OUDJANE Nadia

Les jeux agrégatifs ont de nombreuses applications industrielles, et le calcul d'un équilibre dans ces jeux est un défi lorsque le nombre de joueurs est grand. Dans le cadre de jeux agrégatifs atomiques avec des contraintes de couplage, nous montrons que les équilibres variationnels de Nash d'un grand jeu agrégatif peuvent être approximés par un équilibre de Wardrop d'un jeu de population auxiliaire de plus petite dimension. Chaque population de ce jeu auxiliaire correspond à un groupe de joueurs atomiques du grand jeu initial. Cette approche permet un calcul efficace d'un équilibre approximé, car l'inégalité variationnelle caractérisant l'équilibre de Wardrop est de plus petite dimension que l'inégalité initiale. Ceci est illustré sur un exemple dans le contexte du réseau intelligent.

Habituellement, les équations aux dérivées partielles (EDP) de type Fokker-Planck sont bien posées si la condition initiale est spécifiée. Dans cet article, nous considérons alternativement le problème inverse qui consiste à prescrire les données finales : en particulier, nous donnons des conditions suffisantes d'existence et d'unicité. Dans la deuxième partie de l'article, nous fournissons une représentation probabiliste de ces EDP sous la forme d'une solution d'une équation de type McKean correspondant à la dynamique de retournement temporel d'un processus de diffusion.

Nous considérons le cadre d'un problème de contrôle stochastique de haute dimension, dans lequel les contrôles sont agrégés dans la fonction de coût. Comme première contribution, nous introduisons un problème modifié, dont le contrôle optimal est, sous certaines hypothèses raisonnables, une solution ε-optimale du problème original. Comme deuxième contribution, nous présentons un algorithme décentralisé dont la convergence vers la solution du problème modifié est établie. Enfin, nous étudions l'application à un problème de coordination de la consommation d'énergie et de la production d'appareils domestiques.

Cet article montre l'existence de O(1/n^γ)-équilibres de Nash dans les jeux agrégatifs non coopératifs à n joueurs où les fonctions de coût des joueurs ne dépendent que de leur propre action et de la moyenne des actions de tous les joueurs, et sont semi-continues inférieures dans le premier cas et γ-Hölder continues dans le second. Ni les ensembles d'actions ni les fonctions de coût ne doivent être convexes. Pour une classe importante de jeux agrégatifs qui inclut les jeux de congestion avec γ étant 1, un algorithme proximal de meilleure réponse est utilisé pour construire un équilibre de Nash O(1/n) avec au plus O(n^3) itérations. Ces résultats sont appliqués dans un exemple numérique de gestion de la demande du système électrique. La performance asymptotique de l'algorithme est illustrée lorsque n tend vers l'infini.

Pas de résumé disponible.

Une partie importante de la littérature sur la réponse à la demande résidentielle dans les réseaux intelligents traite de modèles de consommation basés sur la théorie des jeux. Parmi ces articles, le modèle de facturation horaire présente un intérêt particulier en tant que mécanisme intuitif et équitable. Nous nous concentrons sur ce modèle et répondons à plusieurs questions théoriques et pratiques. Tout d'abord, nous prouvons l'unicité du profil de consommation correspondant à l'équilibre de Nash, et nous analysons son efficacité en fournissant une limite sur le prix de l'anarchie. Ensuite, nous abordons la question du calcul du profil d'équilibre en fournissant deux algorithmes : la dynamique de la meilleure réponse cycliste et une méthode de descente de gradient projetée, et en donnant une limite supérieure sur leur taux de convergence vers l'équilibre. Enfin, nous simulons ce cadre de réponse à la demande dans un environnement stochastique où les paramètres dépendent des prévisions. Nous montrons numériquement la pertinence d'une procédure de réponse à la demande en ligne, qui réduit l'impact des prévisions inexactes.

