ABERGEL Frederic

Nous proposons un cadre de modélisation microstructurelle pour étudier les politiques optimales de tenue de marché dans un carnet d'ordres à cours limité (LOB) FIFO (first in first out). Dans ce contexte, les arrivées d'ordres à cours limité, d'ordres au marché et d'ordres d'annulation dans le LOB sont modélisées comme des processus ponctuels de Cox dont l'intensité ne dépend que de l'état du LOB. Ce sont des modèles à haute dimension qui sont réalistes du point de vue de la micro-structure et qui ont été récemment développés dans la littérature. Dans ce contexte, nous considérons un teneur de marché qui est prêt à acheter et vendre des actions sur une base régulière et continue à un prix coté publiquement, et identifie les stratégies qui maximisent son P&L pénalisé par son inventaire. Nous appliquons la théorie des processus de décision de Markov et la méthode de programmation dynamique pour caractériser analytiquement les solutions à notre problème de tenue de marché optimale. La deuxième partie de l'article traite de l'aspect numérique du problème de négociation à haute dimension. Nous utilisons une méthode de randomisation de contrôle combinée à une méthode de quantification pour calculer les stratégies optimales. Plusieurs tests de calcul sont effectués sur des données simulées pour illustrer l'efficacité de la stratégie optimale calculée. En particulier, nous avons simulé un carnet d'ordres avec des intensités constantes/ symétriques/ asymétriques/ dépendantes de l'état, et nous avons comparé la stratégie optimale calculée avec des stratégies naïves.

Cet article traite d'un sujet fondamental qui a rarement été abordé ces dernières années, celui de l'impact du marché sur le marché des options. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de métaordres - de gros ordres qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés au marché sur l'un des principaux marchés asiatiques. Conformément à nos travaux précédents sur le marché des actions [Said et al., 2018], nous proposons une approche algorithmique pour identifier les métaordres, en fonction de certains paramètres de volatilité implicite, la volatilité à terme à l'argent et le skew à terme à l'argent. Dans les deux cas, nous obtenons des résultats similaires à ceux du marché des actions, désormais bien compris : La loi de la racine carrée, la condition du prix équitable et la dynamique de l'impact du marché.

La thèse porte sur les schémas numériques pour les problèmes de décisions Markoviennes (MDPs), les équations aux dérivées partielles (EDPs), les équations différentielles stochastiques rétrogrades (ED- SRs), ainsi que les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRs réfléchies). La thèse se divise en trois parties.La première partie porte sur des méthodes numériques pour résoudre les MDPs, à base de quan- tification et de régression locale ou globale. Un problème de market-making est proposé: il est résolu théoriquement en le réécrivant comme un MDP. et numériquement en utilisant le nouvel algorithme. Dans un second temps, une méthode de Markovian embedding est proposée pour réduire des prob- lèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle à des MDPs. Cette méthode est mise en œuvre sur trois différents problèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle, qui sont par la suite numériquement résolus en utilisant des méthodes numériques à base de régression et de quantification.Dans la seconde partie, on propose de nouveaux algorithmes pour résoudre les MDPs en grande dimension. Ces derniers reposent sur les réseaux de neurones, qui ont prouvé en pratique être les meilleurs pour apprendre des fonctions en grande dimension. La consistance des algorithmes proposés est prouvée, et ces derniers sont testés sur de nombreux problèmes de contrôle stochastique, ce qui permet d’illustrer leurs performances.Dans la troisième partie, on s’intéresse à des méthodes basées sur les réseaux de neurones pour résoudre les EDPs, EDSRs et EDSRs réfléchies. La convergence des algorithmes proposés est prouvée. et ces derniers sont comparés à d’autres algorithmes récents de la littérature sur quelques exemples, ce qui permet d’illustrer leurs très bonnes performances.

Cette thèse est constituée de deux parties liées l’une à l’autre. Dans la première, nous étudions empiriquement le comportement des traders haute fréquence sur les marchés financiers européens. Nous utilisons les résultats obtenus afin de construire dans la seconde partie de nouveaux modèles multi-agents. L’objectif principal de ces modèles est de fournir aux régulateurs et plateformes de négociation des outils innovants leur permettant de mettre en place des règles pertinentes pour la microstructure et de quantifier l’impact des divers participants sur la qualité du marché.Dans la première partie, nous effectuons deux études empiriques sur des données uniques fournies par le régulateur français. Nous avons accès à l’ensemble des ordres et transactions des actifs du CAC 40, à l’échelle de la microseconde, avec par ailleurs les identités des acteurs impliqués. Nous commençons par comparer le comportement des traders haute fréquence à celui des autres intervenants, notamment pendant les périodes de stress, en termes de provision de liquidité et d’activité de négociation. Nous approfondissons ensuite notre analyse en nous focalisant sur les ordres consommant la liquidité. Nous étudions leur impact sur le processus de formation des prix et leur contenu informationnel selon les différentes catégories de flux : traders haute fréquence, participants agissant pour compte client et participants agissant pour compte propre.Dans la seconde partie, nous proposons trois modèles multi-agents. À l’aide d’une approche à la Glosten-Milgrom, nous parvenons avec notre premier modèle à construire l’ensemble du carnet d’ordres (spread et volume disponible à chaque prix) à partir des interactions entre trois types d’agents : un agent informé, un agent non informé et des teneurs de marché. Ce modèle nous permet par ailleurs de développer une méthodologie de prédiction du spread en cas de modification du pas de cotation et de quantifier la valeur de la priorité dans la file d’attente. Afin de se concentrer sur une échelle individuelle, nous proposons une deuxième approche où les dynamiques spécifiques des agents sont modélisées par des processus de type Hawkes non linéaires et dépendants de l’état du carnet d’ordres. Dans ce cadre, nous sommes en mesure de calculer en fonction des flux individuels plusieurs indicateurs pertinents relatifs à la microstructure. Il est notamment possible de classer les teneurs de marché selon leur contribution propre à la volatilité. Enfin, nous introduisons un modèle où les fournisseurs de liquidité optimisent leurs meilleurs prix à l’achat et à la vente en fonction du profit qu’ils peuvent générer et du risque d’inventaire auquel ils sont confrontés. Nous mettons alors en évidence théoriquement et empiriquement une nouvelle relation importante entre inventaire et volatilité.

