Une approche probabiliste des solutions classiques de l'équation maîtresse pour les équilibres à grande population.

Résumé Nous analysons une classe d'équations diérentielles partielles (EDP) non linéaires définies sur l'espace euclidien de dimension d fois l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité de dimension d avec un moment de second ordre fini. Nous montrons que de telles équations admettent une solution classique pour des intervalles de temps suffisamment petits. Sous des contraintes supplémentaires, nous prouvons que leur solution peut être étendue à des intervalles arbitraires de grande taille. Ces EDP non linéaires apparaissent dans les développements récents de la théorie du contrôle stochastique de grandes populations. Plus précisément, il s'agit des équations dites maîtresses correspondant aux équilibres asymptotiques d'une grande population de joueurs contrôlés avec une interaction de type champ moyen et soumis à des contraintes de minimisation. Les résultats de l'article sont déduits en exploitant cette connexion. En particulier, nous étudions la différentiabilité par rapport à la condition initiale du flux généré par un système stochastique avant-arrière de type McKean-Vlasov. Comme sous-produit, nous prouvons que le champ de découplage généré par le système forward-backward est une solution classique de l'équation maîtresse correspondante. Enfin, nous donnons plusieurs applications aux jeux à champ moyen et au contrôle des processus de diffusion de McKean-Vlasov.