HENRY LABORDERE Pierre

En suivant de près la construction du pont de Schrodinger, nous construisons une nouvelle classe de modèles de volatilité stochastique exactement calibrés sur des instruments de marché comme par exemple les vanilles, les options sur la variance réalisée ou les options VIX. Ces modèles diffèrent fortement des modèles de volatilité stochastique locaux bien connus, en particulier la volatilité instantanée des SVM nus associés n'est pas modifiée, une fois calibrée aux instruments de marché. Ils peuvent être interprétés comme une version martingale du pont de Schrodinger. La calibration numérique est effectuée en utilisant une version dynamique de l'algorithme de Sinkhorn. Nous mettons enfin en évidence une relation frappante avec les mouvements browniens non collants de Dyson.

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Nous considérons le problème classique de la construction d'une surface de volatilité implicite sans arbitrage à partir de cotations bid-ask. Nous concevons une procédure numérique rapide, dont nous prouvons la convergence, basée sur l'algorithme de Sinkhorn qui a été récemment utilisé pour résoudre efficacement des problèmes de transport optimal (martingale).

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Dans cet article, nous introduisons un algorithme primal-dual pour résoudre les problèmes de transport optimal (martingale), avec des fonctions de coût satisfaisant la condition de torsion, proche de celui qui a été utilisé récemment pour l'entraînement des réseaux adversariens génératifs. Comme applications supplémentaires, nous considérons la détection d'anomalies et la génération automatique de données financières.

Nous considérons le problème classique de la construction d'une surface de volatilité implicite sans arbitrage à partir de cotations bid-ask. Nous concevons une procédure numérique rapide, dont nous prouvons la convergence, basée sur l'algorithme de Sinkhorn qui a été récemment utilisé pour résoudre efficacement des problèmes de transport optimal (martingale).

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d'un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d'options Européennes vanilles observés sur le marché. Ce problème se traduit par l'étude d'une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence dans le coefficient de diffusion d'une espérance conditionnelle du facteur de volatilité stochastique par rapport à la solution de l'EDS. Nous obtenons l'existence du processus dans le cas particulier où le facteur de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d'états. Nous obtenons de plus la convergence faible à l'ordre 1 de la discrétisation en temps de l'EDS non linéaire au sens de McKean pour des facteurs de volatilité stochastique généraux. Dans l'industrie, la calibration est effectuée efficacement à l'aide d'une régularisation de l'espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère dans [JGPHL]. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l'algorithme proposé par [JGPHL]. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l'application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l'aide d'EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l'option en cas de défaut est petite. Enfin, nous montrons que le calcul des solutions de ces EDSR standards peut être amélioré à l'aide de la méthode de Monte-Carlo multiniveaux introduite par Giles dans [G].

Nous fournissons des représentations probabilistes de la solution de certaines EDP semi-linéaires hyperboliques et d'ordre supérieur basées sur des diffusions ramifiées. Ces représentations ouvrent la voie à une approximation de Monte-Carlo de la solution, contournant ainsi la malédiction de la dimensionnalité. Nous illustrons les implications numériques dans le contexte de certaines EDP populaires en physique telles que l'équation de Klein-Gordon non linéaire, une version scalaire simplifiée de l'équation de Yang-Mills, une équation de faisceau non linéaire d'ordre 4 et l'EDP de Gross-Pitaevskii comme exemple d'équations de Schrodinger non linéaires.

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Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques.

Nous fournissons un résultat de représentation des PD-E paraboliques semi-linéaires, avec une non-linéarité polynomiale, par des processus de diffusion branchés. Nous étendons la représentation classique des équations KPP, introduite par Skorokhod [23], Watanabe [27] et McKean [18], en permettant une non-linéarité polynomiale dans la paire (u, Du), où u est la solution de l'EDP avec le gradient spatial Du. Comme dans la littérature précédente, notre résultat requiert une condition de non-explosion qui restreint la " petite maturité " ou la " petite non-linéarité " de l'EDP. Notre ingrédient principal est la technique de différenciation automatique comme dans [15], basée sur l'intégration par parties de Malliavin, qui permet de tenir compte des non-linéarités dans le gradient. En conséquence, les particules de notre diffusion branchée sont marquées par la nature de la non-linéarité. Cette nouvelle représentation a des implications numériques très importantes car elle est adaptée à la simulation de Monte Carlo. En effet, elle fournit la première méthode numérique pour les EDP non linéaires de haute dimension avec une estimation de l'erreur induite par le théorème central limite sans dimension. On constate également que la complexité est de l'ordre du carré de la dimension. La dernière section de cet article illustre l'efficacité de l'algorithme par quelques expériences numériques de haute dimension.

