CRISAN Dan

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Cet article est consacré à la présentation et à l'analyse d'un schéma numérique pour les SDEs forward-backward du type McKean-Vlasov, ou de manière équivalente pour les solutions aux PDEs sur l'espace de Wasserstein. En raison de la structure de champ moyen de l'équation, les méthodes précédentes pour les systèmes classiques forward-backward échouent. Le schéma est basé sur une variation de la méthode de continuation. Le principe est d'implémenter récursivement des itérations locales de Picard sur de petits intervalles de temps. Nous établissons une limite pour le taux de convergence en supposant que le champ de découplage de l'EDD avant-arrière (ou de manière équivalente la solution de l'EDP) satisfait à des conditions de régularité légères. Nous fournissons également des illustrations numériques.

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Nous introduisons une nouvelle classe d'approximations basées sur la méthode de Monte Carlo des espérances de variables aléatoires telles que leurs lois ne sont disponibles que via certaines discrétisations. L'échantillonnage à partir des versions discrétisées de ces lois peut typiquement introduire un biais. Dans cet article, nous montrons comment éliminer ce biais, en introduisant une nouvelle version de Monte Carlo multi-index (MIMC) qui a l'avantage supplémentaire de réduire l'effort de calcul, par rapport à l'échantillonnage i.i.d. à partir de la discrétisation la plus précise, pour un niveau d'erreur donné. Nous couvrons les extensions des résultats concernant la variance et les critères d'optimalité pour la nouvelle approche. Nous appliquons la méthodologie au problème du calcul d'une version mollifiée sans biais de la solution d'une équation différentielle partielle à coefficients aléatoires. Une deuxième application concerne l'inférence bayésienne (le problème du lissage) d'un signal infiniment dimensionnel modélisé par la solution d'une équation différentielle partielle stochastique qui est observée sur une grille spatiale discrète et à des moments discrets. Les deux applications sont complétées par des simulations numériques.

Le problème de filtrage consiste à estimer l'état d'un système dynamique, appelé signal qui est souvent un processus markovien, à partir d'observation bruitées des états passés du système. Dans ce mémoire, nous considérons un modèle de filtrage en temps continu pour le processus de diffusion. Le but est d'étudier la stabilité du filtre optimal par rapport à sa condition initiale au-delà de l'hypothèse de mélange (fort) pour le noyau de transition en ignorant l'ergodicité du signal.

Nous analysons un modèle macroscopique simple décrivant l'évolution d'un nuage de particules confiné dans un piège magnéto-optique. Le comportement des particules est principalement déterminé par des forces attractives autoconsistantes. Contrairement au modèle standard des forces gravitationnelles, le champ de force ne résulte pas d'un potentiel. De plus, le couplage non linéaire est plus singulier que le couplage basé sur l'équation de Poisson. Nous établissons l'existence de solutions, sous une condition de petitesse appropriée sur la masse totale, ou, de manière équivalente, pour un coefficient de diffusion suffisamment grand. Lorsqu'une hypothèse de symétrie est remplie, les solutions satisfont des estimations renforcées (moments exponentiels). Nous étudions également la convergence de la description de N-particules vers le système d'EDP dans le régime du champ moyen.

Nous analysons une classe d'équations diérentielles partielles (EDP) non linéaires définies sur l'espace euclidien de dimension d fois l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité de dimension d avec un moment de second ordre fini. Nous montrons que de telles équations admettent une solution classique pour des intervalles de temps suffisamment petits. Sous des contraintes supplémentaires, nous prouvons que leur solution peut être étendue à des intervalles arbitraires de grande taille. Ces EDP non linéaires apparaissent dans les développements récents de la théorie du contrôle stochastique de grandes populations. Plus précisément, il s'agit des équations dites maîtresses correspondant aux équilibres asymptotiques d'une grande population de joueurs contrôlés avec une interaction de type champ moyen et soumis à des contraintes de minimisation. Les résultats de l'article sont déduits en exploitant cette connexion. En particulier, nous étudions la différentiabilité par rapport à la condition initiale du flux généré par un système stochastique avant-arrière de type McKean-Vlasov. Comme sous-produit, nous prouvons que le champ de découplage généré par le système forward-backward est une solution classique de l'équation maîtresse correspondante. Enfin, nous donnons plusieurs applications aux jeux à champ moyen et au contrôle des processus de diffusion de McKean-Vlasov.

© 2014 Elsevier Inc.Nous obtenons des bornes de gradient nettes pour les semigroupes de diffusion perturbés. Contrairement aux résultats existants, la perturbation est ici aléatoire et les bornes obtenues sont pathwise. Notre approche s'appuie sur les travaux classiques de Kusuoka et Stroock [13,14,16,17], et étend leur programme développé pour le semi-groupe de chaleur aux solutions d'équations différentielles partielles stochastiques. Le travail est motivé par et appliqué au filtrage non linéaire. L'analyse nous permet de dériver des limites de gradient par chemin pour la distribution conditionnelle non normalisée d'un signal partiellement observé. Elle utilise une représentation par chemin du semigroupe perturbé suivant Ocone [22]. Les estimations que nous dérivons ont une asymptotique nette en petit temps.