Représentation de la diffusion ramifiée des EDP semi-linéaires et approximation de Monte Carlo *.

Résumé Nous fournissons un résultat de représentation des PD-E paraboliques semi-linéaires, avec une non-linéarité polynomiale, par des processus de diffusion branchés. Nous étendons la représentation classique des équations KPP, introduite par Skorokhod [23], Watanabe [27] et McKean [18], en permettant une non-linéarité polynomiale dans la paire (u, Du), où u est la solution de l'EDP avec le gradient spatial Du. Comme dans la littérature précédente, notre résultat requiert une condition de non-explosion qui restreint la " petite maturité " ou la " petite non-linéarité " de l'EDP. Notre ingrédient principal est la technique de différenciation automatique comme dans [15], basée sur l'intégration par parties de Malliavin, qui permet de tenir compte des non-linéarités dans le gradient. En conséquence, les particules de notre diffusion branchée sont marquées par la nature de la non-linéarité. Cette nouvelle représentation a des implications numériques très importantes car elle est adaptée à la simulation de Monte Carlo. En effet, elle fournit la première méthode numérique pour les EDP non linéaires de haute dimension avec une estimation de l'erreur induite par le théorème central limite sans dimension. On constate également que la complexité est de l'ordre du carré de la dimension. La dernière section de cet article illustre l'efficacité de l'algorithme par quelques expériences numériques de haute dimension.