Contrôle stochastique pour une classe de noyaux non linéaires et applications *.

Résumé Nous considérons un problème de contrôle stochastique pour une classe de noyaux non linéaires. Plus précisément, notre problème d'intérêt consiste en l'optimisation, sur un ensemble de mesures de probabilité éventuellement non dominées, de solutions d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE). Puisque les BSDE sont des généralisations non linéaires des attentes traditionnelles (linéaires), ce problème peut être compris comme le contrôle stochastique d'une famille d'attentes non linéaires, ou de manière équivalente de noyaux non linéaires. Notre première contribution principale est de prouver un principe de programmation dynamique pour ce problème de contrôle dans un cadre abstrait, que nous utilisons ensuite pour fournir une caractérisation semimartingale de la fonction de valeur. Nous explorons ensuite plusieurs applications de nos résultats. Nous obtenons tout d'abord un résultat de bienposition pour les BSDE du second ordre (tel qu'introduit dans [76]) qui ne nécessite aucune hypothèse de régularité sur la condition terminale et le générateur. Nous prouvons ensuite une décomposition optionnelle non linéaire dans un cadre robuste, en étendant des résultats récents de [63], que nous utilisons ensuite pour obtenir une dualité de super-couverture dans des marchés financiers incertains, incomplets et non linéaires. Enfin, nous relions, sous des hypothèses de régularité supplémentaires, la fonction de valeur à une solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles dépendante du chemin (EDPP) appropriée.