TAN Xiaolu

Les jeux à champ moyen concernent la limite des jeux différentiels stochastiques à grande population où les agents interagissent par le biais de leur distribution empirique. Dans le cadre classique, le nombre de joueurs est grand mais fixe tout au long du jeu. Cependant, dans diverses applications, telles que la dynamique des populations ou la croissance économique, le nombre de joueurs peut varier dans le temps, ce qui peut conduire à des équilibres de Nash différents. Pour cette raison, nous introduisons un mécanisme de branchement dans la population d'agents et obtenons une variation du problème du jeu de champ moyen. Dans un premier temps, nous étudions un modèle simple en utilisant une approche PDE pour illustrer les principales différences avec le cadre classique. Nous prouvons l'existence d'une solution et montrons qu'elle fournit un équilibre de Nash approximatif pour les jeux à grande population. Nous présentons également un exemple numérique pour un modèle linéaire--quadratique. Nous étudions ensuite le problème dans un cadre général par une approche probabiliste. Celle-ci est basée sur la formulation relaxée des problèmes de contrôle stochastique qui nous permet d'obtenir un résultat d'existence général.

Nous introduisons une notion de solution approximative de viscosité pour une classe d'EDP non linéaires dépendant du chemin (EDPP), y compris les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman. Des résultats d'existence, de comparaison et de stabilité sont établis dans des conditions assez générales. On obtient également des solutions lisses lorsque la dimension est inférieure ou égale à deux, ou que la non-linéarité est concave dans la dérivée spatiale du second ordre. Nous étudions enfin la régularité (au sens de Dupire) de la solution de l'EDPP.

En utilisant la notion de dérivée verticale de Dupire, nous fournissons une extension fonctionnelle (dépendante du chemin) de la formule d'Itô de Gozzi et Russo (2006) qui s'applique aux fonctions C^{0,1} des processus Dirichlet faibles continus. Cette formule est motivée et illustrée par ses applications aux problèmes de couverture ou de super-couverture des options dépendantes du chemin en finance mathématique, en particulier dans le cas de l'incertitude du modèle.

Nous considérons un problème de contrôle optimal stochastique à temps continu sous des contraintes d'égalité et d'inégalité sur l'espérance de certaines fonctions du processus contrôlé. Sous une condition de qualification, nous montrons que le problème est en dualité avec un problème d'optimisation impliquant le multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes. Ensuite, par des techniques d'analyse convexe, nous fournissons un résultat d'existence général et une estimation a priori des optimiseurs duaux. Nous fournissons également une condition d'optimalité nécessaire et suffisante pour le problème initial de contrôle sous contraintes. Les mêmes résultats sont également obtenus pour un problème de contrôle contraint en temps discret. De plus, sous des conditions de régularité supplémentaires, il est prouvé que le problème de contrôle en temps discret converge vers le problème en temps continu, éventuellement avec un taux de convergence. Ce résultat de convergence peut être utilisé pour obtenir des algorithmes numériques pour approximer le problème de contrôle en temps continu, ce que nous illustrons par deux exemples numériques simples.

Nous étudions les schémas de simulation en temps discret pour les équations stochastiques de Volterra, à savoir les schémas d'Euler et de Milstein, ainsi que la méthode de Monte-Carlo multi-niveaux correspondante. En utilisant et en adaptant certains résultats de Zhang [22], ainsi que le lemme de Garsia-Rodemich-Rumsey, nous obtenons les taux de convergence du schéma d'Euler et du schéma de Milstein sous la norme du supremum. Nous appliquons ensuite ces schémas pour approximer l'espérance des fonctionnelles de ces équations de Volterra par la méthode de Monte-Carlo (multi-niveaux), et nous calculons leur complexité.

Nous étudions le comportement à long terme d'une équation de Langevin à champ moyen (MFL) sous-amortie, et fournissons un résultat de convergence générale ainsi qu'un résultat de taux de convergence exponentiel sous différentes conditions. Les résultats sur l'équation MFL peuvent être appliqués à l'étude de la convergence de l'algorithme de descente de gradient Hamiltonien pour l'optimisation surparamétrée. Nous fournissons ensuite un exemple numérique de l'algorithme pour entraîner un réseau adversarial génératif (GAN).

