Transport optimal sous dynamique stochastique contrôlée.

Résumé Nous considérons une extension du problème de transport optimal de Monge-Kantorovitch. La masse est transportée le long d'une semimartingale continue, et le coût du transport dépend de la dérive et des coefficients de diffusion de la semimartingale continue. Le problème de transport optimal minimise le coût parmi toutes les semimartingales continues avec des distributions initiales et terminales données. Notre premier résultat principal est une extension de la dualité de Kantorovitch à ce contexte. Nous proposons également un schéma à différences finies combiné à l'algorithme de projection du gradient pour approximer la valeur duale. Nous prouvons la convergence du schéma, et nous dérivons un taux de convergence. Nous fournissons enfin une application dans le contexte des mathématiques financières, qui a motivé à l'origine notre extension du problème de Monge-Kantorovitch. Nous mettons en œuvre notre schéma pour approximer des limites de non-arbitrage sur les prix des options exotiques étant donné la courbe de volatilité implicite d'une certaine maturité.