Nous considérons un problème d'allocation de ressources impliquant un grand nombre d'agents avec des contraintes individuelles soumises à la confidentialité, et un opérateur central dont l'objectif est d'optimiser un coût global, éventuellement non convexe, tout en satisfaisant les contraintes des agents. Nous nous concentrons sur le cas pratique de la gestion des flexibilités de consommation d'énergie par l'opérateur d'un micro-réseau. Cet article propose un algorithme préservant la confidentialité qui calcule l'allocation optimale des ressources, en évitant que chaque agent ne révèle ses informations privées (contraintes et profil de solution individuel) ni à l'opérateur central ni à une tierce partie. Notre méthode s'appuie sur une procédure d'agrégation : nous maintenons une allocation globale des ressources, et désagrégeons progressivement cette allocation pour imposer la satisfaction des contraintes privées, par un protocole impliquant la génération de coupes polyédriques et des calculs multipartites sécurisés (SMC). Pour obtenir ces coupes, nous utilisons une méthode de projection alternative à la Von Neumann, qui est mise en œuvre localement par chaque agent, en préservant ses besoins de confidentialité. Nos résultats théoriques et numériques montrent que la méthode s'adapte bien au nombre d'agents, et qu'elle peut donc être utilisée pour résoudre le problème d'allocation en haute dimension, tout en tenant compte des problèmes de confidentialité.

Cet article présente un état partiel de l'art sur le sujet de la représentation des équations différentielles partielles (EDP) de Fokker-Planck généralisées par des solutions d'équations de McKean-Feynman-Kac (EMFC) qui généralisent la notion d'équations différentielles stochastiques de McKean (EDSM). Alors que les MSDE peuvent être liées aux EDP non linéaires de Fokker-Planck, les MFKE peuvent être liées aux EDP non linéaires non conservatives. Les motivations proviennent de problèmes de modélisation mais aussi de problèmes d'approximation numérique dans le calcul de la solution d'une EDP, apparaissant par exemple dans le contexte du contrôle stochastique. Les MFKE apparaissent aussi naturellement dans la représentation des problèmes de valeur finale liés aux équations de Fokker-Planck rétroactives.

Nous considérons un problème d'allocation de ressources impliquant un grand nombre d'agents avec des contraintes individuelles soumises à la confidentialité, et un opérateur central dont l'objectif est d'optimiser un coût global, éventuellement non convexe, tout en satisfaisant les contraintes des agents. Nous nous concentrons sur le cas pratique de la gestion des flexibilités de consommation d'énergie par l'opérateur d'un micro-réseau. Cet article propose un algorithme préservant la confidentialité qui calcule l'allocation optimale des ressources, en évitant que chaque agent ne révèle ses informations privées (contraintes et profil de solution individuel) ni à l'opérateur central ni à une tierce partie. Notre méthode s'appuie sur une procédure d'agrégation : nous maintenons une allocation globale des ressources, et désagrégeons progressivement cette allocation pour imposer la satisfaction des contraintes privées, par un protocole impliquant la génération de coupes polyédriques et des calculs multipartites sécurisés (SMC). Pour obtenir ces coupes, nous utilisons une méthode de projection alternative à la Von Neumann, qui est mise en œuvre localement par chaque agent, en préservant ses besoins de confidentialité. Nos résultats théoriques et numériques montrent que la méthode s'adapte bien au nombre d'agents, et qu'elle peut donc être utilisée pour résoudre le problème d'allocation en haute dimension, tout en tenant compte des problèmes de confidentialité.

Nous considérons un problème d'allocation de ressources impliquant un grand nombre d'agents avec des contraintes individuelles soumises à la confidentialité, et un opérateur central dont l'objectif est d'optimiser un coût global, éventuellement non convexe, tout en satisfaisant les contraintes des agents, par exemple un opérateur énergétique en charge de la gestion des flexibilités de consommation d'énergie de nombreux consommateurs individuels. Nous proposons un algorithme préservant la confidentialité qui calcule l'allocation optimale des ressources, en évitant que chaque agent ne révèle ses informations privées (contraintes et profil de solution individuel) ni à l'opérateur central ni à un tiers. Notre méthode repose sur une procédure d'agrégation : nous calculons itérativement une allocation globale des ressources, et assurons progressivement l'existence d'une désagrégation, c'est-à-dire de profils individuels satisfaisant les contraintes privées des agents, par un protocole impliquant la génération de coupes polyédriques et des calculs multipartites sécurisés (SMC). Pour obtenir ces coupes, nous utilisons une méthode de projection alternative, qui est mise en œuvre localement par chaque agent, en préservant ses besoins de confidentialité. Nous abordons en particulier le cas où les contraintes locales et globales définissent un polytope de transport. Nous fournissons ensuite des estimations théoriques de convergence ainsi que des résultats numériques, montrant que l'algorithme peut être utilisé efficacement pour résoudre le problème d'allocation en haute dimension, tout en tenant compte des problèmes de confidentialité.

