TOUZI Nizar

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. La première partie se focalise sur l'application du problème du Principal-Agent (c.f. Cvitanic & Zhang (2013) et Cvitanic. et al. (2018)) pour la résolution de problématiques de modélisations sur les marchés d'énergie. La deuxième porte sur les lois jointes d'une martingale et de son maximum courant.Nous nous intéressons dans un premier lieu au marché des capacités électriques, et en particulier les mécanismes de rémunération de capacité. Étant donné la part croissante des énergies renouvelables dans la production d'électricité, les centrales de production "classiques" (à gaz où à charbon par exemple) sont de moins en moins sollicitées, ce qui les rends peu rentables et non viable économiquement. Cependant, leur fermeture exposerait les consommateurs à un risque de Blackout en cas de pic de demande d'électricité, puisque celle-ci ne peut pas être stockée. Ainsi, la capacité de production doit être toujours maintenue à un niveau au-dessus de la demande, ce qui nécessite un "mécanisme de rémunération de capacités" pour rémunérer les centrales rarement sollicitées, ce qui peut être compris comme une assurance à payer contre les Black-out électriques.Nous traitons ensuite la problématique des incitations à la décarbonation. L'objectif est de proposer un modèle d'instrument qui puisse être utilisé par un agent public (l'état) en vue d'inciter les différents secteurs à baisser leurs émissions de carbone dans un contexte de risque moral (où l'état n'observe pas l'effort des acteurs et ne peut donc pas savoir si une baisse des émissions provient d'une baisse de production et de consommation ou d'un effort de gestion. investissement en recherche et développement). ce qui fournit une alternative à la taxe carbone qui nécessite une information parfaite.La deuxième partie (indépendante) est motivée par la calibration de modèles et l'arbitrage sur un marché financier avec des options barrière. Elle présente un résultat sur les lois jointes d'une martingale et son maximum courant. Nous considérons une famille de probabilités en dimension 2, et nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes assurant l'existence d'une martingale telle que ses lois marginales couplées avec ceux de son maximum courant coïncident avec les probabilités données.Nous suivons la méthodologie de Hirsch et Roynette (2012) basée sur une construction de martingale par EDS associée à une EDP bien posée de Fokker-Planck vérifiée par les lois marginales données sous des hypothèses de régularité, puis dans un cadre général avec une régularisation et un passage à la limite.

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Dans cette thèse, nous utilisons des outils provenant du contrôle optimal stochastique et de l'optimisation stochastique et convexe afin de développer des mécanismes pour piloter des moyens de stockage énergétique permettant de gérer l'incertitude de production des sources d'énergie intermittentes (solaire et éolien).Tout d'abord, nous introduisons un mécanisme dans lequel un consommateur s'engage à suivre un profil de consommation sur le réseau, et contrôle ensuite ses systèmes de stockage pour suivre ce profil en temps réel. Nous modélisons cette situation par un problème de contrôle à champ moyen, pour lequel nous obtenons des résultats théoriques et numériques. Puis, nous introduisons un problème de contrôle d'un grand nombre d'unités de stockage thermique soumises à un bruit commun et fournissant des services au réseau. Nous montrons que ce problème de contrôle peut être remplacé par un problème de jeu différentiel stochastique de Stackelberg. Ceci permet un schéma de contrôle décentralisé avec des garanties de performance, tout en préservant la confidentialité des données des consommateurs et en limitant les besoins en télécommunication. Ensuite, nous développons une méthode de Newton pour des problèmes de contrôle stochastique. Nous montrons que le pas de Newton peut être calculé en résolvant des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades, puis nous proposons une méthode de recherche linéaire appropriée, et prouvons la convergence globale de la methode de Newton obtenue dans un espace adéquat. Sa performance numérique est illustrée sur un problème de contrôle d'un grand nombre de batteries fournissant des services au réseau. Enfin, nous étudions l'extension au cas stochastique multi-étapes du problème "Alternating Current Optimal Power Flow" afin de piloter un réseau électrique équipé de systèmes de stockage. Pour ce problème, nous donnons des conditions réalistes et vérifiables a priori garantissant l'absence de saut de relaxation, ainsi qu'une borne a posteriori sur celui-ci. Dans le cadre plus large de problèmes multi-étapes non-convexes avec une structure générique, nous établissons également des bornes a priori sur le saut de dualité, en nous basant sur des résultats liés au Théorème de Shapley-Folkman.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous appliquons la théorie Principal-Agent à certains problèmes de microstructure de marché. Premièrement, nous développons une politique d’incitation afin d’améliorer la qualité de la liquidité de marché dans le cadre d’une activité de market-making dans un lit et un dark pool gérés par la même bourse d’échange. Puis, nous adaptions ce design d’incitations à la régulation de l’activité de market-making lorsque plusieurs market-makers sont en concurrence sur une plateforme. Nous proposons également une forme d’incitation basée sur le choix de tailles de ticks asymétriques à l’achat et à la vente sur un actif. Nous abordons ensuite la question de la conception d’un marché de produits dérivés, en utilisant une méthode de quantization pour sélectionner les options listées sur la plateforme, et la théorie Principal-Agent pour créer des incitations pour un market-maker d’options. Enfin, nous développons un mécanisme d’incitations robuste à la spécification de modèle pour augmenter l’investissement dans les obligations vertes.La deuxime partie de cette thèse est consacrée au market-making d’options en grande dimension. En faisant l’hypothèse de grecques constants nous proposons dans un premier temps un modèle pour traiter les options de longue maturité. Puis nous proposons une approximation de la fonction valeur permettant de traiter les grecques non-constants et les options de courte maturité. Enfin, nous développons un modèle pour la dynamique haute fréquence de la surface de volatilité implicite. En utilisant des processus Hawkes multidimensionnels, nous montrons comment ce modèle peut reproduire de nombreux faits stylisés tels que le skew, le smile et la structure par termes de la surface.La dernière partie de cette thèse est consacrée aux problèmes de trading optimal en grande dimension. Dans un premier temps, nous développons un modèle pour le trading optimal d’actions listées sur plusieurs plateformes. Pour un grand nombre de plateformes, nous utilisons une méthode d’apprentissage par renforcement profond pour calculer les contrôles optimaux du trader. Puis, nous proposons une méthodologie pour résoudre des problèmes de trading de façon approximativement optimale sans utiliser la théorie du contrôle stochastique. Nous présentons un modèle dans lequel un agent exhibe un comportement approximativement optimal s’il utilise le gradient de la trajectoire macroscopique comme signal de court terme. Enfin, nous présentons deux nouveaux développements sur la littérature d’exécution optimale. Tout d’abord, nous montrons que nous pouvons obtenir une solution analytique au problème d’exécution d’Almgren-Chriss avec mouvement Brownien géométrique et pénalité quadratique. Deuxièmement, nous proposons une application du modèle de carnet d’ordres latent au problème d’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs, dans le cadre de stress tests de liquidité.

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Cette thèse se compose de deux parties indépendantes et la première regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie, nous étudions d’abord le problème de Principal-Agent dans des systèmes dégénérés, qui apparaissent naturellement dans des environnements à l’observation partielle où l’Agent et le Principal n’observent qu’une partie du système. Nous présentons une approche se basant sur le principe du maximum stochastique, dont le but est d’étendre les travaux existants qui utilisent le principe de la programmation dynamique dans des systèmes non-dégénérés. D’abord nous résolvons le problème du Principal dans un ensembledes contrats élargi donné par la condition du premier ordre du problème de l’Agent sous forme d’une équation différentielle stochastique progressive-rétrograde (abrégée EDSPR) dépendante de la trajectoire. Ensuite nous utilisons la condition suffisante du problème de l’Agent pour vérifier que le contrat optimal obtenu est bien implémentable. Une étude parallèle est consacrée à l’existence et l’unicité de la solution d'EDSPRs dépendantes de la trajectoire dans le chapitre IV. Nous étendons la méthode de champ de découplage aux cas où les coefficients des équations peuvent dépendre de la trajectoire du processus forward. Nous démontrons également une propriété de stabilité pour ce genre d'EDSPRs. Enfin, nous étudions le problème de hasard moral avec plusieurs Principals. L’Agent ne peut travailler que pour un seul Principal à la fois et fait donc face à un problème de switching optimal. En utilisant la méthode de randomisation nous montrons que la fonction valeur de l’Agent et son effort optimal sont donnés par un processus d’Itô. Cette représentation nous aide à résoudre ensuite le problème du Principal lorsqu’il y a une infinité de Principals en équilibre selon un jeu à champ-moyen. Nous justifions la formulation à champ-moyen par un argument de propagation de chaos.La deuxième partie de cette thèse est constituée des chapitres V et VI. La motivation de ces travaux est de donner un fondement théorique rigoureux pour la convergence des algorithmes du type descente de gradient très souvent utilisés dans la résolution des problème non-convexes comme la calibration d’un réseau de neurones. Pour les problèmes non-convexes du type réseaux de neurones à une couche cachée, l’idée clé est de transformer le problème en un problème convexe en le relevant dans l’espace des mesures. Nous montrons que la fonction d’énergie correspondante admet un unique minimiseur qui peut être caractérisé par une condition du premier ordre utilisant la dérivation dans l’espace des mesures au sens de Lions. Nous présentons ensuite une analyse du comportement à long terme de la dynamique de Langevin à champ-moyen, qui possède une structure de flot de gradient dans la métrique de 2-Wasserstein. Nous montrons que le flot de la loi marginale induite par la dynamique de Langevin à champ-moyen converge vers une loi stationnaire en utilisant le principe d’invariance de La Salle, qui est le minimiseur de la fonction d’énergie.Dans le cas des réseaux de neurones profonds, nous les modélisons à l’aide d’un problème de contrôle optimal en temps continu. Nous donnons d’abord la conditiondu premier ordre à l’aide du principe de Pontryagin, qui nous aidera ensuiteà introduire le système d’équation de Langevin à champ-moyen, dont la mesure invariante correspond au minimiseur du problème de contrôle optimal. Enfin, avec la méthode de couplage par réflexion nous montrons que la loi marginale du système de Langevin à champ-moyen converge vers la mesure invariante avec une vitesse exponentielle.