Cet article traite d'un sujet fondamental qui a rarement été abordé ces dernières années, celui de l'impact du marché sur le marché des options. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de métaordres - de gros ordres qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés au marché sur l'un des principaux marchés asiatiques. Conformément à nos travaux précédents sur le marché des actions [Said et al., 2018], nous proposons une approche algorithmique pour identifier les métaordres, en fonction de certains paramètres de volatilité implicite, la volatilité à terme à l'argent et le skew à terme à l'argent. Dans les deux cas, nous obtenons des résultats similaires à ceux du marché des actions, désormais bien compris : La loi de la racine carrée, la condition du prix équitable et la dynamique de l'impact du marché.

Nous proposons un cadre de modélisation microstructurelle pour étudier les politiques optimales de tenue de marché dans un carnet d'ordres à cours limité (LOB) FIFO (first in first out). Dans ce contexte, les arrivées d'ordres à cours limité, d'ordres au marché et d'ordres d'annulation dans le LOB sont modélisées comme des processus ponctuels de Cox dont l'intensité ne dépend que de l'état du LOB. Ce sont des modèles à haute dimension qui sont réalistes du point de vue de la micro-structure et qui ont été récemment développés dans la littérature. Dans ce contexte, nous considérons un teneur de marché qui est prêt à acheter et vendre des actions sur une base régulière et continue à un prix coté publiquement, et identifie les stratégies qui maximisent son P&L pénalisé par son inventaire. Nous appliquons la théorie des processus de décision de Markov et la méthode de programmation dynamique pour caractériser analytiquement les solutions à notre problème de tenue de marché optimale. La deuxième partie de l'article traite de l'aspect numérique du problème de négociation à haute dimension. Nous utilisons une méthode de randomisation de contrôle combinée à une méthode de quantification pour calculer les stratégies optimales. Plusieurs tests de calcul sont effectués sur des données simulées pour illustrer l'efficacité de la stratégie optimale calculée. En particulier, nous avons simulé un carnet d'ordres avec des intensités constantes/ symétriques/ asymétriques/ dépendantes de l'état, et nous avons comparé la stratégie optimale calculée avec des stratégies naïves.

Cet article traite d'un sujet fondamental qui a rarement été abordé ces dernières années, celui de l'impact du marché sur le marché des options. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de métaordres - de gros ordres qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés au marché sur l'un des principaux marchés asiatiques. Conformément à nos travaux précédents sur le marché des actions [Said et al., 2018], nous proposons une approche algorithmique pour identifier les métaordres, en fonction de certains paramètres de volatilité implicite, la volatilité à terme à l'argent et le skew à terme à l'argent. Dans les deux cas, nous obtenons des résultats similaires à ceux du marché des actions, désormais bien compris : La loi de la racine carrée, la condition du prix équitable et la dynamique de l'impact du marché.

Cette thèse, comporte deux parties distinctes.Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1.p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor).Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail.

Cet article est consacré au sujet important mais peu exploré de l'impact des ordres à cours limité sur le marché. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de méta-ordres - des ordres de grande taille qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés sur le marché. Nous abordons d'abord le cas des ordres limites agressifs et ensuite, celui des ordres limites passifs. Dans les deux cas, nous fournissons des preuves empiriques d'un comportement de loi de puissance pour l'impact temporaire sur le marché. La relaxation du prix après la fin du méta-ordre est également étudiée, et on montre que l'impact à long terme se stabilise à un niveau d'environ deux tiers de l'impact maximal. Enfin, une condition de tarification équitable pendant le cycle de vie des métaordres est validée empiriquement.

Les processus de Hawkes à haute dimension avec des noyaux exponentiels sont utilisés pour décrire les carnets d'ordres limités dans les marchés financiers dirigés par les ordres. Les dépendances entre les ordres de différents types sont soigneusement étudiées et modélisées, sur la base d'une analyse empirique approfondie. L'observation d'effets d'inhibition est particulièrement intéressante, et nous conduit à l'utilisation de processus de Hawkes non linéaires. Une attention particulière est consacrée au problème de la calibration, afin de tenir compte de la haute dimensionnalité du problème et des très mauvaises propriétés de convexité de l'EMT. Nos analyses montrent un bon accord entre les propriétés statistiques des données du carnet de commandes et celles du modèle.

Cette thèse vise à analyser le risque systémique sur les marchés futures de matières premières. En effet, plusieurs travaux de recherche mettent en évidence l'importance de ces futures dans la détermination du prix physique des matières premières. Leur incorporation dans la finance traditionnelle en tant qu'actif diversifiant a entraîné une évolution de leurs prix similaire à celles de différents actifs financiers depuis environ 2004. La question ayant motivé cette thèse a donc été de quantifier ce risque systémique (puisqu'affectant les matières premières, directement impliquées dans l'économie réelle), d'en voir précisément les moyens de transmission (quels marchés affectent quels autres marchés) et enfin de permettre d'en évaluer les conséquences, par exemple à partir de scénarii (stress tests). Elle permet donc de développer des outils de surveillance des marchés et pourrait donc contribuer à la régulation de ces marchés.

Cette thèse est constituée de deux parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, nous étudions des problèmes de couverture et de valorisation d’options liés à une mesure de risque. Notre approche principale est l’utilisation d’une fonction de risque asymétrique et d’un cadre asymptotique dans lequel nous obtenons des solutions optimales à travers des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation et la couverture des options européennes. Nous considérons le problème de l’optimisation du risque résiduel généré par une couverture à temps discret en présence d’un critère asymétrique de risque. Au lieu d'analyser le comportement asymptotique de la solution du problème discret associé, nous avons étudié la mesure asymétrique du risque résiduel intégré dans un cadre Markovian. Dans ce contexte, nous montrons l’existence de cette mesure de risque asymptotique. Ainsi, nous décrivons une stratégie de couverture asymptotiquement optimale via la solution d’une EDP totalement non-linéaire.Le deuxième chapitre est une application de cette méthode de couverture au problème de valorisation de la production d’une centrale. Puisque la centrale génère de coûts de maintenance qu’elle soit allumée ou non, nous nous sommes intéressés à la réduction du risque associé aux revenus incertains de cette centrale en se couvrant avec des contrats à terme. Nous avons étudié l’impact d’un coût de maintenance dépendant du prix d’électricité dans la stratégie couverture.Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons plusieurs problèmes de contrôle liés à l'économie et la finance.Le troisième chapitre est dédié à l’étude d’une classe de problème du type McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV polynomiale conditionnelle. Nous réduisons cette classe polynomiale par plongement de Markov à des problèmes de contrôle en dimension finie.Nous comparons trois techniques probabilistes différentes pour la résolution numérique du problème réduit: la quantification, la régression par randomisation du contrôle et la régression différée. Nous fournissons de nombreux exemples numériques, comme par exemple, la sélection de portefeuille avec incertitude sur une tendance du sous-jacent.Dans le quatrième chapitre, nous résolvons des équations de programmation dynamique associées à des valorisations financières sur le marché de l’énergie. Nous considérons qu’un modèle calibré pour les sous-jacents n’est pas disponible et qu’un petit échantillon obtenu des données historiques est accessible.En plus, dans ce contexte, nous supposons que les contrats à terme sont souvent gouvernés par des facteurs cachés modélisés par des processus de Markov. Nous proposons une méthode nonintrusive pour résoudre ces équations à travers les techniques de régression empirique en utilisant seulement l’historique du log du prix des contrats à terme observables.