L'évolution du stockage d'énergie permet de développer des méthodes innovantes de gestion de l'énergie à une échelle locale. Les micro réseaux électriques sont une forme émergente de petits réseaux électriques munis de production locale, de stockage d'énergie et en particulier d'un système de gestion de l'énergie (EMS pour Energy Management System). De nombreuses études et recherches scientifiques ont été menées pour proposer diverses stratégies d'implémentation de ces EMS. Néanmoins il n'existe pas à ce jour d'articulation claire et formelle de ces méthodes permettant leur comparaison. L'une des principales difficultés pour les EMS, est la gestion des dynamiques des différents systèmes énergétiques. Les variations de courant vont à la vitesse de l'électron, la production d'énergie solaire photovoltaïque varie au gré des nuages et différentes technologies de stockages peuvent réagir plus ou moins vites à ces phénomènes imprévisibles. Nous étudions dans ce manuscrit, un formalisme mathématique et des algorithmes basés sur la théorie de l'optimisation stochastique multi-étapes et la Programmation Dynamique. Ce formalisme permet de modéliser et de résoudre des problèmes de décisions inter-temporelles en présence d'incertitudes, à l'aide de méthodes de décomposition temporelle que nous appliquons à des problèmes de gestion de l'énergie. Dans la première partie de cette thèse, "Contributions à la décomposition temporelle en optimisation stochastique multi-étapes", nous présentons le formalisme général que nous utilisons pour décomposer en temps les problèmes d'optimisation stochastique avec un grand nombre de pas de temps. Nous classifions ensuite différentes méthodes de contrôle optimal au sein de ce formalisme. Dans la seconde partie, "Optimisation stochastique de stockage d'énergie pour la gestion des micro réseaux", nous comparons différentes méthodes, introduites dans la première partie, sur des cas réels. Dans un premier temps, nous contrôlons une batterie ainsi que des ventilations dans une station de métro récupérant de l'énergie de freinage des trains, en comparant quatre algorithmes différents. Dans un second temps, nous montrons comment ces algorithmes pourraient être implémentés sur un système réel à l'aide d'une architecture de contrôle hiérarchique de micro réseaux électrique en courant continu. Le micro réseaux étudié connecte cette fois ci de l'énergie photovoltaïque à une batterie, une super-capacité et à une charge électrique. Enfin nous appliquons le formalisme de décomposition par blocs temporels présenté dans la première partie pour traiter un problème de gestion de charge de batterie mais aussi de son vieillissement long terme. Ce dernier chapitre introduit 2 algorithmes basés sur la décomposition par blocs temporels qui pourraient être utilisés pour le contrôle hiérarchique de micro réseaux ou les problèmes d'optimisation stochastique présentant un grand nombre de pas de temps. Dans la troisième et dernière partie, "Logiciels et expériences", nous présentons DynOpt.jl un paquet développé en langage Julia qui a permis de développer toutes les applications de cette thèse et bien d'autres. Nous étudions enfin l'utilisation de ce paquet dans un cas de pilotage réel de système énergétique : la gestion intelligente de la température dans une maison de l'équipement Sense City.

Nous analysons le caractère bien posé d'une équation dite de McKean-Feynman-Kac (MFKE), qui est une équation de type McKean avec une perturbation de Feynman-Kac. Nous fournissons en particulier des conditions d'existence faibles et fortes ainsi que des conditions d'unicité par chemin sans hypothèses de régularité fortes sur les coefficients. Un outil majeur pour établir ce résultat est un théorème de représentation reliant les solutions de MFKE aux solutions d'une équation différentielle partielle (EDP) parabolique semi-linéaire non-conservative.

Le calcul d'un équilibre dans les jeux de congestion peut être difficile lorsque le nombre de joueurs est important. Pourtant, c'est un problème à traiter en pratique, par exemple pour prévoir l'état du système et être capable de le contrôler. Dans ce travail, nous analysons le cas des jeux de congestion atomiques généralisés, avec des contraintes de couplage, et avec des joueurs qui sont hétérogènes par leurs ensembles d'actions et leurs fonctions d'utilité. Nous obtenons une approximation des équilibres de Nash variationnels - une notion généralisant les équilibres de Nash en présence de contraintes de couplage - d'un grand jeu de congestion atomique par un équilibre d'un jeu à population auxiliaire, où chaque population correspond à un groupe de joueurs atomiques du jeu initial. Comme les inégalités variationnelles caractérisant l'équilibre du jeu auxiliaire ont une dimension plus petite que le problème initial, cette approche permet le calcul rapide d'une estimation des équilibres dans un grand jeu de congestion avec des milliers de joueurs hétérogènes.

