Contrôle optimal stochastique, problèmes de cibles stochastiques, et SDE à rebours.

Résumé Ce livre rassemble certains développements récents en théorie du contrôle stochastique avec des applications aux mathématiques financières. Dans la première partie du volume, les problèmes de contrôle stochastique standard sont abordés du point de vue du principe de programmation dynamique faible récemment développé. Un accent particulier est mis sur les questions de régularité et, en particulier, sur le comportement de la fonction de valeur près de la frontière. Ensuite, une revue rapide des principaux outils issus des solutions de viscosité permettant de surmonter tous les problèmes de régularité est fournie. La deuxième partie est consacrée à la classe des problèmes cibles stochastiques, qui étend de manière non triviale les problèmes de contrôle stochastiques standards. La théorie des solutions de viscosité joue ici un rôle crucial dans la dérivation de l'équation de programmation dynamique en tant que contrepartie infinitésimale de l'équation de programmation dynamique géométrique correspondante. Les différents développements de cette théorie ont été stimulés par des applications en finance et par des connexions pertinentes avec les flux géométriques. En particulier, l'extension du second ordre a été motivée par la modélisation de l'illiquidité, et la version à pertes contrôlées a été introduite suite au problème de la couverture par quantile. La troisième partie présente un aperçu des équations différentielles stochastiques rétroactives et de leurs extensions au cas quadratique. Les équations différentielles stochastiques rétroactives sont intimement liées à la version stochastique du principe du maximum de Pontryagin et peuvent être considérées comme une version forte des problèmes de cibles stochastiques dans le contexte non-Markov. Les principales applications au problème de couverture en cas d'imperfections du marché, au problème d'investissement optimal dans le cadre de l'utilité espérée exponentielle ou de puissance, ainsi que certains développements récents dans le contexte d'un modèle d'équilibre de Nash pour des investisseurs en interaction, sont présentés. Le livre se termine par une revue des techniques d'approximation numérique pour les équations aux dérivées partielles non linéaires basées sur des méthodes de schémas monotones dans la théorie des solutions de viscosité.