Nous prouvons un résultat robuste de dualité de super-couverture pour les options dépendantes du chemin sur les actifs avec sauts, dans un cadre de temps continu. Ce résultat exige que la collection de mesures martingales soit suffisamment riche et que la fonction de gain satisfasse une certaine propriété de continuité. Il s'agit d'un sous-produit d'une version quasi-sûre du théorème de décomposition optionnelle, qui peut également être considéré comme une version fonctionnelle du lemme d'Itô, qui s'applique aux fonctionnelles non lisses (de processus càdlàg) qui sont seulement concaves dans l'espace et non croissantes dans le temps, au sens de Dupire.

Nous considérons un marché financier en temps discret avec des coûts de transaction proportionnels sous l'incertitude du modèle, et nous étudions une maximisation semi-statique de l'utilité dans le cas d'une préférence d'utilité exponentielle. Les techniques de randomisation récemment développées dans [12] nous permettent de transformer le problème original dans un cadre de marché sans friction, cependant, avec l'incertitude de probabilité supplémentaire sur un espace élargi. En utilisant le résultat de dualité à une période de [3], ainsi que des arguments de sélection mesurables et le théorème minimax, nous sommes en mesure de prouver l'existence de la stratégie optimale, le théorème de dualité convexe ainsi que le principe de programmation dynamique auxiliaire dans notre contexte avec coûts de transaction. Comme application de la représentation de la dualité, certaines caractéristiques importantes des prix d'indifférence à l'utilité sont étudiées dans le cadre robuste.

Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.

Nous étendons l'algorithme numérique basé sur le processus de branchement de Bouchard et al. [3], qui est dédié aux EDP semi-linéaires (ou BSDE) avec une non-linéarité de Lipschitz, au cas où la non-linéarité implique le gradient de la solution. Comme dans [3], ceci requiert une procédure de localisation qui utilise des estimations a priori sur la solution réelle, de façon à assurer la bonne pose du schéma d'itération de Picard impliqué, et la convergence globale de l'algorithme. Lorsque la non-linéarité dépend du gradient, ce dernier doit également être contrôlé. Ceci est fait en utilisant une procédure de lifting. La convergence de notre algorithme est prouvée sans aucune limitation de l'horizon temporel. Nous fournissons également des simulations numériques pour illustrer les performances de l'algorithme.

Nous considérons un marché financier en temps discret avec des coûts de transaction proportionnels sous l'incertitude du modèle, et nous étudions une maximisation semi-statique de l'utilité dans le cas d'une préférence d'utilité exponentielle. Les techniques de randomisation récemment développées dans [12] nous permettent de transformer le problème original dans un cadre de marché sans friction, cependant, avec l'incertitude de probabilité supplémentaire sur un espace élargi. En utilisant le résultat de dualité à une période de [3], ainsi que des arguments de sélection mesurables et le théorème minimax, nous sommes en mesure de prouver l'existence de la stratégie optimale, le théorème de dualité convexe ainsi que le principe de programmation dynamique auxiliaire dans notre contexte avec coûts de transaction. Comme application de la représentation de la dualité, certaines caractéristiques importantes des prix d'indifférence à l'utilité sont étudiées dans le cadre robuste.

Nous considérons une version générale dépendante du chemin du problème de couverture avec impact sur les prix de Bouchard et al. (2019), dans laquelle une formulation duale pour le prix de super-couverture est obtenue au moyen d'arguments PDE, dans un cadre markovien et sous des conditions de régularité fortes. En utilisant uniquement des arguments probabilistes, nous prouvons, dans un cadre dépendant du chemin et sous des conditions de régularité faibles, que toute solution à ce problème dual permet en fait de construire explicitement un portefeuille de couverture parfait. D'un point de vue purement probabiliste, notre approche permet également d'exposer les solutions d'une classe spécifique d'équations différentielles stochastiques avant-arrière de second ordre, au sens de Cheridito et al. (2007). L'existence d'une solution au problème de contrôle optimal dual est également abordée dans des contextes particuliers. Comme sous-produit de nos arguments, nous prouvons une version du lemme d'Itô pour les fonctions dépendantes du chemin qui sont seulement C^{0,1} au sens de Dupire.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons un marché financier en temps discret avec un coût de transaction proportionnel sous l'incertitude du modèle, et nous étudions un problème de super-réplication. Nous retrouvons les résultats de dualité qui sont bien connus dans le contexte classique dominé. Notre argument clé consiste à utiliser une technique de randomisation ainsi que le théorème minimax pour convertir le problème initial en un problème sans friction sur un espace élargi. Cela nous permet de faire appel aux techniques et aux résultats de Bouchard et Nutz (2015) pour obtenir le résultat de dualité.

