition du premier ordre utilisant la dérivation dans l’espace des mesures au sens de Lions. Nous présentons ensuite une analyse du comportement à long terme de la dynamique de Langevin à champ-moyen, qui possède une structure de flot de gradient dans la métrique de 2-Wasserstein. Nous montrons que le flot de la loi marginale induite par la dynamique de Langevin à champ-moyen converge vers une loi stationnaire en utilisant le principe d’invariance de La Salle, qui est le minimiseur de la fonction d’énergie.Dans le cas des réseaux de neurones profonds, nous les modélisons à l’aide d’un problème de contrôle optimal en temps continu. Nous donnons d’abord la conditiondu premier ordre à l’aide du principe de Pontryagin, qui nous aidera ensuiteà introduire le système d’équation de Langevin à champ-moyen, dont la mesure invariante correspond au minimiseur du problème de contrôle optimal. Enfin, avec la méthode de couplage par réflexion nous montrons que la loi marginale du système de Langevin à champ-moyen converge vers la mesure invariante avec une vitesse exponentielle.

Cette thèse est relative aux Equations Différentielles Stochastique Rétrogrades (EDSRs) réfléchies avec deux obstacles et leurs applications aux jeux de switching de somme nulle, aux systèmes d’équations aux dérivées partielles, aux problèmes de mean-field. Il y a deux parties dans cette thèse. La première partie porte sur le switching optimal stochastique et est composée de deux travaux. Dans le premier travail, nous montrons l’existence de la solution d’un système d’EDSR réfléchies à obstacles bilatéraux interconnectés dans le cadre probabiliste général. Ce problème est lié à un jeu de switching de somme nulle. Ensuite nous abordons la question de l’unicité de la solution. Et enfin nous appliquons les résultats obtenus pour montrer que le système d’EDP associé à une unique solution au sens viscosité, sans la condition de monotonie habituelle. Dans le second travail, nous considérons aussi un système d’EDSRs réfléchies à obstacles bilatéraux interconnectés dans le cadre markovien. La différence avec le premier travail réside dans le fait que le switching ne s’opère pas de la même manière. Cette fois-ci quand le switching est opéré, le système est mis dans l’état suivant importe peu lequel des joueurs décide de switcher. Cette différence est fondamentale et complique singulièrement le problème de l’existence de la solution du système. Néanmoins, dans le cadre markovien nous montrons cette existence et donnons un résultat d’unicité en utilisant principalement la méthode de Perron. Ensuite, le lien avec un jeu de switching spécifique est établi dans deux cadres. Dans la seconde partie nous étudions les EDSR réfléchies unidimensionnelles à deux obstacles de type mean-field. Par la méthode du point fixe, nous montrons l’existence et l’unicité de la solution dans deux cadres, en fonction de l’intégrabilité des données.

Nous introduisons et étudions une nouvelle classe de problèmes de commutation optimale, à savoir le problème de commutation avec randomisation contrôlée, où une certaine extra-randomité a un impact sur le choix des modes de commutation et des coûts associés. Nous montrons que la valeur optimale du problème de commutation est liée à une nouvelle classe de BSDE multidimensionnels à réflexion oblique. Ces BSDEs permettent également de construire une stratégie optimale et donc de résoudre complètement le problème initial. L'autre contribution principale de notre travail est de prouver de nouveaux résultats d'existence et d'unicité pour ces BSDE à réflexion oblique. Ceci est réalisé par une étude attentive du domaine de réflexion et la construction d'un opérateur de réflexion oblique approprié afin d'invoquer les résultats de [7].

Cette thèse a pour objet d’étude la théorie des jeux à champs moyen. La majeure partie est consacrée à des jeux à champ moyen dans lesquels les joueurs peuvent interagir a travers la loi de leur état et de leur contrôle . nous utiliserons la terminologie jeu à champ moyen de contrôle pour désigner de tels jeux. Dans un premier temps, nous faisons une hypothèse structure, qui consiste essentiellement à dire que la dynamique optimale dépend de la loi de contrôle de façon lipschitzienne avec une constante inférieure à un. Dans ce cas, nous prouvons plusieurs résultats d’existence de solutions au système de jeu à champ moyen de contrôle, et un résultat d’unicité en temps court. Dans un second temps, nous mettons en place un schéma numérique et faisons des simulations pour des modèles de mouvement de populations. Dans un troisième temps, nous montrons l’existence et l’unicité lorsque l’interaction par le contrôle satisfait une condition de monotonie. Le dernier chapitre concerne un algorithme de résolution numérique pour des jeux à champ moyen de type variationnel et sans interaction via la loi du contrôle . nous utilisons une stratégie de préconditionnement par une méthode de multi-grille pour obtenir une convergence rapide.

