Approche numérique probabiliste de la MFG.

Résumé Ce projet étudie les méthodes numériques pour résoudre les équations différentielles stochastiques avant-arrière (FBSDE) de type McKean-Vlasov entièrement couplées. Il est intéressant de disposer de solveurs numériques pour ces FBSDE à champ moyen en raison de l'application potentielle de ces équations à des problèmes d'optimisation sur une grande population, comme par exemple les jeux à champ moyen (MFG) et les problèmes de contrôle optimal à champ moyen. La théorie pour ce type de problèmes a rencontré un grand succès depuis les premiers travaux sur les jeux de champ moyen de Lasry et Lions, voir \cite{Lasry_Lions}, et de Huang, Caines, et Malham\'{e}, voir \cite{Huang}. De manière générale, l'objectif est de comprendre la limite du continuum des optimiseurs ou des équilibres (disons au sens de Nash) lorsque le nombre de joueurs sous-jacents tend vers l'infini. Lorsqu'on les aborde d'un point de vue probabiliste, les solutions à ces problèmes de contrôle (ou jeux) peuvent être décrites par des FBSDE à champ moyen couplé, ce qui signifie que les coefficients dépendent des lois marginales propres de la solution. Dans cette note, nous détaillons deux méthodes pour résoudre de telles FBSDEs que nous implémentons et appliquons à cinq problèmes de référence. La première méthode utilise une structure arborescente pour représenter les lois du chemin de la solution, tandis que la seconde méthode utilise une discrétisation en grille pour représenter les lois marginales temporelles des solutions. Les deux méthodes sont basées sur un schéma de Picard. De manière importante, nous combinons chacune d'entre elles avec une méthode de continuation générique qui permet d'étendre l'horizon temporel (ou de manière équivalente la force de couplage entre les deux équations) pour lequel l'itération de Picard converge.