Nous entamons ce rapport de thèse par l’évaluation de l’espérance espérée qui représente une des composantes majeures des ajustements XVA. Sous l’hypothèse d’indépendance entre l’exposition et les coûts de financement et de crédit, nous dérivons dans le chapitre 3 une représentation nouvelle de l’exposition espérée comme la solution d’une équation différentielle ordinaire par rapport au temps d’observation du défaut. Nous nous basons, pour le cas unidimensionnel, sur des arguments similaires à ceux de la volatilité locale de Dupire. Et pour le cas multidimensionnel, nous nous référons à la formule de la Co-aire. Cette représentation permet d’expliciter l’impact de la volatilité sur l’exposition espérée : Cette valeur temps fait intervenir la volatilité des sous-jacents ainsi que la sensibilité au premier ordre du prix, évalués sur un ensemble fini de points. Malgré des limitations numériques, cette méthode est une approche précise et rapide pour la valorisation de la XVA unitaire en dimension 1 et 2.Les chapitres suivants sont dédiés aux aspects du risque de corrélations entre les enveloppes d’expositions et les coûts XVA. Nous présentons une modélisation du risque général de corrélation à travers une diffusion stochastique multivariée, comprenant à la fois les sous-jacents des dérivés et les intensités de défaut. Dans ce cadre, nous exposons une nouvelle approche de valorisation par développements asymptotiques, telle que le prix d’un ajustement XVA correspond au prix de l’ajustement à corrélation nulle, auquel s’ajoute une somme explicite de termes correctifs. Le chapitre 4 est consacré à la dérivation technique et à l’étude de l’erreur numérique dans le cadre de la valorisation de dérivés contingents au défaut. La qualité des approximations numériques dépend uniquement de la régularité du processus de diffusion de l’intensité de crédit, et elle est indépendante de la régularité de la fonction payoff. Les formules de valorisation pour CVA et FVA sont présentées dans le chapitre 5. Une généralisation des développements asymptotiques pour le cadre bilatéral de défaut est adressée dans le chapitre 6.Nous terminons ce mémoire en abordant un cas du risque spécifique de corrélation lié aux contrats de migration de rating. Au-delà des formules de valorisation, notre contribution consiste à présenter une approche robuste pour la construction et la calibration d’un modèle de transition de ratings consistant avec les probabilités de défaut implicites de marché.

Cette thèse est composée de quatre chapitres.Le premier chapitre est une description préliminaire de la base de données Factset Ownership. Nous en donnons une description statistique et exposons quelques faits stylisés caractérisant notamment la structure du portefeuille des institutions financières et fonds d'investissement, ainsi que la capitalisation boursière des entreprises y étant recensées.Le second chapitre propose une méthode d'évaluation statistique de la similarité entre des paires de portefeuilles d'institutions financières. Une paire statistiquement significative donnant lieu à la création d'un lien de similarité entre ces deux entités, nous sommes en mesure de projeter un réseau à l'origine bi-partite (entre institutions financières et entreprises) en un réseau mono-partite (entre institutions uniquement) afin d'en étudier l'évolution de sa structure au cours du temps. En effet, d'un point de vue économique, il est suspecté que les motifs d'investissements similaires constituent un facteur de risque important de contagion financière pouvant être à l'origine de banqueroutes aux conséquences systémiques significatives.Le troisième chapitre s'intéresse aux comportements collectifs des gestionnaires de fonds d'investissement et, en particulier, à la manière dont la structure du portefeuille de ces fonds prend en compte, en moyenne, de façon optimale les frais de transaction en présence de faibles contraintes d'investissements. Ce phénomène où, dans de nombreuses situations, la médiane ou la moyenne des estimations d'un groupe de personnes est étonnamment proche de la valeur réelle, est connu sous le nom de sagesse de la foule.Le quatrième chapitre est consacré à l'étude simultanée de données de marché. Nous utilisons plus de 6.7 milliards de trades de la base de données Thomson-Reuters Tick History, et de données de portefeuille de la base FactSet Ownership. Nous étudions la dynamique tick-à-tick du carnet d'ordres ainsi que l'action aggrégée, c'est-à-dire sur une échelle de temps bien plus grande, des fonds d'investissement. Nous montrons notamment que la mémoire longue du signe des ordres au marché est bien plus courte en présence de l'action, absolue ou directionnelle, des fonds d'investissement. Réciproquement nous expliquons dans quelle mesure une action caractérisée par une mémoire faible est sujette à du trading directionnel provenant de l'action des fonds d'investissement.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d'un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d'options Européennes vanilles observés sur le marché. Ce problème se traduit par l'étude d'une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence dans le coefficient de diffusion d'une espérance conditionnelle du facteur de volatilité stochastique par rapport à la solution de l'EDS. Nous obtenons l'existence du processus dans le cas particulier où le facteur de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d'états. Nous obtenons de plus la convergence faible à l'ordre 1 de la discrétisation en temps de l'EDS non linéaire au sens de McKean pour des facteurs de volatilité stochastique généraux. Dans l'industrie, la calibration est effectuée efficacement à l'aide d'une régularisation de l'espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère dans [JGPHL]. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l'algorithme proposé par [JGPHL]. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l'application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l'aide d'EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l'option en cas de défaut est petite. Enfin, nous montrons que le calcul des solutions de ces EDSR standards peut être amélioré à l'aide de la méthode de Monte-Carlo multiniveaux introduite par Giles dans [G].