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Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de l'erreur faible de discrétisation en temps et en particules d'Équations Différentielles Stochastiques non linéaires au sens de McKean. Nous abordons dans la première partie l'analyse de la vitesse faible de convergence de la discrétisation temporelle d'EDS standards. Plus spécifiquement, nous étudions la convergence en variation totale du schéma d'Euler-Maruyama appliqué à des ED d-dimensionnelles avec un coefficient de dérive mesurable et un bruit additif. Nous obtenons, en supposant que le coefficient de dérive est borné, un ordre de convergence faible 1/2. En rajoutant plus de régularité sur la dérive, à savoir une divergence spatiale au sens des distributions L[rho]-intégrable en espace uniformément en temps pour un certain [rho] supérieur ou égal à d, nous atteignons un ordre de convergence égal à 1 (à un facteur logarithmique près) au temps terminal. En dimension 1, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure en espace avec une masse totale bornée uniformément en temps. Dans la deuxième partie de la thèse, nous analysons l'erreur faible de discrétisation à la fois en temps et en particules de deux classes d'EDS non-linéaires au sens de McKean. La première classe consiste en des EDS multi-dimensionnelles avec des coefficients de dérive et de diffusion réguliers dans lesquels la dépendance en loi intervient au travers de moments. La deuxième classe, quant à elle, consiste en des EDS uni-dimensionnelles avec un coefficient de diffusion constant et un coefficient de dérive singulier où la dépendance en loi intervient au travers de la fonction de répartition. Nous approchons les EDS par les schémas d'Euler-Maruyama des systèmes de particules associés et nous obtenons pour les deux classes un ordre de convergence faible égal à 1 en temps et en particules. Dans la seconde classe, nous prouvons aussi un résultat de propagation du chaos d'ordre optimal 1/2 en particules ainsi qu'un ordre fort de convergence égal à 1 en temps et 1/2 en particules. Tous nos résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.

La thèse porte sur les schémas numériques pour les problèmes de décisions Markoviennes (MDPs), les équations aux dérivées partielles (EDPs), les équations différentielles stochastiques rétrogrades (ED- SRs), ainsi que les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRs réfléchies). La thèse se divise en trois parties.La première partie porte sur des méthodes numériques pour résoudre les MDPs, à base de quan- tification et de régression locale ou globale. Un problème de market-making est proposé: il est résolu théoriquement en le réécrivant comme un MDP. et numériquement en utilisant le nouvel algorithme. Dans un second temps, une méthode de Markovian embedding est proposée pour réduire des prob- lèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle à des MDPs. Cette méthode est mise en œuvre sur trois différents problèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle, qui sont par la suite numériquement résolus en utilisant des méthodes numériques à base de régression et de quantification.Dans la seconde partie, on propose de nouveaux algorithmes pour résoudre les MDPs en grande dimension. Ces derniers reposent sur les réseaux de neurones, qui ont prouvé en pratique être les meilleurs pour apprendre des fonctions en grande dimension. La consistance des algorithmes proposés est prouvée, et ces derniers sont testés sur de nombreux problèmes de contrôle stochastique, ce qui permet d’illustrer leurs performances.Dans la troisième partie, on s’intéresse à des méthodes basées sur les réseaux de neurones pour résoudre les EDPs, EDSRs et EDSRs réfléchies. La convergence des algorithmes proposés est prouvée. et ces derniers sont comparés à d’autres algorithmes récents de la littérature sur quelques exemples, ce qui permet d’illustrer leurs très bonnes performances.