Cette thèse est organisée en trois parties. Dans la première on examine les relations entre la dynamique microscopique et macroscopique du marché en se concentrant sur les propriétés de la volatilité. Dans la deuxième partie on s'intéresse au contrôle optimal stochastique de processus ponctuels. Finalement dans la troisième partie on étudie deux problématiques de market design.On commence cette thèse par l'étude des liens entre le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage et l'irrégularité de la volatilité. A l'aide d'une méthode de changement d'échelle on montre que l'on peut effectivement connecter ces deux notions par l'analyse du market impact des métaordres. Plus précisément on modélise le flux des ordres marchés en utilisant des procesus de Hawkes linéaires. Puis on montre que le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage ainsi que l'existence d'un market impact non trivial impliquent que la volatilité est rugueuse et plus précisément qu'elle suit un modèle rough Heston. On examine ensuite une classe de modèles microscopiques où le flux d'ordre est un processus de Hawkes quadratique. L'objectif est d'étendre le modèle rough Heston à des modèles continus permettant de reproduire l'effet Zumbach. Finalement on utilise un de ces modèles, le modèle rough Heston quadratique, pour la calibration jointe des nappes de volatilité du SPX et du VIX.Motivé par l'usage intensif de processus ponctuels dans la première partie, on s'intéresse dans la deuxième au contrôle stochastique de processus ponctuels. Notre objectif est de fournir des résultats théoriques en vue d'applications en finance. On commence par considérer le cas du contrôle de processus de Hawkes. On prouve l'existence d'une solution puis l'on propose une méthode permettant d'appliquer ce contrôle en pratique. On examine ensuite les limites d'échelles de problèmes de contrôles stochastiques dans le cadre de modèles de dynamique de population. Plus exactement on considère une suite de modèles de dynamique d'une population discrète qui converge vers un modèle pour une population continue. Pour chacun des modèles on considère un problème de contrôle. On prouve que la suite des contrôles optimaux associés aux modèles discrets converge vers le contrôle optimal associé au modèle continu. Ce résultat repose sur la continuité, par rapport à différents paramètres, de la solution d'une équation différentielle schostatique rétrograde.Dans la dernière partie on s'intéresse à deux problèmatiques de market design. On examine d'abord la question de l'organisation d'un marché liquide de produits dérivés. En se concentrant sur un marché d'options, on propose une méthode en deux étapes pouvant facilement être appliquée en pratique. La première étape consiste à choisir les options qui seront listées sur le marché. Pour cela on utilise un algorithme de quantification qui permet de sélectionner les options les plus demandées par les investisseurs. On propose ensuite une méthode d'incitation tarifaire visant à encourager les market makers à proposer des prix attractifs. On formalise ce problème comme un problème de type principal-agent que l'on résoud explicitement. Finalement, on cherche la durée optimale d'une enchère pour les marchés organisés en enchères séquentielles, le cas de la durée nulle correspondant à celui d'une double enchère continue. On utilise un modèle où les market takers sont en compétition et on considère que la durée optimale est celle correspondant au processus de découverte du prix le plus efficace. Après avoir prouvé l'existence d'un équilibre de Nash pour la compétition entre les market takers, on applique nos résultats sur des données de marchés. Pour la plupart des actifs, la durée optimale se trouve entre 2 et 10 minutes.

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Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.

Nous abordons le problème de la conception du mécanisme d'une bourse qui fixe des frais de prise en charge appropriés pour attirer la liquidité sur sa plateforme. En utilisant une approche principal-agent, nous fournissons le schéma de compensation optimal d'un teneur de marché sous une forme quasi-explicite. Ce contrat dépend essentiellement de la trajectoire de l'inventaire du teneur de marché et de la volatilité de l'actif. Nous fournissons également les cotations optimales qui devraient être affichées par le teneur de marché. La simplicité de nos formules nous permet d'analyser en détail les effets d'un contrat optimal avec une bourse, par rapport à une situation sans contrat. Nous montrons en particulier qu'il améliore la liquidité et réduit les coûts de transaction pour les investisseurs. Nous étendons notre étude à un oligopole de bourses symétriques et nous étudions l'impact d'une telle politique d'agence commune sur le système.

Cette thèse est motivée par l'étude de la stabilité du problème de transport optimal martingale, et s'articule naturellement autour de deux parties. Dans la première partie, nous exhibons une nouvelle famille de couplages martingale entre deux mesures de probabilités unidimensionnelles μ et ν comparables dans l'ordre convexe. Cette famille contient en particulier le couplage martingale transformée inverse, qui est explicite en termes des fonctions quantiles des marginales. L'intégrale M_1(μ,ν) de |x-y| contre chacun de ces couplages est majorée par le double de la distance de Wasserstein W_1(μ,ν) entre μ et ν. Nous montrons une inégalité similaire lorsque |x-y| et W_1 sont respectivement remplacés par |x-y|^ρ et le produit de W_ρ par le moment centré d'ordre ρ de la seconde marginale élevé à l'exposant ρ-1, pour ρ∈[1,+∞[ quelconque. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à la dimension supérieure. Enfin, nous établissons une forte connexion entre notre nouvelle famille de couplages martingale et la projection d'un couplage entre deux marginales données comparables dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages martingale entre ces mêmes marginales. Cette dernière projection est prise par rapport à la distance de Wasserstein adaptée, qui majore la distance de Wasserstein usuelle et induit donc une topologie plus fine et mieux adaptée pour la modélisation financière, puisqu'elle prend en compte la structure temporelle des martingales. Dans la seconde partie, nous prouvons que tout couplage martingale dont les marginales sont approchées par des mesures de probabilité comparables dans l'ordre convexe peut être lui-même approché par des couplages martingale au sens de la distance de Wasserstein adaptée. Nous traitons ensuite d'applications variées de ce résultat. En particulier, nous renforçons un résultat de stabilité portant sur le problème de transport faible optimal et établissons un résultat de stabilité pour le problème de transport faible optimal martingale. Nous en déduisons la stabilité par rapport aux marginales du prix de sur-réplication de contrats à termes sur le VIX.

Nous abordons le problème de la conception du mécanisme d'une bourse qui fixe des frais de prise en charge appropriés pour attirer la liquidité sur sa plateforme. En utilisant une approche principal-agent, nous fournissons le schéma de compensation optimal d'un teneur de marché sous une forme quasi-explicite. Ce contrat dépend essentiellement de la trajectoire de l'inventaire du teneur de marché et de la volatilité de l'actif. Nous fournissons également les cotations optimales qui devraient être affichées par le teneur de marché. La simplicité de nos formules nous permet d'analyser en détail les effets d'un contrat optimal avec une bourse, par rapport à une situation sans contrat. Nous montrons en particulier qu'il améliore la liquidité et réduit les coûts de transaction pour les investisseurs. Nous étendons notre étude à un oligopole de bourses symétriques et nous étudions l'impact d'une telle politique d'agence commune sur le système.