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Nous proposons un estimateur de Monte-Carlo sans biais pour E[g(X t 1 , - - - , X tn)], où X est un processus de diffusion défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. L'idée principale est de partir plutôt d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDS à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation repose sur la technique de différenciation automatique induite par la formule de Bismu-Elworthy-Li du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournié et al [14] pour la simulation des Grecs dans des applications financières. En particulier, cet algorithme peut être considéré comme une variation de l'estimateur (à variance infinie) obtenu dans Bally et Kohatsu-Higa [3, Section 6.1] comme une application de la méthode paramétrique. MSC2010. Primaire 65C05, 60J60. Secondaire 60J85, 35K10.

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Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir. Les auteurs de ce schéma proposent d'approcher la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS), notée $X$, en résolvant $d+1$ équations différentielles ordinaires (EDOs) sur chaque pas de temps, où $d$ est la dimension du mouvement brownien. Le but de cette étude est d'analyser l'utilisation de ce schéma dans une méthode de Monte-Carlo multi-pas. En effet, la complexité optimale de cette méthode est dirigée par l'ordre de convergence vers $0$ de la variance entre les schémas utilisés sur la grille grossière et sur la grille fine. Cet ordre de convergence est lui-même lié à l'ordre de convergence fort entre les deux schémas. Nous montrons alors dans le chapitre $2$, que l'ordre fort du schéma de Ninomiya-Victoir, noté $X^{NV,eta}$ et de pas de temps $T/N$, est $1/2$. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité $Oleft(epsilon^{-2}right)$ à l'aide d'un schéma de Milstein modifié. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié qui peut-être couplé à l'ordre fort $1$ avec le schéma de Giles et Szpruch au dernier niveau d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas. Cette idée est inspirée de Debrabant et Rossler. Ces auteurs suggèrent d'utiliser un schéma d'ordre faible élevé au niveau de discrétisation le plus fin. Puisque le nombre optimal de niveaux de discrétisation d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas est dirigé par l'erreur faible du schéma utilisé sur la grille fine du dernier niveau de discrétisation, cette technique permet d'accélérer la convergence de la méthode Monte-Carlo multi-pas en obtenant une approximation d'ordre faible élevé. L'utilisation du couplage à l'ordre $1$ avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet ainsi de garder un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité optimale $Oleft( epsilon^{-2} right)$ tout en profitant de l'erreur faible d'ordre $2$ du schéma de Ninomiya-Victoir. Dans le troisième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'erreur renormalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$. Nous montrons la convergence en loi stable vers la solution d'une EDS affine, dont le terme source est formé des crochets de Lie entre les champs de vecteurs browniens. Ainsi, lorsqu'au moins deux champs de vecteurs browniens ne commutent pas, la limite n'est pas triviale. Ce qui assure que l'ordre fort $1/2$ est optimal. D'autre part, ce résultat peut être vu comme une première étape en vue de prouver un théorème de la limite centrale pour les estimateurs Monte-Carlo multi-pas. Pour cela, il faut analyser l'erreur en loi stable du schéma entre deux niveaux de discrétisation successifs. Ben Alaya et Kebaier ont prouvé un tel résultat pour le schéma d'Euler. Lorsque les champs de vecteurs browniens commutent, le processus limite est nul. Nous montrons que dans ce cas précis, que l'ordre fort est $1$. Dans le chapitre 4, nous étudions la convergence en loi stable de l'erreur renormalisée $Nleft(X - X^{NV}right)$ où $X^{NV}$ est le schéma de Ninomiya-Victoir lorsque les champs de vecteurs browniens commutent. Nous démontrons la convergence du processus d'erreur renormalisé vers la solution d'une EDS affine. Lorsque le champ de vecteurs dritf ne commute pas avec au moins un des champs de vecteurs browniens, la vitesse de convergence forte obtenue précédemment est optimale.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

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Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

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Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité. convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés.