L'objectif de cet article est de comparer la performance d'un portefeuille théoriquement optimal à celle d'une stratégie basée sur la moyenne mobile en présence d'une mauvaise spécification des paramètres. Le cadre que nous considérons est celui d'un modèle stochastique de prix des actifs où la tendance suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck non observable. Pour les deux stratégies, nous fournissons l'espérance asymptotique du rendement logarithmique en fonction des paramètres du modèle. Ensuite, des exemples numériques sont donnés, montrant qu'une stratégie d'investissement utilisant une règle de croisement des moyennes mobiles est plus robuste que la stratégie optimale en cas de mauvaise spécification des paramètres.

Cette thèse aborde différents aspects de la modélisation de la microstructure du marché et des problèmes de Market Making, avec un accent particulier du point de vue du praticien. Le carnet d’ordres, au cœur du marché financier, est un système de files d’attente complexe à haute dimension. Nous souhaitons améliorer la connaissance du LOB pour la communauté de la recherche, proposer de nouvelles idées de modélisation et développer des applications pour les Market Makers. Nous remercions en particuler l’équipe Automated Market Making d’avoir fourni la base de données haute-fréquence de très bonne qualité et une grille de calculs puissante, sans laquelle ces recherches n’auraient pas été possible. Le Chapitre 1 présente la motivation de cette recherche et reprend les principaux résultats des différents travaux. Le Chapitre 2 se concentre entièrement sur le LOB et vise à proposer un nouveau modèle qui reproduit mieux certains faits stylisés. A travers cette recherche, non seulement nous confirmons l’influence des flux d’ordres historiques sur l’arrivée de nouveaux, mais un nouveau modèle est également fourni qui réplique beaucoup mieux la dynamique du LOB, notamment la volatilité réalisée en haute et basse fréquence. Dans le Chapitre 3, l’objectif est d’étudier les stratégies de Market Making dans un contexte plus réaliste. Cette recherche contribueà deux aspects : d’une part le nouveau modèle proposé est plus réaliste mais reste simple à appliquer pour la conception de stratégies, d’autre part la stratégie pratique de Market Making est beaucoup améliorée par rapport à une stratégie naive et est prometteuse pour l’application pratique. La prédiction à haute fréquence avec la méthode d’apprentissage profond est étudiée dans le Chapitre 4. De nombreux résultats de la prédiction en 1- étape et en plusieurs étapes ont retrouvé la non-linéarité, stationarité et universalité de la relation entre les indicateurs microstructure et le changement du prix, ainsi que la limitation de cette approche en pratique.

Cet article étudie la question du filtrage et de la maximisation de la richesse terminale à partir de l'utilité espérée dans un modèle de volatilité stochastique à information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est celle générée par les prix des actifs, et les processus inobservables seront modélisés par une équation différentielle stochastique. En utilisant les techniques de changement de mesure, le contexte d'observation partielle peut être transformé en un contexte d'information complète tel que les coefficients ne dépendent que de l'histoire passée des prix observés (processus de filtrage). En adaptant le filtrage stochastique non linéaire, nous montrons que sous certaines hypothèses sur les coefficients du modèle, l'estimation des filtres dépend de modèles a priori pour la tendance et la volatilité stochastique. De plus, ces filtres satisfont une équation différentielle partielle stochastique appelée "équations de Kushner-Stratonovich". En utilisant l'approche de la dualité martingale dans ce modèle incomplet partiellement observé, nous pouvons caractériser la fonction de valeur et le portefeuille optimal. Le résultat principal ici est que la fonction de valeur duale associée à l'approche martingale peut être exprimée, via l'approche de programmation dynamique, en termes de solution d'une équation différentielle partielle semi-linéaire qui dépend également de l'estimation des filtres et de la volatilité. Nous illustrons nos résultats avec quelques exemples de modèles de volatilité stochastique populaires dans la littérature financière.

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Nous examinons d'abord les preuves empiriques que les prix des actifs ont connu des épisodes de grandes fluctuations et ont été inefficaces depuis au moins 200 ans. Nous passons brièvement en revue les résultats théoriques récents ainsi que les fondements neurologiques du suivi des tendances et soutenons enfin que ces propriétés des prix des actifs peuvent être attribuées à deux mécanismes fondamentaux qui n'ont pas changé depuis plusieurs siècles : une préférence innée pour le suivi des tendances et la tendance collective à exploiter autant que possible les arbitrages de prix détectables, ce qui entraîne des boucles de rétroaction déstabilisantes.

La question abordée dans cet article est la performance de la stratégie optimale, et l'impact de l'information partielle. Le cadre que nous considérons est celui d'un modèle stochastique de prix d'actifs où la tendance suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck inobservable. Nous nous concentrons sur la stratégie optimale avec une fonction d'utilité logarithmique sous information complète ou partielle. Dans les deux cas, nous fournissons l'espérance et la variance asymptotiques du rendement logarithmique en fonction du rapport signal/bruit et de la vitesse de réversion moyenne de la tendance. Enfin, nous comparons les ratios de Sharpe asymptotiques de ces stratégies afin de quantifier la perte de performance due à l'information partielle.

La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme.

Nous étudions l'influence de la prise en compte des coûts de liquidité et de l'impact du marché lors de la couverture d'une créance contingente. Dans le cadre du temps continu et sous l'hypothèse d'une réplication parfaite, nous dérivons une équation aux dérivées partielles de prix entièrement non-linéaire, et caractérisons sa nature parabolique en fonction de la valeur d'un paramètre numérique interprété comme un coefficient de relaxation pour l'impact du marché. Nous étudions également le cas des modèles de volatilité stochastique avec des stratégies pseudo-optimales.

Cet article est consacré au sujet important mais peu exploré de l'impact des ordres à cours limité sur le marché. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de méta-ordres - des ordres de grande taille qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés sur le marché. Nous abordons d'abord le cas des ordres limites agressifs et ensuite, celui des ordres limites passifs. Dans les deux cas, nous fournissons des preuves empiriques d'un comportement de loi de puissance pour l'impact temporaire sur le marché. La relaxation du prix après la fin du méta-ordre est également étudiée, et on montre que l'impact à long terme se stabilise à un niveau d'environ deux tiers de l'impact maximal. Enfin, une condition de tarification équitable pendant le cycle de vie des métaordres est validée empiriquement.