Dans cet article, nous présentons une approche de calcul variationnel au problème du Principal-Agent avec un paiement forfaitaire sur un horizon fini dans des systèmes stochastiques dégénérés, tels que les systèmes linéaires filtrés partiellement observés. Notre travail étend les méthodologies existantes dans la littérature sur le Principal-Agent en utilisant la programmation dynamique et la représentation BSDE des contrats dans les systèmes stochastiques contrôlés non dégénérés. Nous résolvons d'abord le problème du principal dans un ensemble élargi de contrats définis par un système SDE avant-arrière donné par la condition de premier ordre du problème de l'agent en utilisant le calcul variationnel. Ensuite, nous utilisons la condition suffisante du problème de l'agent pour vérifier que le contrat optimal que nous obtenons en résolvant le problème du principal est effectivement implémentable (c'est-à-dire qu'il appartient à l'ensemble des contrats admissibles). Il est important de noter que nous considérons le problème de contrôle dans une formulation faible. Enfin, nous donnons une solution explicite du problème Principal-Agent dans des systèmes linéaires partiellement observés et nous étendons nos résultats à un cas d'agents interagissant sur un champ moyen.

Les équations différentielles stochastiques à rebours étendent le théorème de représentation des martingales au cadre non linéaire. Cela peut être considéré comme la contrepartie dépendante du chemin de l'extension de l'équation de la chaleur aux équations paraboliques entièrement non linéaires dans le cadre de Markov. Cet article étend une telle représentation non linéaire au contexte où la variable aléatoire d'intérêt est mesurable par rapport à l'information à un temps d'arrêt fini. Nous fournissons une théorie complète sur le caractère bien posé qui couvre le cas semi-linéaire (SDE à rebours), le cas semi-linéaire avec obstacle (SDE à rebours réfléchi) et le cas entièrement non linéaire (SDE à rebours du second ordre).

Les plans de transport de martingale sur la ligne sont connus de Beiglbock & Juillet pour avoir une décomposition irréductible sur une union (au plus) dénombrable d'intervalles. Nous fournissons une extension de cette décomposition pour les plans de transport de martingale dans R^d, d plus grand que un. Notre décomposition est une partition de R^d constituée d'une famille éventuellement indénombrable de composantes convexes relativement ouvertes, avec la mesurabilité requise pour que la désintégration soit bien définie. Nous justifions la pertinence de notre décomposition en prouvant l'existence d'un plan de transport martingale remplissant ces composantes. Nous déduisons également de cette décomposition une caractérisation de la structure des ensembles polaires par rapport à tous les plans de transport martingaux.

La théorie des EDS inversés étend la propriété de représentation prévisible du mouvement brownien au cadre non linéaire, fournissant ainsi un analogue dépendant du chemin des EDP paraboliques entièrement non linéaires. Dans cet article, nous considérons les EDS inversés, leur version réfléchie et leur extension du second ordre, dans le contexte où les données finales et le générateur satisfont une condition d'intégrabilité de type L1. Notre objectif principal est de fournir les résultats d'existence et d'unicité correspondants pour les générateurs généraux de Lipschitz. L'unicité tient dans la classe dite de Doob des processus, simultanément sous une classe appropriée de mesures. Nous insistons sur le fait que la littérature précédente ne traite que des EDS à rebours, et exige que le générateur soit séparable en (y,z), voir Peng [Pen97], ou strictement sous-linéaire dans la variable de gradient z, voir [BDHPS03], ou que les données finales satisfassent une condition d'intégrabilité LlnL, voir [HT18]. Nous contournons ces conditions en définissant l'intégrabilité L1 sous l'opérateur d'espérance non linéaire induit par la classe de mesures mentionnée précédemment.

Cette thèse est constituée de deux parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, nous étudions des problèmes de couverture et de valorisation d’options liés à une mesure de risque. Notre approche principale est l’utilisation d’une fonction de risque asymétrique et d’un cadre asymptotique dans lequel nous obtenons des solutions optimales à travers des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation et la couverture des options européennes. Nous considérons le problème de l’optimisation du risque résiduel généré par une couverture à temps discret en présence d’un critère asymétrique de risque. Au lieu d'analyser le comportement asymptotique de la solution du problème discret associé, nous avons étudié la mesure asymétrique du risque résiduel intégré dans un cadre Markovian. Dans ce contexte, nous montrons l’existence de cette mesure de risque asymptotique. Ainsi, nous décrivons une stratégie de couverture asymptotiquement optimale via la solution d’une EDP totalement non-linéaire.Le deuxième chapitre est une application de cette méthode de couverture au problème de valorisation de la production d’une centrale. Puisque la centrale génère de coûts de maintenance qu’elle soit allumée ou non, nous nous sommes intéressés à la réduction du risque associé aux revenus incertains de cette centrale en se couvrant avec des contrats à terme. Nous avons étudié l’impact d’un coût de maintenance dépendant du prix d’électricité dans la stratégie couverture.Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons plusieurs problèmes de contrôle liés à l'économie et la finance.Le troisième chapitre est dédié à l’étude d’une classe de problème du type McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV polynomiale conditionnelle. Nous réduisons cette classe polynomiale par plongement de Markov à des problèmes de contrôle en dimension finie.Nous comparons trois techniques probabilistes différentes pour la résolution numérique du problème réduit: la quantification, la régression par randomisation du contrôle et la régression différée. Nous fournissons de nombreux exemples numériques, comme par exemple, la sélection de portefeuille avec incertitude sur une tendance du sous-jacent.Dans le quatrième chapitre, nous résolvons des équations de programmation dynamique associées à des valorisations financières sur le marché de l’énergie. Nous considérons qu’un modèle calibré pour les sous-jacents n’est pas disponible et qu’un petit échantillon obtenu des données historiques est accessible.En plus, dans ce contexte, nous supposons que les contrats à terme sont souvent gouvernés par des facteurs cachés modélisés par des processus de Markov. Nous proposons une méthode nonintrusive pour résoudre ces équations à travers les techniques de régression empirique en utilisant seulement l’historique du log du prix des contrats à terme observables.

Cette thèse a pour objectif la compréhension de plusieurs aspects du caractère rugueux de la volatilité observé de manière universelle sur les actifs financiers. Ceci est fait en six étapes. Dans une première partie, on explique cette propriété à partir des comportements typiques des agents sur le marché. Plus précisément, on construit un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes reproduisant les faits stylisés importants de la microstructure des marchés. En étudiant le comportement du prix à long terme, on montre l’émergence d’une version rugueuse du modèle de Heston (appelé modèle rough Heston) avec effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et les modèles de Heston, on calcule dans la deuxième partie de cette thèse la fonction caractéristique du log-prix du modèle rough Heston. Cette fonction caractéristique est donnée en terme d’une solution d’une équation de Riccati dans le cas du modèle de Heston classique. On montre la validité d’une formule similaire dans le cas du modèle rough Heston, où l’équation de Riccati est remplacée par sa version fractionnaire. Cette formule nous permet de surmonter les difficultés techniques dues au caractère non markovien du modèle afin de valoriser des produits dérivés. Dans la troisième partie, on aborde la question de la gestion des risques des produits dérivés dans le modèle rough Heston. On présente des stratégies de couverture utilisant comme instruments l’actif sous-jacent et la courbe variance forward. Ceci est fait en spécifiant la structure markovienne infini-dimensionnelle du modèle. Étant capable de valoriser et couvrir les produits dérivés dans le modèle rough Heston, nous confrontons ce modèle à la réalité des marchés financiers dans la quatrième partie. Plus précisément, on montre qu’il reproduit le comportement de la volatilité implicite et historique. On montre également qu’il génère l’effet Zumbach qui est une asymétrie par inversion du temps observée empiriquement sur les données financières. On étudie dans la cinquième partie le comportement limite de la volatilité implicite à la monnaie à faible maturité dans le cadre d’un modèle à volatilité stochastique général (incluant le modèle rough Bergomi), en appliquant un développement de la densité du prix de l’actif. Alors que l’approximation basée sur les processus de Hawkes a permis de traiter plusieurs questions relatives au modèle rough Heston, nous examinons dans la sixième partie une approximation markovienne s’appliquant sur une classe plus générale de modèles à volatilité rugueuse. En utilisant cette approximation dans le cas particulier du modèle rough Heston, on obtient une méthode numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnaires. Enfin, nous terminons cette thèse en étudiant un problème non lié à la littérature sur la volatilité rugueuse. Nous considérons le cas d’une plateforme cherchant le meilleur système de make-take fees pour attirer de la liquidité. En utilisant le cadre principal-agent, on décrit le meilleur contrat à proposer au market maker ainsi que les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous montrons également que cette politique conduit à une meilleure liquidité et à une baisse des coûts de transaction pour les investisseurs.