Nous développons une technique de simulation exacte faible pour un processus X défini par une équation différentielle stochastique (EDS) multidimensionnelle. En particulier, pour une fonction Lipschitz g, nous proposons une approximation basée sur la simulation de l'espérance E[g(X_{t_1}, \cdots, X_{t_n})], qui contourne l'erreur de discrétisation. L'idée principale est de partir d'une EDS simulable bien choisie dont les coefficients sont mis à jour à des temps exponentiels indépendants. Un tel processus simulable peut être considéré comme une EDD à changement de régime, ou comme un processus de diffusion ramifié avec une seule particule vivante à tout moment. Afin de compenser le changement des coefficients de l'EDD, notre principal résultat de représentation s'appuie sur la technique de différenciation automatique induite par la formule d'Elworthy du calcul de Malliavin, telle qu'exploitée par Fournie et al. pour la simulation des Grecs dans les applications financières.Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. Contrairement à l'algorithme de simulation exacte de Beskos et Roberts, notre algorithme est adapté au cas multidimensionnel. En outre, sa mise en œuvre est une combinaison simple des techniques de discrétisation standard et de la méthode de différenciation automatique mentionnée ci-dessus.

Cette thèse traite de deux domaines d’analyse stochastique et de mathématiques financières: le calcul Malliavin pour chaînes de Markov (Partie I) et le risque de contrepartie (Partie II). La partie I a pour objectif l’étude du calcul Malliavin pour chaînes de Markov en temps continu. Il y est présenté deux points : démontrer l’existence de la densité pour les solutions d’une équation différentielle stochastique et calculer les sensibilités des produits dérivés. La partie II traite de sujets d’actualité dans le domaine du risque de marché, à savoir les XVA (ajustements de prix) et la modélisation multi-courbe.

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Dans cet article, nous nous concentrons sur l'évaluation sans modèle et la couverture robuste des options dépendant du temps local, en cohérence avec les options Vanille. Ce problème est classiquement abordé au moyen du problème d'encastrement de Skorokhod (SEP), qui consiste à représenter une probabilité donnée sur la ligne réelle comme la distribution d'un mouvement brownien arrêté à un temps d'arrêt choisi. En utilisant l'approche du contrôle stochastique initiée par Galichon, Henry-Labordere et Touzi, nous retrouvons les stratégies de couverture optimales et les prix correspondants donnés par les embeddings de Vallois au SEP. De plus, nous étendons l'analyse au cas bi-marginal. Nous fournissons une construction de l'encastrement bi-marginal et quelques exemples pour lesquels le problème de la super-couverture robuste est résolu. Enfin, nous étudions un cas spécial multi-marginal, où nous construisons une martingale de Markov et calculons son générateur explicite. En particulier, nous fournissons un nouvel exemple de faux mouvement brownien.

Dans cette courte note, en utilisant notre méthode géométrique introduite dans un article précédent \cite{phl} et initiée par \cite{ave}, nous dérivons une volatilité implicite asymptotique des swaptions au premier ordre pour un modèle de marché Libor à volatilité stochastique générale. Cette formule est utile pour calibrer rapidement un modèle à une matrice complète de swaptions. Nous appliquons cette formule à un modèle spécifique où les taux à terme sont supposés suivre un processus CEV multidimensionnel corrélé à un processus SABR. Pour un caplet, ce modèle dégénère en modèle SABR classique et notre volatilité implicite asymptotique des swaptions se réduit naturellement à la formule de Hagan-al \cite{sab}. La géométrie sous-jacente à ce modèle est le collecteur hyperbolique $\HH^{n+1}$ avec $n$ le nombre de taux à terme Libor.

Nous proposons une extension de la version martingale du couplage de Fréchet-Hoeffding au cadre de contraintes marginales infiniment nombreuses. Dans le contexte à deux marges, cette extension a été obtenue par Beiglböck & Juillet [7], et développée par Henry-Labordère & Touzi [40], voir aussi [6]. Notre résultat principal s'applique à une classe spéciale de fonctions de récompense et nécessite quelques restrictions sur les distributions marginales. Nous montrons que le plan de transfert martingale optimal est induit par un modèle de Lévy local à saut descendant pur. En particulier, cela fournit un nouveau processus de martingale paon (PCOC " Processus Croissant pour l'Ordre Convexe ", voir Hirsch, Profeta, Roynette & Yor [43]), et un nouvel exemple remarquable de faux mouvements browniens discontinus. De plus, comme dans [40], nous fournissons également un résultat de dualité ainsi que l'optimiseur dual correspondant sous forme explicite. Comme application aux mathématiques financières, nos résultats donnent les limites inférieures et supérieures optimales indépendantes du modèle pour les swaps de variance.