Nous étudions la dualité prix-couverture pour les options américaines dans des modèles financiers en temps discret où certains actifs sont négociés dynamiquement et d'autres, par exemple une famille d'options européennes, seulement statiquement. Dans la première partie de l'article, nous considérons un cadre abstrait, qui comprend le cas classique avec une mesure de probabilité de référence fixe ainsi que le cadre robuste avec une famille non dominée de mesures de probabilité. Notre première idée est qu'en considérant un élargissement (universel) de l'espace, nous pouvons voir les options américaines comme des options européennes et récupérer la dualité prix-couverture, qui peut échouer dans la formulation originale. Ceci peut être considéré comme une formulation faible du problème original. Notre deuxième idée est que l'absence de dualité est due à l'absence de cohérence dynamique et que, par conséquent, un élargissement différent de la cohérence dynamique est suffisant pour retrouver la dualité : il suffit de considérer des extensions (fictives) du marché dans lesquelles tous les actifs sont négociés de manière dynamique. Dans la deuxième partie de l'article, nous étudions deux exemples importants de cadre robuste : la configuration de Bouchard et Nutz (2015) et la configuration de transport optimal martingale de Beiglb\"ock et al. (2013), et nous montrons que nos résultats généraux s'appliquent dans les deux cas et nous permettent d'obtenir la dualité prix-couverture pour les options américaines.

Nous considérons un marché financier en temps discret avec un coût de transaction proportionnel sous l'incertitude du modèle, et nous étudions un problème de super-réplication. Nous retrouvons les résultats de dualité qui sont bien connus dans le contexte classique dominé. Notre argument clé consiste à utiliser une technique de randomisation ainsi que le théorème minimax pour convertir le problème initial en un problème sans friction sur un espace élargi. Cela nous permet de faire appel aux techniques et aux résultats de Bouchard et Nutz (2015) pour obtenir le résultat de dualité.

Le but de cette thèse CIFRE est de construire un portefeuille de stratégies de trading algorithmique intraday. Au lieu de considérer les prix comme une fonction du temps et d'un aléa généralement modélisé par un mouvement brownien, notre approche consiste à identifier les principaux signaux auxquels sont sensibles les donneurs d'ordres dans leurs prises de décision puis alors de proposer un modèle de prix afin de construire des stratégies dynamiques d'allocation de portefeuille. Dans une seconde partie plus académique, nous présentons des travaux de pricing d'options européennes et asiatiques.

Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en mathématiques financières. La thèse contient deux parties. Dans la première partie, nous développons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés, nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique. Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur de l’équation de Bellman. Dans le premier chapitre, nous résumons quelques résultats utiles du calcul différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret. Le troisième chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu. Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites permettent de justifier quantitativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.

Cet article examine la solution de racine du problème de l'encastrement de Skorohod étant donné les marginaux complets sur un intervalle de temps compact. Nos résultats sont obtenus par des arguments limitatifs basés sur la solution de Racine des marginaux finiment nombreux de Cox, Oblój et Touzi. Notre résultat principal fournit une caractérisation de la fonction potentielle correspondante au moyen d'une EDP parabolique pratique.