Cette thèse contient deux parties. Dans la première partie, on démontre deux théorèmes limites de la quantification optimale. Le premier théorème limite est la caractérisation de la convergence sous la distance de Wasserstein d’une suite de mesures de probabilité par la convergence simple des fonctions d’erreur de la quantification. Ces résultats sont établis en Rd et également dans un espace de Hilbert séparable. Le second théorème limite montre la vitesse de convergence des grilles optimales et la performance de quantification pour une suite de mesures de probabilité qui convergent sous la distance de Wasserstein, notamment la mesure empirique. La deuxième partie de cette thèse se concentre sur l’approximation et la simulation de l’équation de McKean-Vlasov. On commence cette partie par prouver, par la méthode de Feyel (voir Bouleau (1988)[Section 7]), l’existence et l’unicité d’une solution forte de l’équation de McKean-Vlasov dXt = b(t, Xt, μt)dt + σ(t, Xt, μt)dBt sous la condition que les fonctions de coefficient b et σ sont lipschitziennes. Ensuite, on établit la vitesse de convergence du schéma d’Euler théorique de l’équation de McKean-Vlasov et également les résultats de l’ordre convexe fonctionnel pour les équations de McKean-Vlasov avec b(t,x,μ) = αx+β, α,β ∈ R. Dans le dernier chapitre, on analyse l’erreur de la méthode de particule, de plusieurs schémas basés sur la quantification et d’un schéma hybride particule- quantification. À la fin, on illustre deux exemples de simulations: l’équation de Burgers (Bossy and Talay (1997)) en dimension 1 et le réseau de neurones de FitzHugh-Nagumo (Baladron et al. (2012)) en dimension 3.

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines.

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Dans cet article, nous prouvons de nouveaux résultats de convergence améliorant ceux de Chassagneux, Elie et Kharroubi [Ann. Appl. Probab. 22 (2012) 971-1007] pour l'approximation en temps discret de BSDE multidimensionnels à réflexion oblique. Ces BSDE, apparaissant dans l'étude des problèmes de commutation, ont été considérés par Hu et Tang [Probab. Theory Related Fields 147 (2010) 89-121] et généralisés par Hamadène et Zhang [Stochastic Process. Appl.

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Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux principaux sujets de recherche: les équations différentielles stochastiques (EDSs) réfléchies en moyenne avec sauts et les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) de type McKean-Vlasov.Le premier travail de ma thèse établit la propagation du chaos pour les EDSs réfléchies en moyenne avec sauts. Nous avons étudié dans un premier temps l'existence et l'unicité d'une solution. Nous avons développé ensuite un schéma numérique via le système de particules. Enfin nous avons obtenu une vitesse de convergence pour ce schéma.Le deuxième travail de ma thèse consiste à étudier les EDSRs de type McKean-Vlasov. Nous avons prouvé l'existence et l'unicité de solutions de telles équations, et nous avons proposé une approximation numérique basée sur la décomposition en chaos de Wiener ainsi que sa vitesse de convergence.Le troisième travail de ma thèse s'intéresse à une autre type de simulation pour les EDSRs de type McKean-Vlasov. Nous avons proposé un schéma numérique basé sur l'approximation du mouvement brownien par une marche aléatoire et nous avons obtenu une vitesse de convergence pour ce schéma.Par ailleurs, quelques exemples numériques dans ces trois travaux permettent de constater l'efficacité de nos schémas et les vitesses de convergences annoncées par les résultats théoriques.

Cette thèse est constituée de deux parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, nous étudions des problèmes de couverture et de valorisation d’options liés à une mesure de risque. Notre approche principale est l’utilisation d’une fonction de risque asymétrique et d’un cadre asymptotique dans lequel nous obtenons des solutions optimales à travers des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation et la couverture des options européennes. Nous considérons le problème de l’optimisation du risque résiduel généré par une couverture à temps discret en présence d’un critère asymétrique de risque. Au lieu d'analyser le comportement asymptotique de la solution du problème discret associé, nous avons étudié la mesure asymétrique du risque résiduel intégré dans un cadre Markovian. Dans ce contexte, nous montrons l’existence de cette mesure de risque asymptotique. Ainsi, nous décrivons une stratégie de couverture asymptotiquement optimale via la solution d’une EDP totalement non-linéaire.Le deuxième chapitre est une application de cette méthode de couverture au problème de valorisation de la production d’une centrale. Puisque la centrale génère de coûts de maintenance qu’elle soit allumée ou non, nous nous sommes intéressés à la réduction du risque associé aux revenus incertains de cette centrale en se couvrant avec des contrats à terme. Nous avons étudié l’impact d’un coût de maintenance dépendant du prix d’électricité dans la stratégie couverture.Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons plusieurs problèmes de contrôle liés à l'économie et la finance.Le troisième chapitre est dédié à l’étude d’une classe de problème du type McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV polynomiale conditionnelle. Nous réduisons cette classe polynomiale par plongement de Markov à des problèmes de contrôle en dimension finie.Nous comparons trois techniques probabilistes différentes pour la résolution numérique du problème réduit: la quantification, la régression par randomisation du contrôle et la régression différée. Nous fournissons de nombreux exemples numériques, comme par exemple, la sélection de portefeuille avec incertitude sur une tendance du sous-jacent.Dans le quatrième chapitre, nous résolvons des équations de programmation dynamique associées à des valorisations financières sur le marché de l’énergie. Nous considérons qu’un modèle calibré pour les sous-jacents n’est pas disponible et qu’un petit échantillon obtenu des données historiques est accessible.En plus, dans ce contexte, nous supposons que les contrats à terme sont souvent gouvernés par des facteurs cachés modélisés par des processus de Markov. Nous proposons une méthode nonintrusive pour résoudre ces équations à travers les techniques de régression empirique en utilisant seulement l’historique du log du prix des contrats à terme observables.