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Cette thèse d'habilitation se concentre sur trois parties qui sont motivées par des problèmes de finance mathématique : (1) transport optimal martingale, (2) volatilité implicite asymptotique pour les modèles de volatilité locale et stochastique en utilisant l'expansion à court terme (géométrique) du noyau de chaleur et (3) schémas numériques probabilistes pour les EDP paraboliques non linéaires du second ordre.

Nous étudions l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordere (2012), puis nous le généralisons au cas non-markovien pour une classe d'EDS à rebours (EDSB). En simulant le processus de branchement, l'algorithme ne nécessite aucune régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren et al. (à paraître) [5] et étendue dans Ekren et al. (2012) [6,7].

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

Nous considérons le problème de la super-couverture sous l'incertitude de la volatilité pour un investisseur autorisé à négocier dynamiquement l'actif sous-jacent et à négocier statiquement des options d'achat européennes pour tous les prix d'exercice possibles et un nombre fini d'échéances. Nous présentons un résultat général de dualité qui convertit ce problème en un problème de calcul des variations min-max où les multiplicateurs de Lagrange correspondent à la partie statique de la couverture. À la suite de Galichon, Henry-Labordére et Touzi \cite{ght}, nous appliquons des méthodes de contrôle stochastique pour le résoudre explicitement pour des options Lookback avec une fonction de gain non décroissante. La première étape de notre solution retrouve les propriétés optimales étendues de la solution Azéma-Yor du problème d'encastrement de Skorokhod obtenue par Hobson et Klimmek \cite{hobson-klimmek} (sous des conditions légèrement différentes). Le cas à deux marges correspond aux travaux de Brown, Hobson et Rogers \cite{brownhobsonrogers}. Le coût de supercouverture robuste est complété par une négociation dynamique (simple) et conduit à une classe de stratégies de négociation semi-statiques. La propriété de supercouverture se réduit alors à une inégalité fonctionnelle que nous vérifions indépendamment. L'optimalité découle de l'existence d'un modèle qui réalise l'égalité qui est obtenue dans Ob\lój et Spoida \cite{OblSp}.

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

En étudiant les limites indépendantes du modèle pour les options exotiques en mathématiques financières, une version martingale du problème de transport de masse de Monge-Kantorovich a été introduite dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner,GalichonHenry-LabordereTouzi}. Dans cet article, nous étendons le théorème de Brenier unidimensionnel à la version martingale actuelle. Nous fournissons les plans de transfert optimaux martingales explicites pour une classe remarquable de fonctions de couplage correspondant aux limites inférieure et supérieure. Ces mesures de probabilité extrémales explicites coïncident avec les plans de transfert monotones de martingale gauche et droite uniques, qui ont été introduits dans \cite{BeiglbockJuillet} par une adaptation appropriée de la notion de monotonicité cyclique. Au lieu de cela, notre approche s'appuie fortement sur le résultat de dualité (faible) énoncé dans \cite{BeiglbockHenry-LaborderePenkner}, et fournit, comme sous-produit, une expression explicite pour les stratégies de couverture semi-statiques optimales correspondantes. Nous fournissons enfin une extension au cas des marginaux multiples.

Nous généralisons l'algorithme pour les EDP paraboliques semi-linéaires de Henry-Labordére \cite{Henry-Labordere_branching} au cas non-markovien pour une classe de SDEs rétrogrades (BSDEs). En simulant le processus de branchement, l'algorithme n'a pas besoin de régression arrière. Pour prouver que l'algorithme numérique converge vers la solution des BSDE, nous utilisons la notion de solution de viscosité des EDP dépendantes du chemin introduite par Ekren, Keller, Touzi et Zhang \cite{EkrenKellerTouziZhang} et étendue dans Ekren, Touzi et Zhang \cite{EkrenTouziZhang1, EkrenTouziZhang2}.

