POSSAMAI Dylan

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous appliquons la théorie Principal-Agent à certains problèmes de microstructure de marché. Premièrement, nous développons une politique d’incitation afin d’améliorer la qualité de la liquidité de marché dans le cadre d’une activité de market-making dans un lit et un dark pool gérés par la même bourse d’échange. Puis, nous adaptions ce design d’incitations à la régulation de l’activité de market-making lorsque plusieurs market-makers sont en concurrence sur une plateforme. Nous proposons également une forme d’incitation basée sur le choix de tailles de ticks asymétriques à l’achat et à la vente sur un actif. Nous abordons ensuite la question de la conception d’un marché de produits dérivés, en utilisant une méthode de quantization pour sélectionner les options listées sur la plateforme, et la théorie Principal-Agent pour créer des incitations pour un market-maker d’options. Enfin, nous développons un mécanisme d’incitations robuste à la spécification de modèle pour augmenter l’investissement dans les obligations vertes.La deuxime partie de cette thèse est consacrée au market-making d’options en grande dimension. En faisant l’hypothèse de grecques constants nous proposons dans un premier temps un modèle pour traiter les options de longue maturité. Puis nous proposons une approximation de la fonction valeur permettant de traiter les grecques non-constants et les options de courte maturité. Enfin, nous développons un modèle pour la dynamique haute fréquence de la surface de volatilité implicite. En utilisant des processus Hawkes multidimensionnels, nous montrons comment ce modèle peut reproduire de nombreux faits stylisés tels que le skew, le smile et la structure par termes de la surface.La dernière partie de cette thèse est consacrée aux problèmes de trading optimal en grande dimension. Dans un premier temps, nous développons un modèle pour le trading optimal d’actions listées sur plusieurs plateformes. Pour un grand nombre de plateformes, nous utilisons une méthode d’apprentissage par renforcement profond pour calculer les contrôles optimaux du trader. Puis, nous proposons une méthodologie pour résoudre des problèmes de trading de façon approximativement optimale sans utiliser la théorie du contrôle stochastique. Nous présentons un modèle dans lequel un agent exhibe un comportement approximativement optimal s’il utilise le gradient de la trajectoire macroscopique comme signal de court terme. Enfin, nous présentons deux nouveaux développements sur la littérature d’exécution optimale. Tout d’abord, nous montrons que nous pouvons obtenir une solution analytique au problème d’exécution d’Almgren-Chriss avec mouvement Brownien géométrique et pénalité quadratique. Deuxièmement, nous proposons une application du modèle de carnet d’ordres latent au problème d’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs, dans le cadre de stress tests de liquidité.

Le but de cette courte note est de combler une lacune dans notre article précédent [7] sur les 2BSDE avec réflexions, et d'expliquer comment corriger les résultats ultérieurs dans le deuxième article [6]. Nous fournissons également plus d'informations sur les propriétés des 2RBSDE, à la lumière des contributions récentes [5, 13] dans le cadre dit "G".

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons des extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude de joueurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle du drift et de la volatilité, en présence d'aléa moral. En particulier, le chapitre 2 présente un problème d'incitations optimales en temps continu au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015) et éclairant à deux égards : d'une part, il présente un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et, d'autre part, il souligne l'importance de considérer des modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques effectuée dans le troisième chapitre, qui va de pair avec la théorie récente des équations différentielles stochastiques du second ordre (2EDSR). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont en particulier impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés initialement par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle à un seul agent.Dans la deuxième partie, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le formalisme et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent pour améliorer les programmes de réponse à la demande en électricité, déjà considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte l'infinité de consommateurs que doit fournir en électricité un producteur, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire les incitations optimales, afin notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, en particulier la précarité énergétique.Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude dans la dernière partie d'un second domaine d'application, celui de l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Nous considérons en premier lieu dans le chapitre 7 le point de vue des individus, à travers un jeu à champs moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en conciliant d'un côté son besoin d'interactions sociales et de l'autre sa peur d'être à son tour contaminé, et de contribuer à la diffusion plus large de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'exhibons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous prenons le point de vue du gouvernement, souhaitant inciter la population, représentée maintenant dans son ensemble, à diminuer ses interactions de manière à contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut s'avérer efficace, mais que, pour une maîtrise totale de l'épidémie, il est nécessaire de développer une politique de dépistage consciencieuse, accompagnée d'un isolement scrupuleux des individus testés positifs.

Pas de résumé disponible.

Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.

Cet article étudie une classe de problèmes de contrôle stochastique singuliers non-markoviens, pour lesquels nous fournissons une nouvelle représentation probabiliste. Il est prouvé que la solution d'un tel problème de contrôle s'identifie à la solution d'un BSDE sous contrainte Z, avec une dynamique associée à un processus sous-jacent non singulier. En raison de l'environnement non-markovien, notre argumentation principale repose sur l'utilisation d'arguments de comparaison pour les EDPs dépendantes du chemin. Notre représentation permet en particulier de quantifier la régularité de la solution du problème de contrôle stochastique singulier en termes de données initiales spatiales et temporelles. Notre cadre s'étend également à la prise en compte des diffusions dégénérées, conduisant à la représentation de la solution comme l'infimum de solutions à des EDPS sous contrainte Z. Comme application, nous étudions le problème de maximisation de l'utilité avec des coûts de transaction pour une dynamique non-markovienne.

Nous étudions le prix d'indifférence à l'utilité d'une option européenne dans le contexte de faibles coûts de transaction. En considérant la configuration générale permettant la consommation et une fonction d'utilité générale au temps final T, nous obtenons une expansion asymptotique du prix d'indifférence à l'utilité en fonction des expansions asymptotiques des problèmes de maximisation de l'utilité avec et sans l'option européenne. Nous utilisons les outils développés dans [54] et [48] basés sur l'homogénéisation et les solutions de viscosité pour caractériser ces expansions. Enfin, nous étudions plus précisément l'exemple des utilités exponentielles, en particulier en retrouvant sous des hypothèses plus faibles les résultats de [6].

Pas de résumé disponible.

Dans cet article, nous étudions un problème d'aléa moral en temps fini avec des paiements forfaitaires et continus, impliquant un nombre infini d'agents avec des interactions de type champ moyen, engagés par un principal. En réinterprétant le jeu de champ moyen auquel chaque agent est confronté en termes d'équation différentielle stochastique avant-arrière de champ moyen (FBSDE en abrégé), nous sommes en mesure de réécrire le problème du principal comme un problème de contrôle des SDE de McKean-Vlasov. Nous passons en revue deux approches générales pour le résoudre : la première introduite récemment dans [2, 66, 67, 68, 69] en utilisant la programmation dynamique et les équations de Hamilton-Jacobi- Bellman (HJB en abrégé), la seconde basée sur le principe du maximum stochastique de Pontryagin, qui suit [16]. Nous résolvons complètement et explicitement le problème dans des cas particuliers, en dépassant le cadre linéaire-quadratique habituel. Nous montrons finalement dans nos exemples que le contrat optimal dans le modèle à N joueurs converge vers le contrat optimal du champ moyen lorsque le nombre d'agents passe à +∞, illustrant ainsi dans notre cadre spécifique les résultats généraux de [12].

Dans un cadre proche de celui développé par Holmström et Milgrom [44], nous étudions le schéma contractuel optimal entre un Principal et plusieurs Agents. Chaque agent engagé est en charge d'un projet, et peut faire des efforts pour gérer son propre projet, ainsi qu'impacter (positivement ou négativement) les projets des autres agents. En considérant des agents économiques en compétition avec des préoccupations de performance relative, nous dérivons les contrats optimaux à la fois dans le cadre du first best et du risque moral. La méthodologie de résolution améliorée s'appuie fortement sur la connexion entre les équilibres de Nash et les BSDE quadratiques multidimensionnels. Les contrats optimaux sont linéaires et chaque agent reçoit une proportion fixe de la valeur finale de tous les projets de l'entreprise. En outre, chaque agent reçoit son utilité de réservation, et ceux qui ont une forte appétence pour la compétition se voient attribuer des projets moins volatils, et peuvent même recevoir de l'aide des autres agents. Du point de vue du principal, il est dans l'intérêt de l'entreprise dans notre modèle de diversifier fortement l'appétence concurrentielle des agents.

Nous fournissons une approche unifiée des estimations a priori pour les supersolutions des BSDE dans des filtrations générales, qui peuvent ne pas être quasi-continues à gauche. Comme exemple d'application, nous prouvons que les BSDE réfléchies sont bien posées dans un cadre général.

Le problème de la couverture robuste nécessite de résoudre le problème de la super-couverture sous une famille non dominée de mesures singulières. Des progrès récents ont été réalisés par van Handel, Neufeld et Nutz. Nous montrons que la formulation duale de ce problème est valable dans un contexte adapté au transport optimal martingale ou, plus généralement, au transport optimal sous dynamique stochastique contrôlée.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d’équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d’abord par Cheridito, Soner, Touzi et Victoir [25] puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang [107]. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d’existence et d’unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d’un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d’utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d’investissement, et aussi parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l’existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l’ajout de l’incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d’EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l’existence et l’unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d’options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d’un problème de pricing d’options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l’étude d’un problème Principal/Agent dans un cadre d’aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l’agent) possèdant un certain nombre de prêts, souhaite échanger leurs intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d’elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.