Cet article est consacré à la présentation et à l'analyse d'un schéma numérique pour les SDEs forward-backward du type McKean-Vlasov, ou de manière équivalente pour les solutions aux PDEs sur l'espace de Wasserstein. En raison de la structure de champ moyen de l'équation, les méthodes précédentes pour les systèmes classiques forward-backward échouent. Le schéma est basé sur une variation de la méthode de continuation. Le principe est d'implémenter récursivement des itérations locales de Picard sur de petits intervalles de temps. Nous établissons une limite pour le taux de convergence en supposant que le champ de découplage de l'EDD avant-arrière (ou de manière équivalente la solution de l'EDP) satisfait à des conditions de régularité légères. Nous fournissons également des illustrations numériques.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d'un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d'options Européennes vanilles observés sur le marché. Ce problème se traduit par l'étude d'une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence dans le coefficient de diffusion d'une espérance conditionnelle du facteur de volatilité stochastique par rapport à la solution de l'EDS. Nous obtenons l'existence du processus dans le cas particulier où le facteur de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d'états. Nous obtenons de plus la convergence faible à l'ordre 1 de la discrétisation en temps de l'EDS non linéaire au sens de McKean pour des facteurs de volatilité stochastique généraux. Dans l'industrie, la calibration est effectuée efficacement à l'aide d'une régularisation de l'espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère dans [JGPHL]. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l'algorithme proposé par [JGPHL]. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l'application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l'aide d'EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l'option en cas de défaut est petite. Enfin, nous montrons que le calcul des solutions de ces EDSR standards peut être amélioré à l'aide de la méthode de Monte-Carlo multiniveaux introduite par Giles dans [G].

Ce manuscrit a pour objectif de présenter plusieurs résultats de restauration d’unicité et de sélection d’équilibres dans les jeux à champ moyen. La théorie des jeux à champ moyen a été initiée dans les années 2000 par deux groupes de chercheurs, Lasry et Lions en France, et Huang, Caines et Malhamé au Canada. L’objectif de cette théorie est de décrire les équilibres de Nash dans des jeux différentiels stochastiques incluant un grand nombre de joueurs interagissant les uns avec les autres à travers leur mesure empirique commune et présentant suffisamment de symétrie. Si l’existence d’équilibres dans les jeux à champ moyen est maintenant bien comprise, l’unicité reste connue dans un nombre très limité de cas. A cet égard, la condition la plus connue est celle dite de monotonie, due à Lasry et Lions. Dans cette thèse, nous démontrons, que pour une certaine classe de jeux à champ moyen, l’unicité peut être rétablie à l’aide d’un forçage aléatoire des dynamiques, communs à tous les joueurs. Un tel forçage est appelé “bruit commun”. Nous montrons également que, dans certains cas, il est possible de sélectionner des équilibres en l’absence de bruit commun en faisant tendre le bruit commun vers zéro. Enfin, nous montrons comment ces résultats s’appliquent à des problèmes de type “principal-agents”, avec un grand nombre d’agents en interaction.