Cet article est consacré au sujet important mais peu exploré de l'impact des ordres à cours limité sur le marché. Notre analyse s'appuie sur une base de données propriétaire de méta-ordres - des ordres de grande taille qui sont divisés en plus petits morceaux avant d'être envoyés sur le marché. Nous abordons d'abord le cas des ordres limites agressifs et ensuite, celui des ordres limites passifs. Dans les deux cas, nous fournissons des preuves empiriques d'un comportement de loi de puissance pour l'impact temporaire sur le marché. La relaxation du prix après la fin du méta-ordre est également étudiée, et on montre que l'impact à long terme se stabilise à un niveau d'environ deux tiers de l'impact maximal. Enfin, une condition de tarification équitable pendant le cycle de vie des métaordres est validée empiriquement.

L'ajustement cohérent des surfaces d'options vanille est une question importante dans la modélisation des produits dérivés. Dans cet article, nous considérons trois modèles différents : volatilité locale et stochastique, corrélation locale, volatilité locale hybride avec taux stochastiques, et nous abordons leur calibration exacte et non paramétrique. Ce processus de calibration nécessite la résolution d'une équation intégro-différentielle partielle non linéaire. Un algorithme implicite modifié à direction alternée est utilisé, et son analyse théorique et numérique est effectuée.

La qualité de divers modèles de carnet de commandes basés sur des processus de Hawkes est évaluée à l'aide de certains critères objectifs. Nous commençons par une analyse empirique précise des dépendances entre les arrivées de commandes de différents types, puis nous introduisons des modèles construits à partir de processus de Hawkes multivariés, éventuellement non linéaires, avec des noyaux exponentiels multiples. Les modèles sont évalués sur la base de la distribution des temps de récurrence avant et du tracé de la signature. Cette approche nous permet de distinguer les différents modèles basés sur des processus de Hawkes et de fournir une interprétation financière des modèles les plus performants en termes de comportement à diverses échelles de temps et de présence d'effets d'inhibition et d'excitation.

L’objectif principal de cette thèse est d’apporter de nouveaux résultats théoriques concernant la performance d’investissements basés sur des modèles stochastiques. Pour ce faire, nous considérons la stratégie optimale d’investissement dans le cadre d’un modèle d’actif risqué à volatilité constante et dont la tendance est un processus caché d’Ornstein Uhlenbeck. Dans le premier chapitre,nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la faisabilité de la calibration de la tendance. Nous répondons à cette question avec des résultats analytiques et des simulations numériques. Nous clôturons ce chapitre en quantifiant également l’impact d’une erreur de calibration sur l’estimation de la tendance et nous exploitons les résultats pour détecter son signe. Dans le troisième chapitre, nous supposons que l’agent est capable de bien calibrer la tendance et nous étudions l’impact qu’a la non-observabilité de la tendance sur la performance de la stratégie optimale. Pour cela, nous considérons le cas d’une utilité logarithmique et d’une tendance observée ou non. Dans chacun des deux cas, nous explicitons la limite asymptotique de l’espérance et la variance du rendement logarithmique en fonction du ratio signal-sur-bruit et de la vitesse de retour à la moyenne de la tendance. Nous concluons cette étude en montrant que le ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec observations partielles ne peut dépasser 2/(3^1.5)∗100% du ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec informations complètes. Le quatrième chapitre étudie la robustesse de la stratégie optimale avec une erreur de calibration et compare sa performance à une stratégie d’analyse technique. Pour y parvenir, nous caractérisons, de façon analytique,l’espérance asymptotique du rendement logarithmique de chacune de ces deux stratégies. Nous montrons, grâce à nos résultats théoriques et à des simulations numériques, qu’une stratégie d’analyse technique est plus robuste que la stratégie optimale mal calibrée.

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La question qui nous intéresse dans cet article est l'estimation de la tendance d'un actif financier, et l'impact de sa mauvaise spécification sur les stratégies d'investissement. Le cadre que nous considérons est celui d'un modèle stochastique de prix d'actifs où la tendance suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck inobservable. Motivés par l'utilisation du filtrage de Kalman comme outil de prévision, nous abordons le problème de l'estimation des paramètres, et mesurons l'effet d'une mauvaise spécification des paramètres. Des exemples numériques illustrent la difficulté de la prévision des tendances dans les séries chronologiques financières.

Cette thèse, comporte deux parties distinctes.Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1.p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor).Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail.

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Les processus de Hawkes fournissent un cadre naturel pour la modélisation des dépendances entre les intensités des processus ponctuels. Dans le contexte des marchés financiers dirigés par les ordres, la pertinence de telles dépendances a été amplement démontrée d'un point de vue empirique et théorique. Dans ce travail, nous nous basons sur des études empiriques et numériques antérieures et introduisons un modèle mathématique de carnets d'ordres limites basé sur des processus de Hawkes avec des noyaux exponentiels. Après avoir prouvé un résultat général de stationnarité, nous nous concentrons sur le comportement à long terme du carnet d'ordres limite et la dynamique correspondante du prix convenablement rééchelonné. Une formule pour la volatilité asymptotique (dans le temps) de la dynamique des prix induite par celle du carnet d'ordres est obtenue, impliquant la moyenne des fonctions des différents événements du carnet d'ordres sous la distribution stationnaire.

En utilisant des données haute-fréquence inédites, cette thèse étudie trois types de regroupements (“clusters”) présents dans le marché des changes: la concentration d'ordres sur certains prix, la concentration des transactions dans le temps et l'existence de groupes d'investisseurs prenant les mêmes décisions. Nous commençons par étudier les propriétés statistiques du carnet d'ordres EBS pour les paires de devises EUR/USD et USD/JPY et l'impact d'une réduction de la taille du tick sur sa dynamique. Une grande part des ordres limites est encore placée sur les anciens prix autorisés, entraînant l'apparition de prix-barrières, où figurent les meilleures limites la plupart du temps. Cet effet de congestion se retrouve dans la forme moyenne du carnet où des pics sont présents aux distances entières. Nous montrons que cette concentration des prix est causée par les traders manuels qui se refusent d’utiliser la nouvelle résolution de prix. Les traders automatiques prennent facilement la priorité, en postant des ordres limites un tick devant les pics de volume.Nous soulevons ensuite la question de l'aptitude des processus de Hawkes à rendre compte de la dynamique du marché. Nous analysons la précision de tels processus à mesure que l'intervalle de calibration est augmenté. Différent noyaux construits à partir de sommes d'exponentielles sont systématiquement comparés. Le marché FX qui ne ferme jamais est particulièrement adapté pour notre but, car il permet d’éviter les complications dues à la fermeture nocturne des marchés actions. Nous trouvons que la modélisation est valide selon les trois tests statistiques, si un noyau à deux exponentielles est utilisé pour fitter une heure, et deux ou trois pour une journée complète. Sur de plus longues périodes la modélisation est systématiquement rejetée par les tests à cause de la non-stationnarité du processus endogène. Les échelles de temps d'auto-excitation estimées sont relativement courtes et le facteur d'endogénéité est élevé mais sous-critique autour de 0.8. La majorité des modèles à agents suppose implicitement que les agents interagissent à travers du prix des actifs et des volumes échangés. Certains utilisent explicitement un réseau d'interaction entre traders, sur lequel des rumeurs se propagent, d'autres, un réseau qui représente des groupes prenant des décisions communes. Contrairement à d'autres types de données, de tels réseaux, s'ils existent, sont nécessairement implicites, ce qui rend leur détection compliquée. Nous étudions les transactions des clients de deux fournisseur de liquidités sur plusieurs années. En supposant que les liens entre agents sont déterminés par la synchronisation de leur activité ou inactivité, nous montrons que des réseaux d'interactions existent. De plus, nous trouvons que l'activité de certains agents entraîne systématiquement l’activité d'autres agents, définissant ainsi des relations de type “lead-lag” entre les agents. Cela implique que le flux des clients est prévisible, ce que nous vérifions à l'aide d'une méthode sophistiquée d'apprentissage statistique.