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Nous abordons le problème de la conception du mécanisme d'une bourse qui fixe des frais de prise en charge appropriés pour attirer la liquidité sur sa plateforme. En utilisant une approche principal-agent, nous fournissons le schéma de compensation optimal d'un teneur de marché sous une forme quasi-explicite. Ce contrat dépend essentiellement de la trajectoire de l'inventaire du teneur de marché et de la volatilité de l'actif. Nous fournissons également les cotations optimales qui devraient être affichées par le teneur de marché. La simplicité de nos formules nous permet d'analyser en détail les effets d'un contrat optimal avec une bourse, par rapport à une situation sans contrat. Nous montrons en particulier qu'il améliore la liquidité et réduit les coûts de transaction pour les investisseurs. Nous étendons notre étude à un oligopole de bourses symétriques et nous étudions l'impact d'une telle politique d'agence commune sur le système.

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Les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini forment une classe de problèmes de contrôle optimal où interviennent des processus stochastiques considérés sur un intervalle de temps borné. Tout comme beaucoup de problème de contrôle optimal, ces problèmes sont résolus en utilisant le principe de la programmation dynamique qui induit une équation aux dérivées partielles (EDP) appelée équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Les méthodes basées sur la discrétisation de l’espace sous forme de grille, les méthodes probabilistes ou plus récemment les méthodes max-plus peuvent alors être utilisées pour résoudre cette équation. Cependant, le premier type de méthode est mis en défaut quand un espace à dimension grande est considéré à cause de la malédiction de la dimension tandis que le deuxième type de méthode ne permettait jusqu'ici que de résoudre des problèmes où la non linéarité de l'équation aux dérivées partielles par rapport à la Hessienne n'est pas trop forte. Quant au troisième type de méthode, il entraine une explosion de la complexité de la fonction valeur. Nous introduisons dans cette thèse deux nouveaux schémas probabilistes permettant d'agrandir la classe des problèmes pouvant être résolus par les méthodes probabilistes. L'une est adaptée aux EDP à coefficients bornés tandis que l'autre peut être appliqué aux EDP à coefficients bornés ou non bornés. Nous prouvons la convergence des deux schémas probabilistes et obtenons des estimées de l'erreur de convergence dans le cas d'EDP à coefficients bornés. Nous donnons également quelques résultats sur le comportement du deuxième schéma dans le cas d'EDP à coefficients non bornés. Ensuite, nous introduisons une méthode complètement nouvelle pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini que nous appelons la méthode max-plus probabiliste. Elle permet d'utiliser le caractère non linéaire des méthodes max-plus dans un contexte probabiliste tout en contrôlant la complexité de la fonction valeur. Une application au calcul du prix de sur-réplication d'une option dans un modèle de corrélation incertaine est donnée dans le cas d’un espace à dimension 2 et 5.

Nous fournissons des représentations probabilistes de la solution de certaines EDP semi-linéaires hyperboliques et d'ordre supérieur basées sur des diffusions ramifiées. Ces représentations ouvrent la voie à une approximation de Monte-Carlo de la solution, contournant ainsi la malédiction de la dimensionnalité. Nous illustrons les implications numériques dans le contexte de certaines EDP populaires en physique telles que l'équation de Klein-Gordon non linéaire, une version scalaire simplifiée de l'équation de Yang-Mills, une équation de faisceau non linéaire d'ordre 4 et l'EDP de Gross-Pitaevskii comme exemple d'équations de Schrodinger non linéaires.

Cet article examine la solution de racine du problème de l'encastrement de Skorohod étant donné les marginaux complets sur un intervalle de temps compact. Nos résultats sont obtenus par des arguments limitatifs basés sur la solution de Racine des marginaux finiment nombreux de Cox, Oblój et Touzi. Notre résultat principal fournit une caractérisation de la fonction potentielle correspondante au moyen d'une EDP parabolique pratique.

La présente thèse traite de la théorie des équations stochastiques en dimension finie. Dans la première partie, nous dérivons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur les coefficients d’une équation différentielle stochastique pour l’existence d’une solution contrainte à rester dans un domaine fermé, sous de faibles conditions de régularité sur les coefficients.Dans la seconde partie, nous abordons des problèmes d’existence et d’unicité d’équations de Volterra stochastiques de type convolutif. Ces équations sont en général non-Markoviennes. Nous établissons leur correspondance avec des équations en dimension infinie ce qui nous permet de les approximer par des équations différentielles stochastiques Markoviennes en dimension finie.Enfin, nous illustrons nos résultats par une application en finance mathématique, à savoir la modélisation de la volatilité rugueuse. En particulier, nous proposons un modèle à volatilité stochastique assurant un bon compromis entre flexibilité et tractabilité.

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques.

Nous fournissons un résultat de représentation des PD-E paraboliques semi-linéaires, avec une non-linéarité polynomiale, par des processus de diffusion branchés. Nous étendons la représentation classique des équations KPP, introduite par Skorokhod [23], Watanabe [27] et McKean [18], en permettant une non-linéarité polynomiale dans la paire (u, Du), où u est la solution de l'EDP avec le gradient spatial Du. Comme dans la littérature précédente, notre résultat requiert une condition de non-explosion qui restreint la " petite maturité " ou la " petite non-linéarité " de l'EDP. Notre ingrédient principal est la technique de différenciation automatique comme dans [15], basée sur l'intégration par parties de Malliavin, qui permet de tenir compte des non-linéarités dans le gradient. En conséquence, les particules de notre diffusion branchée sont marquées par la nature de la non-linéarité. Cette nouvelle représentation a des implications numériques très importantes car elle est adaptée à la simulation de Monte Carlo. En effet, elle fournit la première méthode numérique pour les EDP non linéaires de haute dimension avec une estimation de l'erreur induite par le théorème central limite sans dimension. On constate également que la complexité est de l'ordre du carré de la dimension. La dernière section de cet article illustre l'efficacité de l'algorithme par quelques expériences numériques de haute dimension.

La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme.

Le transport optimal des martingales vise à transférer de manière optimale une mesure de probabilité à une autre le long de la classe des martingales. Ce problème est principalement motivé par la super-couverture robuste des dérivés exotiques en mathématiques financières, qui s'avère être le dual de Kantorovich correspondant. Dans cet article, nous considérons le transport martingale en temps continu sur l'espace de Skorokhod des chemins c`adì ag. Comme dans le cadre classique du transport optimal, nous introduisons différents problèmes duaux et établissons les dualités correspondantes par une utilisation cruciale de la topologie S et du principe de programmation dynamique 1 .

Le transport optimal des martingales vise à transférer de manière optimale une mesure de probabilité à une autre le long de la classe des martingales. Ce problème est principalement motivé par la super-couverture robuste des dérivés exotiques en mathématiques financières, qui s'avère être le dual de Kantorovich correspondant. Dans cet article, nous considérons le transport martingale en temps continu sur l'espace de Skorokhod des chemins c`adì ag. Comme dans le cadre classique du transport optimal, nous introduisons différents problèmes duaux et établissons les dualités correspondantes par une utilisation cruciale de la topologie S et du principe de programmation dynamique 1 .

Nous considérons un problème de contrat dans lequel un principal engage un agent pour gérer un projet risqué. Lorsque l'agent choisit les composantes de volatilité du processus de production et que le principal observe la production en continu, le principal peut calculer la variation quadratique de la production, mais pas les composantes individuelles. Cela conduit à un aléa moral en ce qui concerne les choix de risque de l'agent. Nous identifions une famille de contrats admissibles pour lesquels l'action optimale de l'agent est explicitement caractérisée, et, en utilisant la théorie récente des changements singuliers de mesures pour les processus d'Itô, nous étudions dans quelle mesure cette famille est restrictive. En particulier, dans le cas particulier du modèle standard de Homlstrom-Milgrom avec volatilité fixe, la famille inclut tous les contrats possibles. Nous résolvons le problème principal-agent dans le cas de préférences CARA, et montrons que le contrat optimal est linéaire dans ces facteurs : les sources de risque contractables, y compris la production, la variation quadratique de la production et les variations croisées entre la production et les sources de risque contractables. Ainsi, à l'instar des ratios de Sharpe de l'échantillon utilisés dans la pratique, les contrats dépendant du sentier apparaissent naturellement lorsqu'il existe un aléa moral en matière de gestion du risque. Dans un exemple numérique, nous montrons que la perte d'efficacité peut être significative si le principal n'utilise pas la composante de variation quadratique du contrat optimal.

