Dualité et approximation des problèmes de contrôle optimal stochastique sous contraintes d'espérance.

Résumé Nous considérons un problème de contrôle optimal stochastique à temps continu sous des contraintes d'égalité et d'inégalité sur l'espérance de certaines fonctions du processus contrôlé. Sous une condition de qualification, nous montrons que le problème est en dualité avec un problème d'optimisation impliquant le multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes. Ensuite, par des techniques d'analyse convexe, nous fournissons un résultat d'existence général et une estimation a priori des optimiseurs duaux. Nous fournissons également une condition d'optimalité nécessaire et suffisante pour le problème initial de contrôle sous contraintes. Les mêmes résultats sont également obtenus pour un problème de contrôle contraint en temps discret. De plus, sous des conditions de régularité supplémentaires, il est prouvé que le problème de contrôle en temps discret converge vers le problème en temps continu, éventuellement avec un taux de convergence. Ce résultat de convergence peut être utilisé pour obtenir des algorithmes numériques pour approximer le problème de contrôle en temps continu, ce que nous illustrons par deux exemples numériques simples.