Nous fournissons un résultat de représentation des PD-E paraboliques semi-linéaires, avec une non-linéarité polynomiale, par des processus de diffusion branchés. Nous étendons la représentation classique des équations KPP, introduite par Skorokhod [23], Watanabe [27] et McKean [18], en permettant une non-linéarité polynomiale dans la paire (u, Du), où u est la solution de l'EDP avec le gradient spatial Du. Comme dans la littérature précédente, notre résultat requiert une condition de non-explosion qui restreint la " petite maturité " ou la " petite non-linéarité " de l'EDP. Notre ingrédient principal est la technique de différenciation automatique comme dans [15], basée sur l'intégration par parties de Malliavin, qui permet de tenir compte des non-linéarités dans le gradient. En conséquence, les particules de notre diffusion branchée sont marquées par la nature de la non-linéarité. Cette nouvelle représentation a des implications numériques très importantes car elle est adaptée à la simulation de Monte Carlo. En effet, elle fournit la première méthode numérique pour les EDP non linéaires de haute dimension avec une estimation de l'erreur induite par le théorème central limite sans dimension. On constate également que la complexité est de l'ordre du carré de la dimension. La dernière section de cet article illustre l'efficacité de l'algorithme par quelques expériences numériques de haute dimension.

Nous étudions la dualité prix-couverture pour les options américaines dans des modèles financiers en temps discret où certains actifs sont négociés dynamiquement et d'autres, par exemple une famille d'options européennes, seulement statiquement. Dans la première partie de l'article, nous considérons un cadre abstrait, qui comprend le cas classique avec une mesure de probabilité de référence fixe ainsi que le cadre robuste avec une famille non dominée de mesures de probabilité. Notre première idée est qu'en considérant un élargissement (universel) de l'espace, nous pouvons voir les options américaines comme des options européennes et récupérer la dualité prix-couverture, qui peut échouer dans la formulation originale. Ceci peut être considéré comme une formulation faible du problème original. Notre deuxième idée est que l'absence de dualité est due à l'absence de cohérence dynamique et que, par conséquent, un élargissement différent de la cohérence dynamique est suffisant pour retrouver la dualité : il suffit de considérer des extensions (fictives) du marché dans lesquelles tous les actifs sont négociés de manière dynamique. Dans la deuxième partie de l'article, nous étudions deux exemples importants de cadre robuste : la configuration de Bouchard et Nutz (2015) et la configuration de transport optimal martingale de Beiglb\"ock et al. (2013), et nous montrons que nos résultats généraux s'appliquent dans les deux cas et nous permettent d'obtenir la dualité prix-couverture pour les options américaines.

La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme.

Nous étendons l'algorithme numérique basé sur le processus de branchement de Bouchard et al. [3], qui est dédié aux EDP semi-linéaires (ou BSDE) avec une non-linéarité de Lipschitz, au cas où la non-linéarité implique le gradient de la solution. Comme dans [3], ceci requiert une procédure de localisation qui utilise des estimations a priori sur la solution réelle, de façon à assurer la bonne pose du schéma d'itération de Picard impliqué, et la convergence globale de l'algorithme. Lorsque la non-linéarité dépend du gradient, ce dernier doit également être contrôlé. Ceci est fait en utilisant une procédure de lifting. La convergence de notre algorithme est prouvée sans aucune limitation de l'horizon temporel. Nous fournissons également des simulations numériques pour illustrer les performances de l'algorithme.

Le transport optimal des martingales vise à transférer de manière optimale une mesure de probabilité à une autre le long de la classe des martingales. Ce problème est principalement motivé par la super-couverture robuste des dérivés exotiques en mathématiques financières, qui s'avère être le dual de Kantorovich correspondant. Dans cet article, nous considérons le transport martingale en temps continu sur l'espace de Skorokhod des chemins c`adì ag. Comme dans le cadre classique du transport optimal, nous introduisons différents problèmes duaux et établissons les dualités correspondantes par une utilisation cruciale de la topologie S et du principe de programmation dynamique 1 .

Nous proposons un nouveau schéma numérique pour les équations différentielles stochastiques rétroactives basé sur les processus de branchement. Nous approximons un pilote arbitraire (Lipschitz) par des polynômes locaux et utilisons ensuite un schéma d'itération de Picard. Chaque étape de l'itération de Picard peut être résolue en utilisant une représentation en termes de systèmes de diffusion ramifiés, évitant ainsi le besoin d'une discrétisation temporelle fine. Contrairement à la littérature précédente sur la résolution numérique des BSDE basés sur des processus de branchement, nous prouvons la convergence de notre schéma numérique sans limitation de l'horizon temporel. Des simulations numériques sont fournies pour illustrer la performance de l'algorithme.