Pas de résumé disponible.

Nous proposons un estimateur de Monte-Carlo sans biais pour E[g(X t 1 , - - - , X tn)], où X est un processus de diffusion défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. L'idée principale est de partir plutôt d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDS à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation repose sur la technique de différenciation automatique induite par la formule de Bismu-Elworthy-Li du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournié et al [14] pour la simulation des Grecs dans des applications financières. En particulier, cet algorithme peut être considéré comme une variation de l'estimateur (à variance infinie) obtenu dans Bally et Kohatsu-Higa [3, Section 6.1] comme une application de la méthode paramétrique. MSC2010. Primaire 65C05, 60J60. Secondaire 60J85, 35K10.

Nous considérons une formulation générale du problème Principal-Agent avec un paiement forfaitaire sur un horizon fini, en fournissant une méthode systématique pour résoudre de tels problèmes. Notre approche est la suivante : nous trouvons d'abord le contrat qui est optimal parmi ceux pour lesquels le processus de valeur de l'agent permet une représentation par programmation dynamique, pour lesquels l'effort optimal de l'agent est simple à trouver. Nous montrons ensuite que l'optimisation sur la famille restreinte de contrats ne représente aucune perte de généralité. En conséquence, nous avons réduit ce jeu différentiel stochastique à somme non nulle à un problème de contrôle stochastique qui peut être traité par les outils standard de la théorie du contrôle. Nos preuves s'appuient sur l'approche des équations différentielles stochastiques à rebours pour le contrôle stochastique non-markovien, et plus particulièrement sur les récentes extensions au cas du second ordre.

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Cette thèse étudie la gestion et la couverture du risque en s’appuyant sur la Value-at-Risk (VaR) et la Value-at-Risk Conditionnelle (CVaR), comme mesures de risque. La première partie propose un modèle d’évolution de prix que nous confrontons à des données réelles issues de la bourse de Paris (Euronext PARIS). Notre modèle prend en compte les probabilités d’occurrence des pertes extrêmes et les changements de régimes observés sur les données. Notre approche consiste à détecter les différentes périodes de chaque régime par la construction d’une chaîne de Markov cachée et à estimer la queue de distribution de chaque régime par des lois puissances. Nous montrons empiriquement que ces dernières sont plus adaptées que les lois normales et les lois stables. L’estimation de la VaR est validée par plusieurs backtests et comparée aux résultats d’autres modèles classiques sur une base de 56 actifs boursiers. Dans la deuxième partie, nous supposons que les prix boursiers sont modélisés par des exponentielles de processus de Lévy. Dans un premier temps, nous développons une méthode numérique pour le calcul de la VaR et la CVaR cumulatives. Ce problème est résolu en utilisant la formalisation de Rockafellar et Uryasev, que nous évaluons numériquement par inversion de Fourier. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à la minimisation du risque de couverture des options européennes, sous une contrainte budgétaire sur le capital initial. En mesurant ce risque par la CVaR, nous établissons une équivalence entre ce problème et un problème de type Neyman-Pearson, pour lequel nous proposons une approximation numérique s’appuyant sur la relaxation de la contrainte.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

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Le problème de l'encastrement de Skorokhod vise à représenter une mesure de probabilité donnée sur la ligne réelle comme la distribution du mouvement brownien arrêté à un temps d'arrêt choisi. Dans cet article, nous considérons une extension du problème d'encastrement optimal de Skorokhod de Beiglböck, Cox & Huesmann [1] au cas de contraintes marginales en nombre fini 1. En utilisant l'approche classique de dualité convexe ainsi que la théorie de l'arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité qui sont formulés au moyen de mesures de probabilité sur un espace élargi. Nous relions également ces résultats au problème du transport optimal martingale sous contraintes marginales multiples.

Nous considérons le problème de l'encastrement optimal de Skorokhod (SEP) compte tenu de marges complètes sur l'intervalle de temps [0, 1]. Le problème est lié à l'étude des martingales extrémales associées à un paon (" processus croissant dans l'ordre convexe ", par Hirsch, Profeta, Roynette et Yor [16]). Un résultat général de dualité est obtenu par des techniques de convergence. Nous étudions ensuite le cas où la fonction de récompense dépend du maximum du processus d'encastrement, qui est la limite du problème de transport martingale étudié dans Henry-Labord ere, Ob lój , Spoida et Touzi [13]. Sous des conditions techniques, certaines caractéristiques explicites des solutions au SEP optimal ainsi qu'à son problème dual sont obtenues. Nous discutons également l'inégalité martingale associée.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

Il s'agit de la suite de notre article d'accompagnement [18]. Nous fournissons une preuve alternative du principe de monotonicité pour le problème d'encastrement optimal de Skorokhod établi dans Beiglböck, Cox et Huesmann [2]. Notre preuve est basée sur l'adaptation de la dualité Monge-Kantorovich dans notre contexte, une application délicate du théorème de la section transversale optionnelle, et un argument de conditionnement astucieux introduit dans [2].

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Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité. convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés.

Ce volume est dédié à la mémoire de Marc Yor, qui nous a quittés en 2014. Les contributions invitées de ses collaborateurs et de ses anciens étudiants témoignent de la valeur et de la diversité de son travail et de son domaine de recherche, qui couvrait de vastes domaines de la théorie des probabilités. Le volume présente également des souvenirs personnels à son sujet, ainsi qu'un article sur son rôle essentiel concernant les documents Doeblin. Avec des contributions de P. Salminen, J-Y. Yen & M. Yor. J. Warren. T. Funaki. J. Pitman& W. Tang. J-F.

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Nous étudions une classe d'inégalités martingales impliquant le processus de maximum courant. Elles sont dérivées des inégalités pathwise introduites par Henry-Labordere et al. (Ann. Appl. Probab., 2015 [arxiv:1203.6877v3]) et fournissent une borne supérieure sur l'espérance d'une fonction du maximum courant en termes de distributions marginales à n points de temps intermédiaires. La classe d'inégalités est riche et nous montrons qu'en général, aucune inégalité n'est uniformément forte - pour toute paire d'inégalités, nous spécifions des martingales telles que l'une ou l'autre inégalité est plus forte. Nous utilisons nos inégalités pour récupérer les inégalités L p de Doob. En outre, pour p = 1, nous affinons l'inégalité connue et pour p < 1, nous obtenons de nouvelles inégalités.

Dans le contexte du problème de consommation-investissement optimal multidimensionnel à horizon infini avec des coûts de transaction proportionnels, nous fournissons l'expansion du premier ordre dans le cas de petits coûts de transaction. Comme dans le cas de la dérivation unidimensionnelle de notre article d'accompagnement [42], le développement asymptotique est exprimé en termes de problème de contrôle ergodique singulier, et nos arguments sont basés sur la théorie des solutions de viscosité et les techniques d'homogénéisation qui conduisent à un système d'équations correctrices. Contrairement au cas unidimensionnel, il n'existe plus de solution explicite de la première équation correctrice. Enfin, nous fournissons quelques résultats numériques qui illustrent la structure des contrôles optimaux du premier ordre.

Nous développons une technique de simulation exacte faible pour un processus X défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. En particulier, pour une fonction Lipschitz g, nous proposons une approximation basée sur la simulation de l'espérance E[g(X_{t_1}, \cdots, X_{t_n})], qui contourne l'erreur de discrétisation. L'idée principale est de partir d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDD à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation s'appuie sur la technique de différenciation automatique induite par la formule d'Elworthy du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournie et al. pour la simulation des Grecs dans les applications financières.Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. En outre, sa mise en œuvre est une combinaison simple des techniques de discrétisation standard et de la méthode de différenciation automatique mentionnée ci-dessus.

Les EDP dépendant du chemin (EDPP) sont des objets naturels à étudier lorsque l'on traite de modèles non markoviens. Récemment, après l'introduction (voir [12]) du calcul dit pathwise (ou fonctionnel ou Dupire), plusieurs articles ont été consacrés à l'étude du caractère bien posé de ce type d'équations, tant du point de vue des solutions régulières (voir par exemple [18]) que des solutions de viscosité (voir par exemple [13]), dans le cas d'un espace sous-jacent de dimension finie. Dans cet article, motivé par l'étude de modèles pilotés par des EDP stochastiques dépendant du chemin, nous donnons un premier résultat de bien-posé pour les solutions de viscosité des EDP lorsque l'espace sous-jacent est un espace de Hilbert de dimension infinie. La preuve nécessite une modification substantielle de l'approche suivie dans le cas de la dimension finie. Nous observons également que, différemment du cas en dimension finie, notre résultat de bien-posé, même dans le cas markovien, s'applique à des équations qui ne peuvent pas être traitées, jusqu'à présent, avec la théorie connue des solutions de viscosité.