Ce projet étudie les méthodes numériques pour résoudre les équations différentielles stochastiques avant-arrière (FBSDE) de type McKean-Vlasov entièrement couplées. Il est intéressant de disposer de solveurs numériques pour ces FBSDE à champ moyen en raison de l'application potentielle de ces équations à des problèmes d'optimisation sur une grande population, comme par exemple les jeux à champ moyen (MFG) et les problèmes de contrôle optimal à champ moyen. La théorie pour ce type de problèmes a rencontré un grand succès depuis les premiers travaux sur les jeux de champ moyen de Lasry et Lions, voir \cite{Lasry_Lions}, et de Huang, Caines, et Malham\'{e}, voir \cite{Huang}. De manière générale, l'objectif est de comprendre la limite du continuum des optimiseurs ou des équilibres (disons au sens de Nash) lorsque le nombre de joueurs sous-jacents tend vers l'infini. Lorsqu'on les aborde d'un point de vue probabiliste, les solutions à ces problèmes de contrôle (ou jeux) peuvent être décrites par des FBSDE à champ moyen couplé, ce qui signifie que les coefficients dépendent des lois marginales propres de la solution. Dans cette note, nous détaillons deux méthodes pour résoudre de telles FBSDEs que nous implémentons et appliquons à cinq problèmes de référence. La première méthode utilise une structure arborescente pour représenter les lois du chemin de la solution, tandis que la seconde méthode utilise une discrétisation en grille pour représenter les lois marginales temporelles des solutions. Les deux méthodes sont basées sur un schéma de Picard. De manière importante, nous combinons chacune d'entre elles avec une méthode de continuation générique qui permet d'étendre l'horizon temporel (ou de manière équivalente la force de couplage entre les deux équations) pour lequel l'itération de Picard converge.

Dans cet article, nous étudions l'existence et l'unicité des équations différentielles stochastiques arrière réfléchies multidimensionnelles dans un domaine convexe ouvert, permettant des directions de réflexion obliques. Dans un cadre markovien, en combinant des estimations a priori pour les équations pénalisées et des arguments de compacité, nous obtenons des résultats d'existence sous des hypothèses assez faibles sur le pilote des BSDE et la direction de réflexion, qui est autorisée à dépendre à la fois de Y et de Z. Dans un cadre non markovien, nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité pour la direction de réflexion dépendant du temps et de Y. Nous utilisons dans ce cas des estimations de stabilité qui nécessitent certaines conditions de lissage sur le domaine et la direction de réflexion.

Le but de cette thèse CIFRE est de construire un portefeuille de stratégies de trading algorithmique intraday. Au lieu de considérer les prix comme une fonction du temps et d'un aléa généralement modélisé par un mouvement brownien, notre approche consiste à identifier les principaux signaux auxquels sont sensibles les donneurs d'ordres dans leurs prises de décision puis alors de proposer un modèle de prix afin de construire des stratégies dynamiques d'allocation de portefeuille. Dans une seconde partie plus académique, nous présentons des travaux de pricing d'options européennes et asiatiques.

Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en mathématiques financières. La thèse contient deux parties. Dans la première partie, nous développons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés, nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique. Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur de l’équation de Bellman. Dans le premier chapitre, nous résumons quelques résultats utiles du calcul différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret. Le troisième chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu. Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites permettent de justifier quantitativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.

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Dans un cadre markovien, nous considérons le problème de trouver la valeur initiale minimale d'un processus contrôlé permettant d'atteindre un objectif stochastique avec un niveau donné de perte attendue. Cette question se pose typiquement dans les problèmes de couverture approximative. La solution à ce problème a été caractérisée par Bouchard et al. (SIAM J Control Optim 48(5):3123-3150, 2009) et est connue pour résoudre une EDP de Hamilton-Jacobi-Bellman avec opérateur discontinu. Dans cet article, nous prouvons un théorème de comparaison pour l'EDP correspondante en montrant d'abord qu'elle peut être réécrite en utilisant un opérateur continu, dans certains cas. Comme application, nous étudions ensuite le prix de couverture quantile des options bermudiennes dans le cas non linéaire, en poursuivant l'étude initiée dans Bouchard et al. (J Financial Math 7(1):215-235, 2016).

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Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de contrôle et d’optimisation dont il n’existe à ce jour que des solutions approchées. D’une part nous nous intéressons à des techniques visant à réduire ou supprimer les approximations pour obtenir des solutions plus précises voire exactes. D’autre part nous développons de nouvelles méthodes d’approximation pour traiter plus rapidement des problèmes à plus grande échelle. Nous étudions des méthodes numériques de simulation d’équation différentielle stochastique et d’amélioration de calculs d’espérance. Nous mettons en œuvre des techniques de type quantification pour la construction de variables de contrôle ainsi que la méthode de gradient stochastique pour la résolution de problèmes de contrôle stochastique. Nous nous intéressons aussi aux méthodes de clustering liées à la quantification, ainsi qu’à la compression d’information par réseaux neuronaux. Les problèmes étudiés sont issus non seulement de motivations financières, comme le contrôle stochastique pour la couverture d’option en marché incomplet mais aussi du traitement des grandes bases de données de médias communément appelé Big data dans le chapitre 5. Théoriquement, nous proposons différentes majorations de la convergence des méthodes numériques d’une part pour la recherche d’une stratégie optimale de couverture en marché incomplet dans le chapitre 3, d’autre part pour l’extension la technique de Beskos-Roberts de simulation d’équation différentielle dans le chapitre 4. Nous présentons une utilisation originale de la décomposition de Karhunen-Loève pour une réduction de variance de l’estimateur d’espérance dans le chapitre 2.

Nous présentons dans cette section une approche directe pour obtenir le prix de couverture d'une créance contingente, au sens quasi sûr de la super-réplication ou au sens d'un critère de risque (couverture quantile, expected shortfall, indifférence d'utilité). Cette approche, basée sur la notion de cible stochastique, a été initiée par Soner et Touzi [55] pour le critère de super-réplication, puis étendue par Bouchard, Elie et Touzi [10] pour la couverture sous contrôle de risque, voir aussi [8, 13] et [14].

Dans un marché financier complet markovien, nous considérons le problème de la couverture d'une option bermudienne avec une probabilité donnée. En utilisant des arguments de cible stochastique et de dualité, nous dérivons un schéma numérique rétrograde pour la transformation de Fenchel de la fonction de tarification. Cet algorithme est similaire à l'induction rétrograde américaine habituelle, sauf qu'il nécessite deux transformations de Fenchel supplémentaires à chaque date d'exercice. Nous fournissons des illustrations numériques.

Cet article traite de l'approximation numérique d'équations différentielles stochastiques markoviennes à rebours (BSDE) avec des générateurs à croissance quadratique par rapport à $z$ et des conditions terminales bornées. Nous étudions d'abord une légère modification de l'équation classique de programmation dynamique découlant de la discrétisation temporelle des BSDE. En utilisant un argument de linéarisation et les outils des martingales BMO, nous obtenons un théorème de comparaison, des estimations a priori et des résultats de stabilité pour la solution de ce schéma. Ensuite, nous fournissons un contrôle sur l'erreur de discrétisation temporelle d'ordre $\frac{1}{2}-\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$. Dans la dernière partie, nous donnons un algorithme entièrement implémentable pour les BSDE quadratiques basé sur la quantification et illustrons nos résultats de convergence avec des exemples numériques.

Sur les marchés complets, la notion de prix viable est très satisfaisante car elle conduit à la définition d'un prix unique sans arbitrage. De plus, ce prix est la solution d'un problème de réplication, qui peut être caractérisé assez simplement. En particulier, nous avons vu au chapitre 4 que ce prix est donné comme la solution unique d'une EDP linéaire dans un cadre markovien.

Dans ce chapitre, nous étudions une classe de modèles markoviens pour les marchés complets. Ce type de modèle est le plus couramment utilisé en pratique. Dans ces modèles, le processus de prix sous-jacent est la solution d'une équation différentielle stochastique.

Les modèles de volatilité stochastique sont utilisés lorsque le prix de l'option est très sensible aux mouvements de la volatilité (smile), et lorsqu'ils ne peuvent pas être expliqués par l'évolution de l'actif sous-jacent lui-même, voir par exemple [34]. C'est typiquement le cas des options exotiques.

Nous présentons ici les principales caractéristiques des modèles de volatilité locale dans lesquels la volatilité des actifs risqués est une fonction du temps et de la valeur au comptant du sous-jacent. Il s'agit d'un standard dans l'industrie. Ils sont suffisamment flexibles pour s'adapter aux prix des options vanille de toutes les échéances, tout en préservant l'exhaustivité du marché. Cela permet une identification claire de la stratégie de couverture, voir Chap. 4.

Ce premier chapitre est consacré aux marchés en temps discret. Nous établissons d'abord un lien entre l'absence d'opportunités d'arbitrage et l'existence de mesures martingales équivalentes, c'est-à-dire de mesures de probabilité équivalentes qui transforment les prix actualisés des actifs en martingales. Ces mesures sont à la base de toute la théorie des prix. Elles définissent les intervalles de prix des produits dérivés qui sont acceptables pour le marché. Lorsque le marché est complet, c'est-à-dire que toute source de risque peut être parfaitement couverte par la négociation d'actifs liquides, ces intervalles sont réduits à un seul point. Ce prix unique permet de couvrir parfaitement le produit dérivé correspondant. Cependant, en général, ces intervalles ne sont pas réduits à un point unique, et seule leur borne supérieure, appelée prix de super-couverture, permet de compenser tous les risques en utilisant une stratégie de couverture dynamique appropriée. Nous étudierons en détail les options européennes et américaines. A la fin du chapitre, l'impact des contraintes de portefeuille sera également discuté.