Pas de résumé disponible.

Le transport optimal des martingales vise à transférer de manière optimale une mesure de probabilité à une autre le long de la classe des martingales. Ce problème est principalement motivé par la super-couverture robuste des dérivés exotiques en mathématiques financières, qui s'avère être le dual de Kantorovich correspondant. Dans cet article, nous considérons le transport martingale en temps continu sur l'espace de Skorokhod des chemins c`adì ag. Comme dans le cadre classique du transport optimal, nous introduisons différents problèmes duaux et établissons les dualités correspondantes par une utilisation cruciale de la topologie S et du principe de programmation dynamique 1 .

Nous proposons un estimateur de Monte-Carlo sans biais pour E[g(X t 1 , - - - , X tn)], où X est un processus de diffusion défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. L'idée principale est de partir plutôt d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDS à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation repose sur la technique de différenciation automatique induite par la formule de Bismu-Elworthy-Li du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournié et al [14] pour la simulation des Grecs dans des applications financières. En particulier, cet algorithme peut être considéré comme une variation de l'estimateur (à variance infinie) obtenu dans Bally et Kohatsu-Higa [3, Section 6.1] comme une application de la méthode paramétrique. MSC2010. Primaire 65C05, 60J60. Secondaire 60J85, 35K10.

Nous fournissons une approche unifiée des estimations a priori pour les supersolutions des BSDE dans des filtrations générales, qui peuvent ne pas être quasi-continues à gauche. Comme exemple d'application, nous prouvons que les BSDE réfléchies sont bien posées dans un cadre général.

Nous fournissons une décomposition générale de Doob-Meyer pour les systèmes de g-supermartingales, qui ne nécessite aucune continuité droite sur le système. En particulier, elle généralise la décomposition de Doob-Meyer de Mertens pour les supermartingales classiques, ainsi que la version de Peng pour les g-supermartingales à continuité droite. Comme exemples d'application, nous prouvons un théorème de décomposition optionnelle pour les systèmes g-supermartingales, et obtenons également une version générale de la formation duale bien connue pour les BSDE avec contrainte sur le processus de gains, en utilisant des arguments très simples.

Nous fournissons une décomposition générale de Doob-Meyer pour les systèmes de g-supermartingales, qui ne nécessite aucune continuité à droite sur le système, ni que la filtration soit quasi-continue à gauche. En particulier, elle généralise la décomposition de Doob-Meyer de Mertens [35] pour les supermartingales classiques, ainsi que la version de Peng [40] pour les g-supermartingales continues à droite. Comme exemples d'application, nous prouvons un théorème de décomposition optionnelle pour les systèmes g-supermartingales, et obtenons également une version générale de la formation duale bien connue pour les BSDE avec contrainte sur le processus de gains, en utilisant des arguments très simples.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

Nous proposons une reformulation du théorème de convergence des schémas numériques monotones introduit par Zhang et Zhuo [32] pour les solutions de viscosité des EDP dépendant du chemin (EDP), qui étend le travail séminal de Barles et Souganidis [1] sur la solution de viscosité des EDP. Nous prouvons le théorème de convergence sous des conditions similaires à celles du théorème classique de [1]. Ces conditions sont satisfaites, au meilleur de notre connaissance, par tous les schémas numériques monotones classiques dans le contexte de la théorie du contrôle stochastique. En particulier, l'article fournit une approche unifiée pour prouver la convergence des schémas numériques pour les problèmes de contrôle stochastique non-markovien, les BSDE du second ordre, les jeux différentiels stochastiques, etc.

Le problème de l'encastrement de Skorokhod vise à représenter une mesure de probabilité donnée sur la ligne réelle comme la distribution du mouvement brownien arrêté à un temps d'arrêt choisi. Dans cet article, nous considérons une extension du problème d'encastrement optimal de Skorokhod de Beiglböck, Cox & Huesmann [1] au cas de contraintes marginales en nombre fini 1. En utilisant l'approche classique de dualité convexe ainsi que la théorie de l'arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité qui sont formulés au moyen de mesures de probabilité sur un espace élargi. Nous relions également ces résultats au problème du transport optimal martingale sous contraintes marginales multiples.