Les réseaux électriques doivent absorber une production d'énergie renouvelable croissante, de façon décentralisée. Leur gestion optimale amène à des problèmes spécifiques. Nous étudions dans cette thèse la formulation mathématique de tels problèmes en tant que problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous analysons plus spécifiquement la décomposition en temps et en espace de tels problèmes. Dans la première partie de ce manuscrit, Décomposition temporelle pour l'optimisation de la gestion de microgrid domestique, nous appliquons les méthodes d'optimisation stochastique à la gestion de microgrid de petite taille. Nous comparons différents algorithmes d'optimisation sur deux exemples: le premier considère une microgrid domestique équipée avec une batterie et une centrale de micro-cogénération. le deuxième considère quant à lui une autre microgrid domestique, cette fois équipée avec une batterie et des panneaux solaires. Dans la seconde partie, Décomposition temporelle et spatiale de problèmes d'optimisation de grande taille, nous étendons les études précédentes à des microgrids de plus grandes tailles, avec différentes unités et stockages connectés ensemble. La résolution frontale de tels problèmes de grande taille par Programmation Dynamique s'avère impraticable. Nous proposons deux algorithmes originaux pour pallier ce problème en mélangeant une décomposition temporelle avec une décomposition spatiale --- par les prix ou par les ressources. Dans la dernière partie, Contributions à l'algorithme Stochastic Dual Dynamic Programming, nous nous concentrons sur l'algorithme emph{Stochastic DualDynamic Programming} (SDDP) qui est actuellement une méthode de référence pour résoudre des problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous étudions un nouveau critère d'arrêt pour cet algorithme basé sur une version duale de SDDP, qui permet d'obtenir une borne supérieure déterministe pour le problème primal.

Pas de résumé disponible.

Nous proposons une équation non linéaire directe de type Feynman-Kac, qui représente la solution d'une équation différentielle partielle (EDP) parabolique semi-linéaire non-conservative. Nous montrons en particulier l'existence et l'unicité. La solution de ce type d'équation peut être approchée via un système de particules pondérées.

L'article est consacré à la construction d'un algorithme particulaire probabiliste. Celui-ci est lié à l'équation de type Feynman-Kac non-linéaire directe, qui représente la solution d'une équation différentielle partielle (EDP) parabolique semi-linéaire non-conservative. Des illustrations de l'efficacité de l'algorithme sont fournies par des expériences numériques.

Nous fournissons un résultat de représentation des PD-E paraboliques semi-linéaires, avec une non-linéarité polynomiale, par des processus de diffusion branchés. Nous étendons la représentation classique des équations KPP, introduite par Skorokhod [23], Watanabe [27] et McKean [18], en permettant une non-linéarité polynomiale dans la paire (u, Du), où u est la solution de l'EDP avec le gradient spatial Du. Comme dans la littérature précédente, notre résultat requiert une condition de non-explosion qui restreint la " petite maturité " ou la " petite non-linéarité " de l'EDP. Notre ingrédient principal est la technique de différenciation automatique comme dans [15], basée sur l'intégration par parties de Malliavin, qui permet de tenir compte des non-linéarités dans le gradient. En conséquence, les particules de notre diffusion branchée sont marquées par la nature de la non-linéarité. Cette nouvelle représentation a des implications numériques très importantes car elle est adaptée à la simulation de Monte Carlo. En effet, elle fournit la première méthode numérique pour les EDP non linéaires de haute dimension avec une estimation de l'erreur induite par le théorème central limite sans dimension. On constate également que la complexité est de l'ordre du carré de la dimension. La dernière section de cet article illustre l'efficacité de l'algorithme par quelques expériences numériques de haute dimension.

Nous comparons deux mécanismes de gestion de la demande (DSM), introduits respectivement par Mohsenian-Rad et al (2010) et Baharlouei et al (2012), en termes d'efficacité et d'équité. Chaque mécanisme définit un jeu où les consommateurs optimisent leur consommation flexible pour réduire leur facture d'électricité. Mohsenian-Rad et al proposent un mécanisme quotidien pour lequel ils prouvent l'optimalité sociale. Baharlouei et al proposent un mécanisme de facturation horaire pour lequel nous donnons des résultats théoriques : nous prouvons l'unicité d'un équilibre dans le jeu associé et donnons une borne supérieure à son prix d'anarchie. Nous évaluons numériquement les deux mécanismes, en utilisant des données de consommation réelles de Pecan Street Inc. Les simulations montrent que l'équilibre atteint avec le mécanisme horaire est socialement optimal jusqu'à 0,1%, et qu'il atteint une propriété d'équité importante selon un indicateur quantitatif que nous définissons. Nous observons que les deux mécanismes DSM évitent l'effet de synchronisation induit par les mécanismes non théoriques des jeux, par exemple les contrats d'heures pleines et creuses.