Cette thèse porte sur l'étude de quelques problèmes de contrôle stochastique dans un contexte de risque de liquidité et d'impact sur le prix des actifs. La thèse se compose de quatre chapitres.Dans le deuxième chapitre, on propose une modélisation d'un problème d'animation de marché dans un contexte de risque de liquidité en présence de contraintes d'inventaire et de changements de régime. Cette formulation peut être considérée comme étant une extension de précédentes études sur ce sujet. Le résultat principal de cette partie est la caractérisation de la fonction valeur comme solution unique, au sens de la viscosité, d'un système d'équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman . On enrichit notre étude par la donnée de quelques résultats numériques.Dans le troisième chapitre, on propose un schéma d'approximation numérique pour résoudre un problème d'optimisation de portefeuille dans un contexte de risque de liquidité et d'impact sur le prix des actifs. On montre que la fonction valeur peut être obtenue comme limite d'une procédure itérative dont chaqueitération représente un problème d'arrêt optimal et on utilise un algorithme numérique, basé sur la quantification optimale, pour calculer la fonction valeur ainsi que la politique de contrôle. La convergence du schéma numérique est obtenue via des critères de monotonicité, stabilité et consistance.Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse à un problème couplé de contrôle singulier et de contrôle impulsionnel dans un contexte d'illiquidité. On propose une formulation mathématique pour modéliser la distribution de dividendes et la politique d'investissement d'une entreprise sujette à des contraintes de liquidité. On montre que, sous des coûts de transaction et un impact sur le prix des actifs illiquides, la fonction valeur de l'entreprise est l'unique solution de viscosité d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. On propose aussi une méthode numérique itérative pour calculer la stratégie optimale d'achat, de vente et de distribution de dividendes.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

Cet article fournit un principe de grande déviation pour les équations différentielles stochastiques non-markoviennes, pilotées par le mouvement brownien, avec des coefficients aléatoires. À l'instar de Gao \& Liu \cite{GL}, cet article étend les résultats correspondants recueillis dans Freidlin \& Wentzell \cite{FreidlinWentzell}. Cependant, nous utilisons une ligne d'argumentation différente, en adaptant la méthode PDE de Fleming \cite{Fleming} et Evans \& Ishii \cite{EvansIshii} au cas dépendant du chemin, en utilisant des techniques différentielles stochastiques rétroactives. Comme dans le cas markovien, nous obtenons une caractérisation de la fonction d'action comme solution bornée unique d'une version dépendante du chemin de l'équation d'Eikonal. Enfin, nous fournissons une application à l'asymptotique des échéances courtes de la surface de volatilité implicite en mathématiques financières.

Cet article donne un aperçu de la notion récemment développée de solutions de viscosité des équations di érentielles partielles dépendantes du chemin. Nous commençons par un examen rapide de la notion de Crandall-Ishii de solutions de viscosité, afin de motiver la pertinence de notre définition dans le cas dépendant du chemin. Nous nous concentrons sur la théorie de la bienposition de telles équations. En particulier, nous fournissons une présentation simple des arguments actuels d'existence et d'unicité dans le cas semi-linéaire. Nous examinons également la propriété de stabilité de cette notion de solutions, y compris l'adaptation de la méthode d'approximation par schéma monotonique de Barles-Souganidis. Nos résultats reposent essentiellement sur la théorie de l'arrêt optimal sous espérance non linéaire. Dans le cas dominé, nous fournissons une présentation autonome de tous les résultats nécessaires. Le cas entièrement non linéaire est plus complexe et est traité dans [12].

Soit X : [0, T ] × Ω -→ R un processus c` adl` ag borné à sauts positifs défini sur l'espace canonique des chemins continus Ω . Nous considérons le problème de l'arrêt optimal du processus X sous un opérateur d'espérance non linéaire E défini comme le supremum des espérances sur une famille de mesures de probabilité faiblement compacte mais non dominée. Nous introduisons l'enveloppe de Snell non linéaire correspondante. Notre objectif principal est d'étendre la caractérisation de l'enveloppe de Snell au présent contexte. En particulier, nous prouvons que l'enveloppe de Snell non linéaire est une E-supermartingale, et une E-martingale jusqu'à son premier temps d'atteinte de l'obstacle X . Ce résultat est obtenu sous une propriété supplémentaire de continuité uniforme de X . Nous étendons également le résultat dans le contexte d'un problème d'arrêt optimal à horizon aléatoire. Ce résultat est crucial pour la théorie nouvellement développée des solutions de viscosité des EDP dépendant du chemin, telle qu'elle a été introduite dans Ekren et al. (2014), dans le cas semi-linéaire, et étendue au cas entièrement non linéaire dans les articles correspondants (Ekren et al. [6,7]). c.

Nous considérons une extension du problème de transport optimal de Monge-Kantorovitch. La masse est transportée le long d'une semimartingale continue, et le coût du transport dépend de la dérive et des coefficients de diffusion de la semimartingale continue. Le problème de transport optimal minimise le coût parmi toutes les semimartingales continues avec des distributions initiales et terminales données. Notre premier résultat principal est une extension de la dualité de Kantorovitch à ce contexte. Nous proposons également un schéma à différences finies combiné à l'algorithme de projection du gradient pour approximer la valeur duale. Nous prouvons la convergence du schéma, et nous dérivons un taux de convergence. Nous fournissons enfin une application dans le contexte des mathématiques financières, qui a motivé à l'origine notre extension du problème de Monge-Kantorovitch. Nous mettons en œuvre notre schéma pour approximer des limites de non-arbitrage sur les prix des options exotiques étant donné la courbe de volatilité implicite d'une certaine maturité.

Dans la littérature récente, on a souligné que les inégalités martingales sont induites par les inégalités de chemin indépendamment de toute mesure de probabilité de référence sur l'espace des chemins. Cette caractéristique est étroitement liée au problème de la couverture robuste en mathématiques financières, qui a été abordé à l'origine dans certains cas spécifiques au moyen du problème de l'encastrement de Skorohod. Le problème de transport optimal martingale fournit un cadre systématique pour le problème de couverture robuste et, par conséquent, permet de dériver des inégalités martingales nettes. Nous illustrons cette méthodologie en dérivant le contrôle le plus précis possible du maximum courant d'une martingale au moyen d'un nombre fini de marginales.

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Cet article donne un aperçu de la notion récemment développée de solutions de viscosité des équations di érentielles partielles dépendantes du chemin. Nous commençons par un examen rapide de la notion de Crandall-Ishii de solutions de viscosité, afin de motiver la pertinence de notre définition dans le cas dépendant du chemin. Nous nous concentrons sur la théorie de la bienposition de telles équations. En particulier, nous fournissons une présentation simple des arguments actuels d'existence et d'unicité dans le cas semi-linéaire. Nous examinons également la propriété de stabilité de cette notion de solutions, y compris l'adaptation de la méthode d'approximation par schéma monotonique de Barles-Souganidis. Nos résultats reposent essentiellement sur la théorie de l'arrêt optimal sous espérance non linéaire. Dans le cas dominé, nous fournissons une présentation autonome de tous les résultats nécessaires. Le cas entièrement non linéaire est plus complexe et est traité dans [12].

Cet article fournit une preuve probabiliste du résultat de comparaison pour les solutions de viscosité des EDP semi-linéaires dépendantes du chemin. Nous considérons la notion de solutions de viscosité introduite dans [8] qui considère comme fonctions de test tous les processus lisses qui sont tangents en moyenne. Lorsqu'elle est restreinte au cas markovien, cette définition induit un ensemble plus large de fonctions tests, et se réduit à la notion de solutions de viscosité stochastique analysée dans [1, 2]. Notre résultat principal tire avantage de cet élargissement des fonctions de test, et fournit une preuve de comparaison plus facile. Ceci est particulièrement remarquable dans le contexte de l'équation de la chaleur linéaire dépendant du chemin. Comme ingrédient clé de notre méthodologie, nous introduisons une notion de différenciation ponctuelle, similaire au concept correspondant dans les solutions de viscosité standard [3], et nous prouvons que les semimartingales sont presque partout différentiables ponctuellement. Ce résultat de lissage peut être considéré comme la contrepartie du résultat de lissage d'Aleksandroff pour les fonctions convexes. Un résultat de comparaison similaire a été établi précédemment dans [8]. Le résultat de cet article est plus général et, plus important encore, les arguments que nous développons ne reposent sur aucune représentation de la solution.