Nous considérons le problème de l'encastrement optimal de Skorokhod (SEP) compte tenu de marges complètes sur l'intervalle de temps [0, 1]. Le problème est lié à l'étude des martingales extrémales associées à un paon (" processus croissant dans l'ordre convexe ", par Hirsch, Profeta, Roynette et Yor [16]). Un résultat général de dualité est obtenu par des techniques de convergence. Nous étudions ensuite le cas où la fonction de récompense dépend du maximum du processus d'encastrement, qui est la limite du problème de transport martingale étudié dans Henry-Labord ere, Ob lój , Spoida et Touzi [13]. Sous des conditions techniques, certaines caractéristiques explicites des solutions au SEP optimal ainsi qu'à son problème dual sont obtenues. Nous discutons également l'inégalité martingale associée.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

Dans cette note, nous proposons deux approches différentes pour justifier rigoureusement une propriété pseudo-Markov pour les processus de diffusion contrôlés qui est souvent (explicitement ou implicitement) utilisée pour prouver le principe de programmation dynamique dans la littérature sur le contrôle stochastique. La première approche développe une ébauche de preuve proposée par Fleming et Souganidis [9]. La seconde approche est basée sur un élargissement de l'espace d'état original et un problème de martingale contrôlée. Nous clarifions certains problèmes de mesurabilité et de topologie soulevés par ces deux approches.

Il s'agit de la suite de notre article d'accompagnement [18]. Nous fournissons une preuve alternative du principe de monotonicité pour le problème d'encastrement optimal de Skorokhod établi dans Beiglböck, Cox et Huesmann [2]. Notre preuve est basée sur l'adaptation de la dualité Monge-Kantorovich dans notre contexte, une application délicate du théorème de la section transversale optionnelle, et un argument de conditionnement astucieux introduit dans [2].

Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité. convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés.

Nous fournissons une approche unifiée des estimations a priori pour les supersolutions des BSDE dans des filtrations générales, qui peuvent ne pas être quasi-continues à gauche. Comme exemple d'application, nous prouvons que les BSDE réfléchies sont bien posées dans un cadre général.

Nous considérons un problème de contrôle stochastique pour une classe de noyaux non linéaires. Plus précisément, notre problème d'intérêt consiste en l'optimisation, sur un ensemble de mesures de probabilité éventuellement non dominées, de solutions d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE). Puisque les BSDE sont des généralisations non linéaires des attentes traditionnelles (linéaires), ce problème peut être compris comme le contrôle stochastique d'une famille d'attentes non linéaires, ou de manière équivalente de noyaux non linéaires. Notre première contribution principale est de prouver un principe de programmation dynamique pour ce problème de contrôle dans un cadre abstrait, que nous utilisons ensuite pour fournir une caractérisation semimartingale de la fonction de valeur. Nous explorons ensuite plusieurs applications de nos résultats. Nous obtenons tout d'abord un résultat de bienposition pour les BSDE du second ordre (tel qu'introduit dans [76]) qui ne nécessite aucune hypothèse de régularité sur la condition terminale et le générateur. Nous prouvons ensuite une décomposition optionnelle non linéaire dans un cadre robuste, en étendant des résultats récents de [63], que nous utilisons ensuite pour obtenir une dualité de super-couverture dans des marchés financiers incertains, incomplets et non linéaires. Enfin, nous relions, sous des hypothèses de régularité supplémentaires, la fonction de valeur à une solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles dépendante du chemin (EDPP) appropriée.

