Comparaison des solutions de viscosité des EDP semi-linéaires dépendantes du chemin.

Résumé Cet article fournit une preuve probabiliste du résultat de comparaison pour les solutions de viscosité des EDP semi-linéaires dépendantes du chemin. Nous considérons la notion de solutions de viscosité introduite dans [8] qui considère comme fonctions de test tous les processus lisses qui sont tangents en moyenne. Lorsqu'elle est restreinte au cas markovien, cette définition induit un ensemble plus large de fonctions tests, et se réduit à la notion de solutions de viscosité stochastique analysée dans [1, 2]. Notre résultat principal tire avantage de cet élargissement des fonctions de test, et fournit une preuve de comparaison plus facile. Ceci est particulièrement remarquable dans le contexte de l'équation de la chaleur linéaire dépendant du chemin. Comme ingrédient clé de notre méthodologie, nous introduisons une notion de différenciation ponctuelle, similaire au concept correspondant dans les solutions de viscosité standard [3], et nous prouvons que les semimartingales sont presque partout différentiables ponctuellement. Ce résultat de lissage peut être considéré comme la contrepartie du résultat de lissage d'Aleksandroff pour les fonctions convexes. Un résultat de comparaison similaire a été établi précédemment dans [8]. Le résultat de cet article est plus général et, plus important encore, les arguments que nous développons ne reposent sur aucune représentation de la solution.