L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité.

Ce livre rassemble certains développements récents en théorie du contrôle stochastique avec des applications aux mathématiques financières. Dans la première partie du volume, les problèmes de contrôle stochastique standard sont abordés du point de vue du principe de programmation dynamique faible récemment développé. Un accent particulier est mis sur les questions de régularité et, en particulier, sur le comportement de la fonction de valeur près de la frontière. Ensuite, une revue rapide des principaux outils issus des solutions de viscosité permettant de surmonter tous les problèmes de régularité est fournie. La deuxième partie est consacrée à la classe des problèmes cibles stochastiques, qui étend de manière non triviale les problèmes de contrôle stochastiques standards. La théorie des solutions de viscosité joue ici un rôle crucial dans la dérivation de l'équation de programmation dynamique en tant que contrepartie infinitésimale de l'équation de programmation dynamique géométrique correspondante. Les différents développements de cette théorie ont été stimulés par des applications en finance et par des connexions pertinentes avec les flux géométriques. En particulier, l'extension du second ordre a été motivée par la modélisation de l'illiquidité, et la version à pertes contrôlées a été introduite suite au problème de la couverture par quantile. La troisième partie présente un aperçu des équations différentielles stochastiques rétroactives et de leurs extensions au cas quadratique. Les équations différentielles stochastiques rétroactives sont intimement liées à la version stochastique du principe du maximum de Pontryagin et peuvent être considérées comme une version forte des problèmes de cibles stochastiques dans le contexte non-Markov. Les principales applications au problème de couverture en cas d'imperfections du marché, au problème d'investissement optimal dans le cadre de l'utilité espérée exponentielle ou de puissance, ainsi que certains développements récents dans le contexte d'un modèle d'équilibre de Nash pour des investisseurs en interaction, sont présentés. Le livre se termine par une revue des techniques d'approximation numérique pour les équations aux dérivées partielles non linéaires basées sur des méthodes de schémas monotones dans la théorie des solutions de viscosité.

Pas de résumé disponible.

Nous étudions l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordere (2012), puis nous le généralisons au cas non-markovien pour une classe d'EDS à rebours (EDSB). En simulant le processus de branchement, l'algorithme ne nécessite aucune régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren et al. (à paraître) [5] et étendue dans Ekren et al. (2012) [6,7].

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

Nous considérons le problème de l'investissement optimal lorsque les agents prennent en compte leur performance relative par rapport à leurs pairs. Étant donné N agents en interaction, nous considérons le problème d'optimisation suivant pour l'agent i : où est la fonction d'utilité de l'agent i, son portefeuille, sa richesse, la richesse moyenne de ses pairs, et est le paramètre d'intérêt relatif pour l'agent i. Avec certaines conditions techniques légères, nous supposons que le portefeuille de chaque agent i est restreint dans un certain sous-ensemble. Nous montrons l'existence et l'unicité d'un équilibre de Nash dans les situations suivantes : Nous étudions également la limite lorsque le nombre d'agents N va à l'infini. Enfin, lorsque les ensembles de contraintes sont des espaces vectoriels, nous étudions l'impact des s sur le risque du marché.

Nous considérons le problème de la super-couverture sous l'incertitude de la volatilité pour un investisseur autorisé à négocier dynamiquement l'actif sous-jacent et à négocier statiquement des options d'achat européennes pour tous les prix d'exercice possibles et un nombre fini d'échéances. Nous présentons un résultat général de dualité qui convertit ce problème en un problème de calcul des variations min-max où les multiplicateurs de Lagrange correspondent à la partie statique de la couverture. À la suite de Galichon, Henry-Labordére et Touzi \cite{ght}, nous appliquons des méthodes de contrôle stochastique pour le résoudre explicitement pour des options Lookback avec une fonction de gain non décroissante. La première étape de notre solution retrouve les propriétés optimales étendues de la solution Azéma-Yor du problème d'encastrement de Skorokhod obtenue par Hobson et Klimmek \cite{hobson-klimmek} (sous des conditions légèrement différentes). Le cas à deux marges correspond aux travaux de Brown, Hobson et Rogers \cite{brownhobsonrogers}. Le coût de supercouverture robuste est complété par une négociation dynamique (simple) et conduit à une classe de stratégies de négociation semi-statiques. La propriété de supercouverture se réduit alors à une inégalité fonctionnelle que nous vérifions indépendamment. L'optimalité découle de l'existence d'un modèle qui réalise l'égalité qui est obtenue dans Ob\lój et Spoida \cite{OblSp}.

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

Nous généralisons l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordére \cite{Henry-Labordere_branching} au cas non-markovien pour une classe de SDEs rétrogrades (BSDEs). En simulant le processus de branchement, l'algorithme n'a pas besoin de régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren, Keller, Touzi et Zhang \cite{EkrenKellerTouziZhang} et étendue dans Ekren, Touzi et Zhang \cite{EkrenTouziZhang1, EkrenTouziZhang2}.

Le problème de la couverture robuste nécessite de résoudre le problème de la super-couverture sous une famille non dominée de mesures singulières. Des progrès récents ont été réalisés par van Handel, Neufeld et Nutz. Nous montrons que la formulation duale de ce problème est valable dans un contexte adapté au transport optimal martingale ou, plus généralement, au transport optimal sous dynamique stochastique contrôlée.

Le problème de la couverture robuste nécessite de résoudre le problème de la super-couverture sous une famille non dominée de mesures singulières. Des progrès récents ont été réalisés par van Handel, Neufeld et Nutz. Nous montrons que la formulation duale de ce problème est valable dans un contexte adapté au transport optimal martingale ou, plus généralement, au transport optimal sous dynamique stochastique contrôlée.

Je me suis intéressée à résoudre certains problèmes financiers par du contrôle stochastique. On a premièrement considéré un problème mixte d'investissement optimal et de vente optimale. On a étudié le comportement d'un investisseur possédant un actif indivisible qu'il cherche à vendre tout en gérant en continu un portefeuille d'actifs risqués. Puis, on s'est intéressé à l'étude des équations stochastiques rétrogrades du premier et du second ordre avec contraintes convexes. Dans chaque cas, on a prouvé l'existence d'une solution minimale ainsi qu'une représentation stochastique pour ce problème. Enfin, on a étudié un modèle à volatilité stochastique où la volatilité instantanée dépend de la courbe de volatilité forward. On propose un développement asymptotique du prix de l'option pour de petites variations de la volatilité.

La calibration des vanilles est un problème majeur de la finance. On tente ici de le résoudre pour trois classes de modèles : les modèles à volatilité locale et stochastique, le modèle dit à « corrélation locale » et un modèle hybride de volatilité locale avec taux stochastiques. D’un point de vue mathématique, l’équation de calibration est une équation non linéaire et intégro-différentielle particulièrement complexe. Dans une première partie, on prouve des résultats d’existence de solutions pour cette équation, ainsi que pour son adjoint (plus simple à résoudre). Ces résultats se fondent sur des méthodes de points fixes dans des espaces de Hölder et requièrent des théorèmes classiques relatifs aux équations aux dérivées partielles paraboliques, ainsi que quelques estimations à priori au temps court. La deuxième partie traite de l’application de ces résultats d’existence aux trois modèles financiers précédemment cités. On y expose également les résultats numériques obtenus en résolvant l’edp. La calibration par cette méthode est tout à fait satisfaisante. Enfin, dans un dernier temps, on s’intéresse à l’algorithme utilisé pour la résolution numérique : un schéma ADI prédicteur-correcteur, qu’on modifie pour prendre en compte le caractère non linéaire de l’équation. On décrit également un phénomène d’instabilité de la solution de l’edp qu’on tente d’expliquer d’un point de vue théorique grâce à l’instabilité dite de « Hadamard ».

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du thêta-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.

Cette thèse présente trois sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous forme de deux problèmes distincts. Ces différents sujets ont en commun d'appliquer des méthodes de contrôle stochastique à des problèmes de gestion optimale de portefeuille. Dans une première partie, nous nous intéressons à un modèle de gestion d'actifs prenant en compte des taxes sur les plus-values. Dans une seconde partie, nous étudions un problème de détection du maximum d'un processus de retour à la moyenne. Dans les troisième et quatrième parties, nous regardons un problème d'investissement optimal lorsque les agents se regardent les uns les autres. Enfin dans une cinquième partie, nous étudions une variante de cette problématique incluant un terme de pénalisation au lieu de contraintes sur les portefeuilles admissibles.