Nous considérons un problème de contrôle stochastique pour une classe de noyaux non linéaires. Plus précisément, notre problème d'intérêt consiste en l'optimisation, sur un ensemble de mesures de probabilité éventuellement non dominées, de solutions d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE). Puisque les BSDE sont des généralisations non linéaires des attentes traditionnelles (linéaires), ce problème peut être compris comme le contrôle stochastique d'une famille d'attentes non linéaires, ou de manière équivalente de noyaux non linéaires. Notre première contribution principale est de prouver un principe de programmation dynamique pour ce problème de contrôle dans un cadre abstrait, que nous utilisons ensuite pour fournir une caractérisation semimartingale de la fonction de valeur. Nous explorons ensuite plusieurs applications de nos résultats. Nous obtenons tout d'abord un résultat de bienposition pour les BSDE du second ordre (tel qu'introduit dans [76]) qui ne nécessite aucune hypothèse de régularité sur la condition terminale et le générateur. Nous prouvons ensuite une décomposition optionnelle non linéaire dans un cadre robuste, en étendant des résultats récents de [63], que nous utilisons ensuite pour obtenir une dualité de super-couverture dans des marchés financiers incertains, incomplets et non linéaires. Enfin, nous relions, sous des hypothèses de régularité supplémentaires, la fonction de valeur à une solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles dépendante du chemin (EDPP) appropriée.

Nous développons une technique de simulation exacte faible pour un processus X défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. En particulier, pour une fonction Lipschitz g, nous proposons une approximation basée sur la simulation de l'espérance E[g(X_{t_1}, \cdots, X_{t_n})], qui contourne l'erreur de discrétisation. L'idée principale est de partir d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDD à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation s'appuie sur la technique de différenciation automatique induite par la formule d'Elworthy du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournie et al. pour la simulation des Grecs dans les applications financières.Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. En outre, sa mise en œuvre est une combinaison simple des techniques de discrétisation standard et de la méthode de différenciation automatique mentionnée ci-dessus.

Nous étudions l'approximation faible des SDE inversés du second ordre (2BSDEs), lorsque les martingales continues de conduite sont approximées par des martingales en temps discret. Nous établissons un résultat de convergence pour une classe de 2BSDEs, en utilisant à la fois les propriétés de robustesse des BSDEs, comme prouvé dans Briand, Delyon et Mémin [Stochastic Process. Appl. 97 (2002) 229-253], et l'étanchéité des solutions aux BSDEs en temps discret. En particulier, lorsque les martingales approximatives sont données par certaines chaînes de Markov contrôlées particulières, nous obtenons plusieurs schémas numériques concrets pour les 2BSDEs, que nous illustrons sur des exemples spécifiques.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

Nous donnons une interprétation probabiliste du schéma de Monte Carlo proposé par Fahim, Touzi et Warin [Ann. Appl. Probab. 21(4) : 1322-1364 (2011)] pour des EDP paraboliques entièrement non linéaires, et le généralisons donc au cas dépendant du chemin (ou non markovien) pour un problème de contrôle stochastique général. Le résultat de convergence générale est obtenu par la méthode de convergence faible dans l'esprit de Kushner et Dupuis [19]. Nous obtenons également un taux de convergence en utilisant la technique du principe d'invariance comme dans Dolinsky [7], qui est meilleur que celui obtenu par la méthode de solution par viscosité. Enfin, en approximant les attentes conditionnelles qui apparaissent dans le schéma numérique avec la méthode de simulation-régression, nous obtenons un schéma implémentable.

Nous considérons une extension du problème de transport optimal de Monge-Kantorovitch. La masse est transportée le long d'une semimartingale continue, et le coût du transport dépend de la dérive et des coefficients de diffusion de la semimartingale continue. Le problème de transport optimal minimise le coût parmi toutes les semimartingales continues avec des distributions initiales et terminales données. Notre premier résultat principal est une extension de la dualité de Kantorovitch à ce contexte. Nous proposons également un schéma à différences finies combiné à l'algorithme de projection du gradient pour approximer la valeur duale. Nous prouvons la convergence du schéma, et nous dérivons un taux de convergence. Nous fournissons enfin une application dans le contexte des mathématiques financières, qui a motivé à l'origine notre extension du problème de Monge-Kantorovitch. Nous mettons en œuvre notre schéma pour approximer des limites de non-arbitrage sur les prix des options exotiques étant donné la courbe de volatilité implicite d'une certaine maturité.

Pas de résumé disponible.