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Les options VIX négociées sur le CBOE sont devenues des dérivés de volatilité populaires. Comme les options vanille du S&P 500 et le VIX dépendent tous deux de la dynamique de la volatilité du S&P 500, il est important de comprendre le lien entre ces produits. Dans cet article, nous lions les options VIX aux options vanille et aux futures VIX. Cela nous amène à introduire un nouveau problème de transport optimal de type martingale que nous résolvons numériquement. Nous fournissons également des limites inférieures et supérieures analytiques qui mettent déjà en évidence certaines possibilités d'arbitrage (potentiel). Nous caractérisons entièrement la classe de distributions marginales pour lesquelles ces limites explicites sont optimales, et illustrons numériquement qu'elles semblent être optimales pour les distributions marginales implicites du marché.

Dans cette thèse, nous traitons deux problèmes de contrôle optimal stochastique. Chaque problème correspond à une Partie de ce document. Le premier problème traité est très précis, il s'agit de la valorisation des contrats optionnels de vente de type Américain (dit Put Américain) en présence de dividendes discrets (Partie I). Le deuxième est plus général, puisqu'il s'agit dans un cadre discret en temps de prouver l'existence d'un principe de programmation dynamique sous des contraintes en probabilités (Partie II). Bien que les deux problèmes soient assez distincts, le principe de programmation dynamique est au coeur de ces deux problèmes. La relation entre la valorisation d'un Put Américain et un problème de frontière libre a été prouvée par McKean. La frontière de ce problème a une signification économique claire puisqu'elle correspond à tout instant à la borne supérieure de l'ensemble des prix d'actifs pour lesquels il est préférable d'exercer tout de suite son droit de vente. La forme de cette frontière en présence de dividendes discrets n'avait pas été résolue à notre connaissance. Sous l'hypothèse que le dividende est une fonction déterministe du prix de l'actif à l'instant précédant son versement, nous étudions donc comment la frontière est modifiée. Au voisinage des dates de dividende, et dans le modèle du Chapitre 3, nous savons qualifier la monotonie de la frontière, et dans certains cas quantifier son comportement local. Dans le Chapitre 3, nous montrons que la propriété du smooth-fit est satisfaite à toute date sauf celles de versement des dividendes. Dans les deux Chapitres 3 et 4, nous donnons des conditions pour garantir la continuité de cette frontière en dehors des dates de dividende. La Partie II est originellement motivée par la gestion optimale de la production d'une centrale hydro-electrique avec une contrainte en probabilité sur le niveau d'eau du barrage à certaines dates. En utilisant les travaux de Balder sur la relaxation de Young des problèmes de commande optimale, nous nous intéressons plus spécifiquement à leur résolution par programmation dynamique. Dans le Chapitre 5, nous étendons au cadre des mesures de Young des résultats dûs à Evstigneev. Nous établissons alors qu'il est possible de résoudre par programmation dynamique certains problèmes avec des contraintes en espérances conditionnelles. Grâce aux travaux de Bouchard, Elie, Soner et Touzi sur les problèmes de cible stochastique avec perte contrôlée, nous montrons dans le Chapitre 6 qu'un problème avec contrainte en espérance peut se ramener à un problème avec des contraintes en espérances conditionnelles. Comme cas particulier, nous prouvons ainsi que le problème initial de la gestion du barrage peut se résoudre par programmation dynamique.

La calibration des vanilles est un problème majeur de la finance. On tente ici de le résoudre pour trois classes de modèles : les modèles à volatilité locale et stochastique, le modèle dit à « corrélation locale » et un modèle hybride de volatilité locale avec taux stochastiques. D’un point de vue mathématique, l’équation de calibration est une équation non linéaire et intégro-différentielle particulièrement complexe. Dans une première partie, on prouve des résultats d’existence de solutions pour cette équation, ainsi que pour son adjoint (plus simple à résoudre). Ces résultats se fondent sur des méthodes de points fixes dans des espaces de Hölder et requièrent des théorèmes classiques relatifs aux équations aux dérivées partielles paraboliques, ainsi que quelques estimations à priori au temps court. La deuxième partie traite de l’application de ces résultats d’existence aux trois modèles financiers précédemment cités. On y expose également les résultats numériques obtenus en résolvant l’edp. La calibration par cette méthode est tout à fait satisfaisante. Enfin, dans un dernier temps, on s’intéresse à l’algorithme utilisé pour la résolution numérique : un schéma ADI prédicteur-correcteur, qu’on modifie pour prendre en compte le caractère non linéaire de l’équation. On décrit également un phénomène d’instabilité de la solution de l’edp qu’on tente d’expliquer d’un point de vue théorique grâce à l’instabilité dite de « Hadamard ».

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