Dans ce chapitre, nous étendons les résultats obtenus sur les marchés en temps discret à un cadre en temps continu. Nous travaillons avec des modèles semi-martingaux d'Ito dans lesquels les actifs risqués sont modélisés comme une diffusion entraînée par un mouvement brownien. Notez cependant que la plupart des résultats présentés ci-dessous restent vrais dans un cadre beaucoup plus général, voir par exemple [23] et [24]. Les résultats les plus techniques seront présentés sans preuves.

Cet ouvrage couvre la théorie de la tarification et de la couverture des produits dérivés ainsi que les techniques utilisées en finance mathématique. Les auteurs utilisent une approche descendante, en commençant par les principes fondamentaux avant de passer aux applications, et présentent les développements théoriques en même temps que divers exercices, en fournissant de nombreux exemples d'intérêt pratique.Un large éventail de concepts et d'outils mathématiques que l'on trouve habituellement dans des monographies séparées sont présentés ici. En plus de la théorie de l'absence d'arbitrage dans toute sa généralité, ce livre explore également des modèles et des questions pratiques de couverture et de tarification. Fundamentals and Advanced Techniques in Derivatives Hedging introduit en outre des méthodes avancées en probabilité et en analyse, notamment le calcul de Malliavin et la théorie des solutions de viscosité, ainsi que la récente théorie des objectifs stochastiques et son utilisation dans la gestion des risques, ce qui en fait le premier manuel couvrant ce sujet. Les étudiants diplômés en mathématiques appliquées ayant une connaissance de la théorie des probabilités et du calcul stochastique trouveront ce livre utile pour approfondir leur compréhension des concepts et méthodes fondamentaux de la finance mathématique.

Cet ouvrage couvre la théorie de la tarification et de la couverture des produits dérivés ainsi que les techniques utilisées en finance mathématique. Les auteurs utilisent une approche descendante, commençant par les principes fondamentaux avant de passer aux applications, et présentent les développements théoriques en même temps que divers exercices, fournissant de nombreux exemples d'intérêt pratique. En plus de la théorie de l'absence d'arbitrage dans toute sa généralité, ce livre explore également des modèles et des questions pratiques de couverture et de tarification. Fundamentals and Advanced Techniques in Derivatives Hedging introduit en outre des méthodes avancées en probabilité et en analyse, notamment le calcul de Malliavin et la théorie des solutions de viscosité, ainsi que la récente théorie des objectifs stochastiques et son utilisation dans la gestion des risques, ce qui en fait le premier manuel couvrant ce sujet.Les étudiants diplômés en mathématiques appliquées ayant une compréhension de la théorie des probabilités et du calcul stochastique trouveront ce livre utile pour acquérir une compréhension plus approfondie des concepts et méthodes fondamentaux en finance mathématique.

Ce chapitre est consacré à la résolution de problèmes de gestion de portefeuille et à l'étude de stratégies de couverture partielle, basées sur un critère de risque. Nous ferons principalement appel aux arguments de la dualité convexe et du calcul des variations qui s'avèrent très puissants sur les marchés complets : ils nous permettront de trouver des solutions explicites.

Nous analysons une classe d'équations diérentielles partielles (EDP) non linéaires définies sur l'espace euclidien de dimension d fois l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité de dimension d avec un moment de second ordre fini. Nous montrons que de telles équations admettent une solution classique pour des intervalles de temps suffisamment petits. Sous des contraintes supplémentaires, nous prouvons que leur solution peut être étendue à des intervalles arbitraires de grande taille. Ces EDP non linéaires apparaissent dans les développements récents de la théorie du contrôle stochastique de grandes populations. Plus précisément, il s'agit des équations dites maîtresses correspondant aux équilibres asymptotiques d'une grande population de joueurs contrôlés avec une interaction de type champ moyen et soumis à des contraintes de minimisation. Les résultats de l'article sont déduits en exploitant cette connexion. En particulier, nous étudions la différentiabilité par rapport à la condition initiale du flux généré par un système stochastique avant-arrière de type McKean-Vlasov. Comme sous-produit, nous prouvons que le champ de découplage généré par le système forward-backward est une solution classique de l'équation maîtresse correspondante. Enfin, nous donnons plusieurs applications aux jeux à champ moyen et au contrôle des processus de diffusion de McKean-Vlasov.