Motivés par des applications dans l'évaluation des options asiatiques, le commerce optimal des matières premières, etc., nous proposons un schéma de fractionnement pour les EDP paraboliques dégénérées entièrement non linéaires. Le schéma de fractionnement généralise le schéma probabiliste de Fahim, Touzi et Warin [13] au cas dégénéré. La convergence générale ainsi que le taux de convergence sont obtenus sous des conditions raisonnables. En particulier, il peut être utilisé pour une classe d'équations de Hamilton-Jacobi-Bellman, qui caractérisent les fonctions de valeur de problèmes de contrôle stochastiques ou de jeux différentiels stochastiques. Nous fournissons également une méthode de simulation-régression pour rendre le schéma de fractionnement implémentable. Enfin, nous donnons quelques tests numériques dans un problème d'évaluation d'options asiatiques et un problème de gestion optimale de l'hydroélectricité.

Dans le cadre de Galichon, Henry-Labordère et Touzi, nous considérons la limite de non-arbitrage sans modèle de l'option de variance étant donné les distributions marginales de l'actif sous-jacent. Nous faisons d'abord quelques approximations qui restreignent le calcul sur un domaine borné. Ensuite, nous proposons un algorithme de projection du gradient ainsi qu'un schéma de différences finies pour approximer la limite. Le résultat général de convergence est obtenu. Nous fournissons également un exemple numérique sur l'option de swap de variance.

Nous étudions l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordere (2012), puis nous le généralisons au cas non-markovien pour une classe d'EDS à rebours (EDSB). En simulant le processus de branchement, l'algorithme ne nécessite aucune régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren et al. (à paraître) [5] et étendue dans Ekren et al. (2012) [6,7].

Dans cette note, nous justifions rigoureusement un argument de conditionnement qui est souvent (explicitement ou implicitement) utilisé pour prouver le principe de programmation dynamique dans la littérature sur le contrôle stochastique. À cette fin, nous établissons des problèmes de martingale contrôlée d'une manière inhabituelle.

Nous généralisons l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordére \cite{Henry-Labordere_branching} au cas non-markovien pour une classe de SDEs rétrogrades (BSDEs). En simulant le processus de branchement, l'algorithme n'a pas besoin de régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren, Keller, Touzi et Zhang \cite{EkrenKellerTouziZhang} et étendue dans Ekren, Touzi et Zhang \cite{EkrenTouziZhang1, EkrenTouziZhang2}.

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du thêta-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles.

Cette thèse traite des méthodes numériques pour une équation aux dérivées partielles (EDP) parabolique dégénérée entièrement non linéaire, et pour un problème d'EDP non linéaire contrôlée qui résulte d'un problème de transport de masse. Le manuscrit est divisé en quatre parties. Dans une première partie de la thèse, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonicité du schéma $\theta$ de différence finie pour une équation de diffusion unidimensionnelle. Une formule explicite est donnée dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une deuxième partie, nous considérons une EDP parabolique dégénérée entièrement non linéaire et nous proposons un schéma de fractionnement pour sa résolution numérique. Le schéma de fractionnement combine un schéma probabiliste et le schéma semi-lagrangien, et au total, il peut être considéré comme un schéma de Monte-Carlo pour les EDP. Nous fournissons un résultat de convergence ainsi qu'un taux de convergence. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions un problème de transport de masse optimal. La masse est transportée par une dynamique de dérive-diffusion contrôlée, et le coût associé dépend des trajectoires, de la dérive ainsi que du coefficient de diffusion de la dynamique. Nous prouvons un résultat de dualité fort pour le problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction de valeur sur l'espace de toutes les fonctions continues bornées, et chaque fonction de valeur correspondant à une fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique. Dans les cas markoviens, nous prouvons le principe de programmation dynamique des problèmes de contrôle optimal, et nous proposons un algorithme de projection de gradient pour la résolution numérique du problème dual, et fournissons un résultat de convergence. Enfin, dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale du problème de transport de masse avec ses applications dans le calcul de la limite de prix sans arbitrage, indépendante du modèle, de l'option de variance dans un marché vanille-liquide. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de projection de gradient pour approximer la borne ainsi que la stratégie statique correspondante dans les options vanille.