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Dans cet article, nous établissons un modèle de tenue de marché pour les options dont le sous-jacent est parfaitement liquide. Dans notre cadre de modélisation, le prix de l'action suit un modèle de volatilité stochastique générique sous la mesure de probabilité P du monde réel. Les participants au marché évaluent les options sur cette action sous une mesure d'évaluation neutre au risque Q, et ils peuvent mal spécifier les paramètres contrôlant la dynamique du processus de volatilité. Nous considérons qu'il y a un agent qui est prêt à faire des marchés dans une option sur l'action dans le but de maximiser son utilité attendue de la richesse terminale à l'échéance de cette option. Puisque l'impact du marché est une caractéristique importante à l'échelle de temps microscopique et doit être pris en compte dans le trading à haute fréquence, nous étudions les différentes formes de cette fonction argumentées dans la littérature récente. Grâce à l'utilisation du contrôle stochastique optimal, nous fournissons des expressions exactes des cotations optimales de l'offre et de la demande de la stratégie de tenue de marché dans le cas où l'agent est neutre vis-à-vis du risque. Ensuite, nous supposons que l'agent est averse au risque et qu'il souhaite réduire la variance de la richesse finale. En outre, cet agent essaie de ne pas accumuler un stock important afin de ne pas avoir une exposition significative au risque de marché. Dans ce but, nous perturbons la fonction d'utilité par une pénalité sur la variance de la richesse nale et aussi sur l'inventaire accumulé. En utilisant la perturbation singulière par rapport au paramètre de pénalité, nous fournissons des approximations analytiques des cotations optimales de l'offre et de la demande. Afin de confirmer nos résultats théoriques, nous effectuons des simulations de Monte Carlo de la stratégie optimale de tenue de marché dans le cas où le processus de prix des actions suit un modèle de Heston. Nous montrons que la stratégie optimale est plus avantageuse qu'une stratégie à intelligence zéro. En outre, nous mettons en évidence les effets d'une mauvaise spécification des paramètres sur la performance de la stratégie.

Document rendu obsolète par la mise en ligne de la dernière version de "Long time behaviour of a Hawkes process-based limit order book.

Les processus de Hawkes fournissent un cadre naturel pour modéliser les dépendances entre les intensités des processus ponctuels. Dans le contexte des marchés financiers dirigés par les ordres, la pertinence de telles dépendances a été amplement démontrée d'un point de vue empirique et théorique. Dans ce travail, nous nous basons sur des études empiriques et numériques antérieures et introduisons un modèle mathématique de carnets d'ordres limites basé sur des processus de Hawkes avec des noyaux exponentiels. Après avoir prouvé un résultat général de stationnarité, nous nous concentrons sur le comportement à long terme du carnet d'ordres limite et la dynamique correspondante du prix convenablement rééchelonné. Une formule pour la volatilité asymptotique (dans le temps) de la dynamique du prix induite par celle du carnet d'ordres est obtenue, impliquant la moyenne des fonctions des différents événements du carnet d'ordres sous la distribution stationnaire.

Cette thèse explore théoriquement et empiriquement les implications de la dynamique jointe action/option sur divers problématiques liées au trading d’options. Dans un premier temps, nous commençons par l’étude de la dynamique jointe entre une option sur un stock et une option sur l’indice de marché. Le modèle CAPM fournit un cadre mathématique adéquat pour cette étude car il permet de modéliser la dynamique jointe d’un stock et son indice de marché. En passant aux prix d’options, nous montrons que le beta et la volatilité idiosyncratique, paramètres du modèle, permettent de caractériser la relation entre les surfaces de volatilité implicite du stock et de l’indice. Nous nous penchons alors sur l’estimation du paramètre beta sous la probabilité risque-neutre en utilisant les prix d’options. Cette mesure, appelée beta implicite, représente l’information contenue dans les prix d’options sur la réalisation du paramètre beta dans le futur.Pour cette raison, nous essayons de voir, si le beta implicite a un pouvoir prédictif du beta futur.En menant une étude empirique, nous concluons que le beta implicite n’améliore pas la capacité de prédiction en comparaison avec le beta historique qui est calculé à travers la régression linéaire des rendements du stock sur ceux de l’indice. Mieux encore, nous remarquons que l’oscillation du beta implicite autour du beta futur peut entraîner des opportunités d’arbitrage, et nous proposons une stratégie d’arbitrage qui permet de monétiser cet écart. D’un autre côté, nous montrons que l’estimateur du beta implicite pourrait être utilisé pour la couverture d’options sur le stock en utilisant des instruments sur l’indice, cette couverture concerne notamment le risque de volatilité et aussi le risque de delta. Dans la deuxième partie de notre travail, nous nous intéressons au problème de market making sur options. Dans cette étude, nous supposons que le modèle de dynamique du sous-jacent sous la probabilité risque-neutre pourrait être mal spécifié ce qui traduit un décalage entre la distribution implicite du sous-jacent et sa distribution historique.Dans un premier temps, nous considérons le cas d’un market maker risque neutre qui vise à maximiser l’espérance de sa richesse future. A travers l’utilisation d’une approche de contrôle optimal stochastique, nous déterminons les prix optimaux d’achat et de vente sur l’option et nous interprétons l’effet de présence d’inefficience de prix sur la stratégie optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons que le market maker est averse au risque et essaie donc de réduire l’incertitude liée à son inventaire. En résolvant un problème d’optimisation basé sur un critère moyenne-variance, nous obtenons des approximations analytiques des prix optimaux d’achat et de vente. Nous montrons aussi les effets de l’inventaire et de l’inefficience du prix sur la stratégie optimale. Nous nous intéressons par la suite au market making d’options dans une dimension plus élevée. Ainsi, en suivant le même raisonnement, nous présentons un cadre pour le market making de deux options ayant des sous-jacents différents avec comme contrainte la réduction de variance liée au risque d’inventaire détenu par le market-maker. Nous déterminons dans ce cas la stratégie optimale et nous appuyons les résultats théoriques par des simulations numériques.Dans la dernière partie de notre travail, nous étudions la dynamique jointe entre la volatilité implicite à la monnaie et le sous jacent, et nous essayons d’établir le lien entre cette dynamique jointe et le skew implicite. Nous nous intéressons à un indicateur appelé "Skew Stickiness Ratio"qui a été introduit dans la littérature récente. Cet indicateur mesure la sensibilité de la volatilité implicite à la monnaie face aux mouvements du sous-jacent. Nous proposons une méthode qui permet d’estimer la valeur de cet indicateur sous la probabilité risque-neutre sans avoir besoin d’admettre des hypothèses sur la dynamique du sous-jacent. [.].