Pendant les trente dernières années, l'industrie électrique a connu des changements considérables dans son organisation, et ce partout dans le monde. Industrie traditionnellement centralisée, organisée en monopole, au moins localement, souvent détenue publiquement, la production et la fourniture d'électricité s'est progressivement ouverte aux règles du marché et de la concurrence. A ce jour, un grand nombre de pays se sont dotés de marchés de gros où producteurs et fournisseurs s'échangent de l'électricité afin de satisfaire les besoins des consommateurs finaux. Ces marchés ne sont plus seulement nationaux et les échanges transfrontaliers sont de plus en plus fréquents. La question de l'organisation de ces marchés est primordiale compte tenu de l'ampleur des conséquences en cas de défaillance (on se souvient de la crise californienne ou du scandale Enron en 2001). Plus généralement, ce sont les marchés d'énergie dans leur ensemble qui se sont transformés dans un contexte de croissance de la demande, de menace d'épuisement des énergies fossiles, de prise de conscience environnementale et de tensions politiques pour l'accès aux ressources. Autour d'un marché du pétrole sous pression, les marchés du gaz et du charbon ont vu leurs volumes augmenter. La signature du protocole de Kyoto et la mise en place d'une politique volontariste de réduction des émissions de gaz à effet de serre ont abouti à la création de marchés de permis d'émission et stimulé le recours aux énergies renouvelables, aux biocarburants ainsi qu'à l'énergie nucléaire. L'exposition de plus en plus forte de l'économie mondiale aux prix de l'énergie a ammené les marchés financiers a développer des produits de gestion de risque adaptés au monde des commodités (énergie, agriculture, métaux). Ce sont des produits de gestion de risque de prix, mais aussi de risque de volume, afin de couvrir le risque de fluctuation de la demande. Ce sont aussi maintenant des produits dérivés ou d'assurance sur le risque climatique. Cette thèse de doctorat s'inscrit dans ce contexte. Elle est composée de quatre chapitres qui peuvent être lus de manière indépendante. Le premier chapitre concerne la valorisation d'actifs de production du type centrale thermique. Cette méthode de valorisation Option Réelle se base sur un calcul d'indifférence d'utilité et permet la prise en compte de contraintes de production et de frictions de marché. La valeur d'actif est caractérisée à l'aide d'équations différentielles stochastiques rétrogrades et donne accès à des méthodes de résolution du type Monte Carlo et EDP. Le second chapitre s'intéresse à la valorisation des actifs de stockage du type barrage hydraulique. Le rendement moyen de l'actif est caractérisé comme l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles non linéaire. L'implémentation numérique par un schéma aux différences finies est discutée. Le troisième chapitre est dédié à une modélisation du marché des permis d'émissions de CO2. Un modèle d'équilibre concurrentiel à deux marchés (spot d'électricité et droits d'émission) est introduit en environnement aléatoire. Les prix d'équilibres ainsi que les stratégies des acteurs sont caractérisés grâce à une propriété d'agent représentatif. On discute alors l'impact de la régulation CO2 sur les prix de l'électricité et l'introduction de nouvelles règles de marché permettant de diminuer l'augmentation des prix de l'électricité. Le dernier chapitre est une étude des relations entre gestion des risques et structure industrielle des acteurs. On introduit et caractérise l'équilibre compétitif d'une économie à trois marchés, retail, forward et spot, en présence d'incertitude. Les acteurs peuvent avoir des structures industrielles différentes, fournisseur, producteur, trader ou être verticalement intégrés. On dérive la relation entre les prix sur les différents marchés et on compare l'impact sur les prix et les utilités de la présence d'un marché à terme ou d'acteurs intégrés.

Nous présentons dans la 1ère partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités de prix d'options par perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, simulations Monte Carlo et régression par noyaux. Pour une fonction irrégulière, l’estimateur converge plus vite que les estimateurs à différences finies, ce qui est vérifié numériquement. La 2ème partie propose un algorithme de résolution de systèmes découplés d’EDSPR avec sauts. L’erreur de discrétisation en temps est paramétrique. Et l’erreur statistique est contrôlée . et nous présentons des exemples numérique sur systèmes couplés d'EDP semi-linéaires. La 3ème partie étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous une contrainte drawdown. Nous obtenons sous forme explicite la stratégie optimale en horizon infini, et nous caractérisons la fonction valeur en horizon fini comme unique solution de viscosité de l'équation d'HJB correspondante.

Dans une première partie, nous généralisons des résultats de la théorie de l’arbitrage au cas d’échanges non-linéaires. Nous montrons l’équivalence entre deux notions d’absence d’arbitrage et l'existence de systèmes de prix consistants, et nous considérons le problème de sur-réplication. La deuxième partie présente deux principes de randes déviations conditionnels originaux, issus de problèmes financiers. Nous donnons une approximation, de type grandes déviations, de la loi d’un couple de processus non-observables conditionnellement à une fonction observée. Nous montrons aussi un principe de grandes déviations conditionnel pour la loi de la solution d'une EDSR dépendant du couple. Dans la troisième partie, nous étudions le cas d'un producteur d'énergie hydroélectrique faisant face à deux sources d'aléas : précipitations et prix. Nous montrons que la fonction valeur du problème de contrôle optimal correspondant est l’unique solution de viscosité contrainte d’une EDP non-linéaire.

La première partie de cette thèse traite des mesures de risque vectorielles. Dans le Chapitre 1, nous généralisons la notion de mesure de risque vectorielle cohérente en mesure convexe. Nous obtenons un résultat de représentation duale qui étend la caractérisation des mesures de risque cohérentes. Dans le Chapitre 2, nous définissons une mesure de risque vectorielle basée sur les distributions. nous montrons qu'elle coïncide, sous certaines conditions, avec une mesure de risque cohérente. Dans la deuxième partie, nous faisons appel au techniques du contrôle stochastique pour traiter deux problèmes. Chapitre 3, présente une caractérisation et une solution numérique de la fonction valeur relative à un problème d'optimisation de consommation et d'investissement dans un marché financier comportant de taxes sur les gains en capitaux. Chapitre 4 présente une solution explicite de la stratégie de sur-réplication d'un actif contingent en présence de coûts de transaction partiels.

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Cette thèse comporte 3 parties. La première est consacrée aux problèmes de sur-réplication dans des modèles d'actifs financiers dits à " volatilité incertaine" (UV). La deuxième partie porte sur les méthodes probabilistes pour la résolution de certains problèmes non-linéaires multidimensionnels en finance, tels que l'évaluation et la couverture des options américaines sur un panier de sous-jacents. Dans la troisième partie certaines de ces méthodes sont appliquées au problèmes exposés lors de la première parties. Dans la première partie rappelle les principaux résultats de la littérature pour les actions et les étend aux taux d'intérêt en introduisant un cadre HJM avec volatilité incertaine. La deuxième partie est consacrée à l'accélération de diverses méthodes numériques probabilistes pour la résolution de problèmes à temps d'arrêt optimal. Trois types d'approches sont présentées : les méthodes de régression (Longstaff-Schwartz, TsitsiklisVan Roy), les méthodes par approximation des chaînes de Markov (Broadie-Glasserman, Quantification) et les méthodes du type Monte-Carlo Malliavin. Dans la troisième partie, on applique successivement les méthodes de quantification et des méthodes du type Monte-Carlo Malliavin à l'évaluation et la couverture d'option européennes sur un sous-jacent multidimensionnel dans un cadre UV.

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Ce travail se compose de six chapitres independants. Le premier chapitre exploite la caractérisation de l'ensemble des prix admissibles par le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage pour examiner le biais sur la couverture par le modèle classique de Black et Sholes (1973). Le deuxième chapitre généralise un résultat du A Rochet et Bajeux (1992) et montre que toute option, européenne ou américaine, complète le marché en présence d'une corrélation entre le prix de l'actif et sa volatilité. Le troisième chapitre présente les développements récents dans la théorie de choix de portefeuille et de consommation. Le chapitre suivant donne une condition nécessaire et suffisante sur un système de prix donne (ou un couple de primes de risque) pour qu'il soit cohérent avec un modèle d'équilibre inter-temporel additif a plusieurs agents. Ces problèmes d'inférence statistiques sont abordés dans la dernière partie de la thèse. Le cinquième chapitre introduit une méthode d'estimation des paramètres du processus de volatilité du type e. M. à partir d'une série de prix d'options. on prouve la convergence des estimateurs proposés et on caractérise leur distribution asymptotique. Le dernier chapitre compare, par des méthodes de Monte Carlo, cette méthode d'estimation à l'inférence indirecte.