Cet article traite de la superréplication des créances européennes non dépendantes du chemin sous des contraintes convexes supplémentaires sur le nombre d'actions détenues dans le portefeuille. Le prix de superréplication correspondant d'une créance donnée a été largement étudié dans la littérature, et sa valeur terminale, qui domine la créance d'intérêt, est ce qu'on appelle la transformation de facelift de la créance. Nous étudions sous quelles conditions le prix et la stratégie de superréplication d'une grande classe de revendications coïncident avec le prix et la stratégie de réplication exacts de la transformation de facelift de cette revendication. Dans une dimension, nous observons que cette propriété est satisfaite pour tout modèle de volatilité locale. Dans une dimension quelconque, nous exposons une condition analytique nécessaire et suffisante pour cette propriété, qui combine la dynamique de l'action avec les caractéristiques de l'ensemble convexe fermé de contraintes. Pour obtenir cette condition, nous introduisons la notion de propriété de viabilité au premier ordre pour les EDP paraboliques linéaires. Nous étudions en détail plusieurs cas pratiques d'intérêt : modèle multidimensionnel de Black et Scholes, actifs non négociables et restrictions de vente à découvert.

Dans cet article, nous étudions le comportement qualitatif des schémas d'approximation pour les équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) en introduisant une nouvelle notion de stabilité numérique. Pour le schéma d'Euler, nous fournissons des conditions suffisantes dans le cas unidimensionnel et multidimensionnel pour garantir la stabilité numérique. Nous effectuons ensuite une analyse de stabilité classique de Von Neumann dans le cas d'un pilote linéaire $f$ et exposons les conditions nécessaires pour obtenir la stabilité dans ce cas. Enfin, nous illustrons nos résultats par des applications numériques.

Ce livre propose un panorama complet des fondamentaux mathématiques de l'évaluation des actifs financiers et de la couverture des produits dérivés. La théorie abstraite de l'évaluation des actifs est présentée en détail dans un cadre général de modèles en temps discret avant d'être étendue aux modèles en temps continu. Il présente ensuite de manière approfondie les techniques de couverture appliquées dans les modèles markoviens : en marché complet, en marché incomplet ou en présence de contraintes de portefeuille. L'étude s'appuie fortement sur la caractérisation des prix comme solutions d'équations aux dérivées partielles au sens classique ou au sens des solutions de viscosité. L'originalité de cet ouvrage réside aussi dans la présentation des techniques récentes de cible stochastique qui permettent d'étudier des modèles non classiques (comme ceux utilisés en trading haute fréquence) et de calculer des prix définis selon un critère de risque. Des notions essentielles en pratique comme la calibration, l'impact d'une erreur de spécification de modèle ou la capacité à mettre en place une couverture dynamique sont également abordées. Chaque chapitre est complété par une série d'exercices et d'exemples correspondant aux standards de l'industrie.

Pas de résumé disponible.

Cette thèse se compose de deux parties indépendantes qui portent sur l'application des probabilités au champ de la finance. La première partie étudie la régularité des solutions de certains types d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et réfléchies, ainsi que des schémas d'approximation numérique de ces solutions. En finance, l'application principale est le calcul du prix et de la couverture d'options américaines et d'options de jeu, mais nos travaux ne se limitent pas à ce cadre. La méthode systématique proposée est fondée sur l'étude d'équations qui ne sont réfléchies que sur une grille de temps discrète. En finance, ces équations s'interprètent comme des options bermudéennes. Dans un cadre général de domaines convexes multidimensionnels pouvant, sous certaines conditions, évoluer aléatoirement, nous obtenons des résultats de convergence et de régularité pour ces équations à réflexions discrètes que nous étendons aux EDSR réfléchies de manière continue. La seconde partie porte sur un problème théorique de finance mathématique. Nous y traitons de la valorisation d'options américaines dans le cadre des modèles de marché avec coûts de transaction proportionnels, à la fois pour le temps discret et pour le temps continu. Nous obtenons un théorème de sur-réplication pour ces actifs contingents dans le cadre très général de processus optionnels ladlag.