Représentation de Feynman-Kac des EDP entièrement non linéaires et applications.

Résumé La formule classique de Feynman-Kac établit le lien entre les équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliques linéaires, comme l'équation de la chaleur, et l'espérance des processus stochastiques pilotés par le mouvement brownien. Elle donne ensuite une méthode pour résoudre les EDP linéaires par des simulations de Monte Carlo de processus aléatoires. L'extension aux EDP (entièrement) non linéaires a conduit ces dernières années à des développements importants en analyse stochastique et à l'émergence de la théorie des équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE), qui peuvent être considérées comme des formules de Feynman-Kac non linéaires. Nous passons en revue dans cet article les principales idées et résultats dans ce domaine, et présentons les implications de ces représentations probabilistes pour la résolution numérique des EDP non linéaires, ainsi que certaines applications aux problèmes de contrôle stochastique et à l'incertitude des modèles en finance.