Cette thèse porte sur la valorisation et les stratégies financières de couverture des risques dans les marchés de l'énergie. Ces marchés présentent des particularités qui les distinguent des marchés financiers standards, notamment l'illiquidité et l'incomplétude. L'illiquidité se reflète par des coûts de transactions importants et des contraintes sur les volumes échangés. L'incomplétude est l'incapacité de pouvoir répliquer parfaitement des produits dérivés. Nous nous intéressons à différents aspects de l'incomplétude de marché. La première partie porte sur la valorisation dans les modèles de Lévy. Nous obtenons une formule approximative du prix d'indifférence et nous mesurons la prime minimale à apporter par rapport au modèle de Black-Scholes. La deuxième partie concerne la valorisation d'options spread en présence de corrélation stochastique. Les options spread portent sur la différence de prix entre deux sous-jacents -- par exemple gaz et électricité -- et sont très utilisées sur les marchés de l'énergie. Nous proposons une procédure numérique efficace pour calculer le prix de ces options. Enfin, la troisième partie traite de la valorisation d'un produit comportant un risque exogène dont il existe des prévisions. Nous proposons une stratégie dynamique optimale en présence de risque de volume, et l'appliquons à la valorisation des fermes éoliennes. De plus, une partie est consacrée aux stratégies optimales asymptotiques en présence de coûts de transactions.

Dans les programmes de réponse à la demande, les incitations tarifaires peuvent ne pas être suffisantes pour modifier le profil de charge des consommateurs résidentiels. Ici, nous considérons que chaque consommateur a un profil préféré et un coût d'inconfort lorsqu'il s'en écarte. Les consommateurs peuvent évaluer cette gêne à un niveau variable que nous prenons comme paramètre. Ce travail analyse la réponse à la demande comme un environnement théorique de jeu. Nous étudions les équilibres du jeu entre les consommateurs avec des préférences dans deux mécanismes de tarification dynamique différents, respectivement le mécanisme proportionnel quotidien introduit par Mohsenian-Rad et al, et un mécanisme proportionnel horaire. Nous donnons de nouveaux résultats sur les équilibres en fonction du niveau de préférence dans le cas de coûts de système quadratiques et nous prouvons que, quel que soit le niveau de préférence, les coûts de système sont plus faibles avec le mécanisme horaire. Nous simulons l'environnement de la réponse à la demande en utilisant des données de consommation réelles provenant de la base de données PecanStreet. Alors que le prix de l'anarchie reste toujours proche de un jusqu'à 0,1% avec le mécanisme horaire, il peut être supérieur de plus de 10% avec le mécanisme quotidien.

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Nous discutons des aspects numériques liés à une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de McKean, qui sont censées représenter des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires non conservatives. Nous proposons un système original de particules en interaction pour lequel nous discutons la propagation du chaos. Nous considérons une approximation discrétisée dans le temps de ce système de particules à laquelle nous associons une fonction aléatoire dont nous prouvons qu'elle converge vers une solution d'une version régularisée d'une EDP non linéaire.

Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de McKean, liées aux équations différentielles partielles (EDP) non linéaires non conservatives. Nous discutons l'existence et l'unicité par chemin et en droit sous diverses hypothèses.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de McKean, liées aux équations différentielles partielles (EDP) non linéaires non conservatives. Nous discutons de l'existence et de l'unicité par chemin et en droit sous diverses hypothèses. Nous proposons un système original de particules en interaction pour lequel nous discutons la propagation du chaos. A ce système, nous associons une fonction aléatoire dont nous prouvons qu'elle converge vers une solution d'une version régularisée de l'EDP.

Nous étudions le problème de l'évaluation et de la couverture des dérivés des contrats à terme d'électricité lorsque l'actif sous-jacent n'est pas disponible. Nous proposons d'utiliser une stratégie de couverture croisée basée sur le contrat à terme couvrant la plus grande période de livraison. Un rapide aperçu des données du marché montre un risque de base pour cette incomplétude du marché. À cette fin, nous formulons le problème de tarification sous une forme de cible stochastique selon les lignes de Bouchard et al. (2008), avec une fonction de perte de moment. En suivant les mêmes techniques que ces derniers, nous évitons de démontrer l'unicité de la fonction de valeur par des arguments de comparaison et nous explorons les méthodes de dualité convexe pour fournir une solution semi-explicite au problème. Nous proposons ensuite des résultats numériques pour soutenir la nouvelle stratégie de couverture et comparons notre méthode à l'approche naïve de Black-Scholes.

