Programmation dynamique pour le contrôle optimal de la dynamique stochastique de McKean-Vlasov.

Résumé Nous étudions le contrôle optimal de l'équation stochastique générale de McKean-Vlasov. Ce problème est motivé à l'origine par la formulation asymptotique de l'équilibre coopératif pour une grande population de particules (joueurs) dans une interaction de champ moyen sous un bruit commun. Notre premier résultat principal est d'énoncer un principe de programmation dynamique pour la fonction de valeur dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité, qui est prouvé à partir d'une propriété de flux de la loi conditionnelle du processus d'état contrôlé. Ensuite, en nous appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité due à P.L. Lions [32], et sur la formule d'Itô le long d'un flux de mesures conditionnelles, nous dérivons l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman en programmation dynamique, et prouvons la propriété de viscosité ainsi qu'un résultat d'unicité pour la fonction de valeur. Enfin, nous résolvons explicitement le problème de contrôle linéaire-quadratique stochastique de McKean-Vlasov et donnons une application à un modèle de risque systémique interbancaire avec bruit commun.