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Cet ouvrage présente les travaux et les résultats de recherche de physiciens, d'économistes, de mathématiciens, de statisticiens et d'ingénieurs financiers qui ont entrepris la modélisation de la dynamique des marchés à partir de données et d'autres études empiriques dans le domaine de l'éconophysique. Au cours des dernières décennies, le paysage des marchés financiers a changé de manière spectaculaire avec la déréglementation des marchés et la complexité croissante des produits. L'augmentation constante de la vitesse et la diminution des coûts de la puissance de calcul et des réseaux ont conduit à l'émergence d'énormes bases de données. La disponibilité de ces données devrait permettre le développement de modèles mieux fondés empiriquement, et les éconophysiciens ont donc préconisé de s'appuyer principalement sur les observations empiriques pour construire des modèles et les valider. Les récentes turbulences sur les marchés financiers et le krach de 2008 semblent offrir une forte justification pour de nouveaux modèles et de nouvelles approches. La communauté éconophysique a donc un rôle important à jouer dans la modélisation des marchés. Les actes de la conférence Econophys-Kolkata VIII sont consacrés à la présentation de nombreux efforts de modélisation de ce type et traitent des développements récents. Un certain nombre d'éminents chercheurs du monde entier font état de leurs travaux récents, commentent les dernières questions et passent en revue la littérature contemporaine.

Bien qu'il soit largement admis que le marché boursier est efficient, certaines études empiriques ont déjà tenté d'aborder la question de la prévision des rendements boursiers. Pour autant que l'on sache, il est difficile de trouver un article portant non seulement sur les statistiques de prévision mais aussi sur la rentabilité de la prévision. Cet article vise à fournir une preuve empirique de l'inefficacité du marché et à présenter quelques stratégies simples et réalistes basées sur la prévision des rendements boursiers. Afin de réaliser cette étude, certains algorithmes linéaires et non linéaires sont utilisés pour prouver la prévisibilité des rendements. De nombreuses méthodes de régularisation sont introduites pour améliorer le modèle de régression linéaire. En particulier, la méthode RIDGE est utilisée pour résoudre le problème de colinéarité et la méthode LASSO est utilisée pour effectuer la sélection des variables. Les différents résultats obtenus montrent que le marché boursier est inefficient et que des stratégies rentables peuvent être calculées à partir de la prévision des rendements. Les tests empiriques montrent également que les méthodes de prévision simples sont presque aussi performantes que les méthodes plus complexes.

Le but de cette thèse est de répondre au vrai besoin de prédire les fluctuations futures des prix d'actions. En effet, l'aléatoire régissant ces fluctuations constitue pour des acteurs de la finance, tels que les Market Maker, une des plus grandes sources de risque. Tout au long de cette étude, nous mettons en évidence la possibilité de réduire l'incertitude sur les prix futurs par l'usage des modèles mathématiques appropriés. Cette étude est rendue possible grâce à une grande base de données financières et une puissante grille de calcul mises à notre disposition par l'équipe Automatic Market Making de BNP Paribas. Dans ce document, nous présentons uniquement les résultats de la recherche concernant le trading haute fréquence. Les résultats concernant la partie basse fréquence présentent un intérêt scientifique moindre pour le monde académique et rentrent par ailleurs dans le cadre des résultats confidentiels. Ces résultats seront donc volontairement omis.Dans le premier chapitre, nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le chapitre 2, nous nous intéressons à l'apport de la supériorité technologique en trading haute fréquence. Dans ce but, nous simulons un trader ultra rapide, omniscient, et agressif, puis nous calculons son gain total sur 3 ans. Les gains obtenus sont très modestes et reflètent l'apport limité de la technologie en trading haute fréquence. Ce résultat souligne l'intérêt primordial de la recherche et de la modélisation dans ce domaine.Dans le chapitre 3, nous étudions la prédictibilité des prix à partir des indicateurs de carnet d'ordre. Nous présentons, à l'aide des espérances conditionnelles, des preuves empiriques de dépendances statistiques entre les prix et les différents indicateurs. L'importance de ces dépendances résulte de la simplicité de la méthode, éliminant tout risque de surapprentissage des données. Nous nous intéressons, ensuite, à la combinaison des différents indicateurs par une régression linéaire et nous analysons les différents problèmes numériques et statistiques liés à cette méthode. Enfin, nous concluons que les prix sont prédictibles pour un horizon de quelques minutes et nous mettons en question l'hypothèse de l'efficience du marché.Dans le chapitre 4, nous nous intéressons au mécanisme de formation du prix à partir des arrivés des évènements dans le carnet d'ordre. Nous classifions les ordres en douze types dont nous analysons les propriétés statistiques. Nous étudions par la suite les dépendances entre ces différents types d'ordres et nous proposons un modèle de carnet d'ordre en ligne avec les observations empiriques. Enfin, nous utilisons ce modèle pour prédire les prix et nous appuyons l'hypothèse de la non-efficience des marchés, suggérée au chapitre 3.