Nous étudions le problème de l'évaluation et de la couverture des dérivés des contrats à terme d'électricité lorsque l'actif sous-jacent n'est pas disponible. Nous proposons d'utiliser une stratégie de couverture croisée basée sur le contrat à terme couvrant la plus grande période de livraison. Un rapide aperçu des données du marché montre un risque de base pour cette incomplétude du marché. À cette fin, nous formulons le problème de tarification sous une forme de cible stochastique selon les lignes de Bouchard et al. (2008), avec une fonction de perte de moment. En suivant les mêmes techniques que ces derniers, nous évitons de démontrer l'unicité de la fonction de valeur par des arguments de comparaison et nous explorons les méthodes de dualité convexe pour fournir une solution semi-explicite au problème. Nous proposons ensuite des résultats numériques pour soutenir la nouvelle stratégie de couverture et comparons notre méthode à l'approche naïve de Black-Scholes.

Pour une grande classe de réclamations contingentes vanille, nous établissons une décomposition explicite de F\"ollmer-Schweizer lorsque le sous-jacent est une exponentielle d'un processus additif. Cela permet de fournir un algorithme efficace pour résoudre le problème de couverture de la variance moyenne. Des applications à des modèles dérivés du marché de l'électricité sont réalisées.

Étant donné un processus avec des incréments indépendants $X$ (pas nécessairement une martingale) et une grande classe de v.r. carrément intégrables $H=f(X_T)$, $f$ étant la transformée de Fourier d'une mesure finie $\mu$, nous fournissons des décompositions explicites de Kunita-Watanabe et de Follmer-Schweizer. La représentation est exprimée au moyen de deux cartes significatives : les opérateurs d'espérance et de dérivée liés aux caractéristiques de $X$. Nous fournissons également une expression explicite de l'erreur optimale de variance lors de la couverture de la créance $H$ avec le processus sous-jacent $X$. Ces questions sont motivées par la recherche de la solution du célèbre problème de minimisation du risque quadratique global et local en finance mathématique.

Pour une grande classe de créances contingentes vanille, nous établissons une décomposition explicite de Föllmer-Schweizer lorsque le sous-jacent est une exponentielle d'un processus additif.Ceci permet de fournir un algorithme efficace pour résoudre le problème de couverture de la variance moyenne.Des applications à des modèles dérivés du marché de l'électricité sont réalisées.

Le probleme du filtrage non lineaire consiste a calculer de facon approchee la loi conditionnelle d'un processus markovien appele signal, indirectement lie a un processus observation dont on connait une realisation. Le but de cette these est de proposer de nouveaux algorithmes particulaires pour la resolution du probleme de filtrage non lineaire. La premiere idee developpee ici souligne le lien fort existant entre les proprietes de stabilite du filtre optimal et le comportement en temps long de certains filtres approches. On etudie la sensibilite du filtre optimal a differents types de perturbations locales intervenant dans son evolution a chaque pas de temps. On met ainsi en evidence le role cle de la metrique projective de hilbert qui permet le controle uniforme en temps de l'erreur globale induite dans le filtre perturbe pourvu que le signal verifie certaines conditions d'ergodicite. Ces resultats permettent en particulier de montrer que sous ces memes conditions d'ergodicite, les deux filtres particulaires initialement proposes dans la litterature (filtre de monte carlo pondere et filtre particulaire avec interaction) convergent uniformement en temps, vers le filtre optimal. Cependant, une analyse plus generale des methodes particulaires classiques met en evidence leur faiblesse specialement dans le cas de systemes faiblement bruites et nous conduit a proposer un nouveau type de filtres particulaires utilisant une perturbation locale plus fine. La regularisation constitue l'etape cle de cette perturbation. Elle est basee sur une extension de la theorie de l'estimation de densite par noyaux et permet de remplacer l'approximation discrete fournie par les filtres particulaires classiques en une approximation lisse. Les deux types de filtres particulaires resultants appeles filtre pre-regularise et filtre post-regularise sont analyses. Ils sont ensuite appliques en simulations a differents problemes de pistage.