Quelques résultats sur le contrôle optimal McKean-Vlasov et les jeux de champ moyen : théorèmes de limite, principe de programmation dynamique et approximations numériques.

Résumé Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.