Couverture d'options dans un marché avec impact et schémas numériques pour les EDSR basés sur des systèmes de particules.

Résumé La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme.