Méthodes de contrôle stochastique pour le transport optimal et schémas numériques probabilistes pour les EDP.

Résumé Cette thèse traite des méthodes numériques pour une équation aux dérivées partielles (EDP) parabolique dégénérée entièrement non linéaire, et pour un problème d'EDP non linéaire contrôlée qui résulte d'un problème de transport de masse. Le manuscrit est divisé en quatre parties. Dans une première partie de la thèse, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonicité du schéma $\theta$ de différence finie pour une équation de diffusion unidimensionnelle. Une formule explicite est donnée dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une deuxième partie, nous considérons une EDP parabolique dégénérée entièrement non linéaire et nous proposons un schéma de fractionnement pour sa résolution numérique. Le schéma de fractionnement combine un schéma probabiliste et le schéma semi-lagrangien, et au total, il peut être considéré comme un schéma de Monte-Carlo pour les EDP. Nous fournissons un résultat de convergence ainsi qu'un taux de convergence. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions un problème de transport de masse optimal. La masse est transportée par une dynamique de dérive-diffusion contrôlée, et le coût associé dépend des trajectoires, de la dérive ainsi que du coefficient de diffusion de la dynamique. Nous prouvons un résultat de dualité fort pour le problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction de valeur sur l'espace de toutes les fonctions continues bornées, et chaque fonction de valeur correspondant à une fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique. Dans les cas markoviens, nous prouvons le principe de programmation dynamique des problèmes de contrôle optimal, et nous proposons un algorithme de projection de gradient pour la résolution numérique du problème dual, et fournissons un résultat de convergence. Enfin, dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale du problème de transport de masse avec ses applications dans le calcul de la limite de prix sans arbitrage, indépendante du modèle, de l'option de variance dans un marché vanille-liquide. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de projection de gradient pour approximer la borne ainsi que la stratégie statique correspondante dans les options vanille.