Méthodes numériques probabilistes en grande dimension pour le contrôle stochastique et problèmes de valorisation sur les marchés d'électricité.

Résumé Cette thèse traite de la résolution numérique de problèmes généraux de contrôle stochastique, avec des applications notables pour les marchés de l'électricité. Nous proposons d'abord un modèle structurel pour le prix de l'électricité, permettant des pics de prix bien supérieurs au prix marginal du combustible dans des conditions de marché tendues. Ce modèle permet de fixer le prix et de couvrir partiellement les dérivés de l'électricité, en utilisant des contrats à terme sur le carburant comme instruments de couverture. Ensuite, nous proposons un algorithme, qui combine des simulations de Monte-Carlo avec des régressions à base locale, pour résoudre des problèmes généraux de commutation optimale. Un taux de convergence complet de la méthode est fourni. De plus, nous parvenons à rendre l'algorithme parcimonieux en mémoire (et donc adapté aux problèmes de haute dimension) en généralisant à ce cadre une méthode de réduction de la mémoire qui évite le stockage des chemins d'échantillonnage. Nous illustrons cela sur le problème des investissements dans de nouvelles centrales électriques (notre modèle structurel de prix de l'électricité permettant aux nouvelles centrales d'avoir un impact sur le prix de l'électricité). Enfin, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique plus généraux (le contrôle peut être continu et avoir un impact sur la dérive et la volatilité du processus d'état), dont les solutions appartiennent à la classe des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman entièrement non linéaires, et peuvent être traitées via des équations différentielles stochastiques à rebours contraintes, pour lesquelles nous développons un algorithme à rebours basé sur la randomisation du contrôle et des optimisations paramétriques. Un taux de convergence entre l'EDPS contrainte et sa version discrète est fourni, ainsi qu'une estimation du contrôle optimal. Cet algorithme est ensuite appliqué au problème de la superréplication des options sous des volatilités (et corrélations) incertaines.