Nous étudions le problème de filtrage et le problème de maximisation de l'utilité espérée de la richesse terminale dans un contexte d'information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est le vecteur des prix des actions. Les processus de taux de rendement moyen ne sont pas directement observés et sont supposés être pilotés par un processus $\mu_{t}$ modélisé par une équation différentielle stochastique. Le résultat principal de cet article est de montrer sous quelles hypothèses sur les coefficients du modèle, nous pouvons estimer le prix de marché non observé des risques. En utilisant l'approche de l'innovation, nous montrons que sous des conditions globalement Lipschitz sur les coefficients de $\mu_{t}$, l'estimation des filtres des risques satisfait une équation de Kushner-Stratonovich à valeur de mesure. D'autre part, en utilisant l'approche de la densité par chemin, nous montrons que sous une hypothèse non dégénérée et certaines hypothèses de régularité sur les coefficients de $\mu_{t}$, la densité de la distribution conditionnelle de $\mu_{t}$ étant donné les données d'observation, peut être exprimée en termes de solution à une équation différentielle partielle linéaire parabolique paramétrée par le chemin d'observation. De plus, nous pouvons obtenir des formules explicites pour la richesse optimale, le portefeuille optimal et la fonction de valeur pour les cas de fonction d'utilité logarithmique et de puissance.

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Dans cet article, nous établissons un modèle de tenue de marché pour les options dont le sous-jacent est parfaitement liquide. Dans notre cadre de modélisation, le prix de l'action suit un modèle de volatilité stochastique générique sous la mesure de probabilité P du monde réel. Les participants au marché évaluent les options sur cette action sous une mesure d'évaluation neutre au risque Q, et ils peuvent mal spécifier les paramètres contrôlant la dynamique du processus de volatilité. Nous considérons qu'il y a un agent qui est prêt à faire des marchés dans une option sur l'action dans le but de maximiser son utilité attendue de la richesse terminale à l'échéance de cette option. Puisque l'impact du marché est une caractéristique importante à l'échelle de temps microscopique et doit être pris en compte dans le trading à haute fréquence, nous étudions les différentes formes de cette fonction argumentées dans la littérature récente. Grâce à l'utilisation du contrôle stochastique optimal, nous fournissons des expressions exactes des cotations optimales de l'offre et de la demande de la stratégie de tenue de marché dans le cas où l'agent est neutre vis-à-vis du risque. Ensuite, nous supposons que l'agent est averse au risque et qu'il souhaite réduire la variance de la richesse finale. En outre, cet agent essaie de ne pas accumuler un stock important afin de ne pas avoir une exposition significative au risque de marché. Dans ce but, nous perturbons la fonction d'utilité par une pénalité sur la variance de la richesse nale et aussi sur l'inventaire accumulé. En utilisant la perturbation singulière par rapport au paramètre de pénalité, nous fournissons des approximations analytiques des cotations optimales de l'offre et de la demande. Afin de confirmer nos résultats théoriques, nous effectuons des simulations de Monte Carlo de la stratégie optimale de tenue de marché dans le cas où le processus de prix des actions suit un modèle de Heston. Nous montrons que la stratégie optimale est plus avantageuse qu'une stratégie à intelligence zéro. En outre, nous mettons en évidence les effets d'une mauvaise spécification des paramètres sur la performance de la stratégie.

Nous présentons dans notre travail un modèle d'évaluation des actifs financiers en temps continu où les volatilités de l'indice boursier et de l'action sont toutes deux stochastiques. En utilisant une technique de perturbation singulière, nous fournissons des approximations pour les prix des options européennes sur l'action et l'indice. Ces approximations sont des fonctions des paramètres du modèle. Nous montrons ensuite que les estimateurs existants du paramètre beta, proposés dans la littérature récente, sont biaisés dans notre contexte car ils sont tous basés sur l'hypothèse que la volatilité idiosyncratique de l'action est constante. Nous fournissons alors un estimateur non biaisé du paramètre bêta en utilisant uniquement les données de volatilité implicite. Cet estimateur est une mesure prospective du paramètre bêta dans le sens où il représente l'information contenue dans les prix des produits dérivés concernant la réalisation prospective de ce paramètre, nous testons ensuite sa capacité de prédiction du bêta prospectif et nous tirons une conclusion concernant son pouvoir prédictif.

En utilisant un nouvel ensemble de données de qualité à haute fréquence, nous fournissons une étude empirique précise du marché spot interprofessionnel. Nous vérifions que les principaux faits stylisés des séries chronologiques financières sont valables pour le marché des changes : distribution à queue grasse des rendements, normalité agrégée et regroupement de la volatilité. Nous signalons deux phénomènes de microstructure standard : les effets de bruit de microstructure dans le graphe de signature et l'effet Epps. Nous trouvons une forme inhabituelle pour le carnet moyen, la distribution des écarts étant bimodale. Nous construisons le flux d'ordres et analysons ses principales caractéristiques : volume, placement, intensité d'arrivée et signe. De nombreuses quantités ont été dramatiquement affectées par la diminution de la taille du tick en mars 2011. Nous soutenons que la coexistence de traders manuels et de traders algorithmiques, qui réagissent différemment à la nouvelle taille du tick, conduit à un fort regroupement des prix dans tous les types d'ordres et affecte la formation des prix.

L'objectif premier de cet ouvrage est de présenter les résultats de recherche et les conclusions de physiciens, d'économistes, de mathématiciens et d'ingénieurs financiers travaillant dans le domaine de l'"éconophysique" qui ont entrepris une modélisation basée sur les agents, une comparaison avec des études empiriques et des enquêtes connexes. La plupart des modèles économiques standard supposent l'existence d'un agent représentatif, qui est "parfaitement rationnel" et applique le principe de maximisation de l'utilité lorsqu'il agit. L'une des raisons en est le désir de garder les modèles mathématiquement tractables : les économistes ne disposent d'aucun outil pour résoudre les modèles non linéaires d'agents adaptatifs hétérogènes sans optimisation explicite. En revanche, les modèles multi-agents, qui trouvent leur origine dans des considérations de physique statistique, nous permettent d'aller au-delà des théories prototypes de l'économie traditionnelle impliquant l'agent représentatif. Ce livre est basé sur l'atelier Econophys-Kolkata VII, au cours duquel de nombreux efforts de modélisation de ce type ont été présentés. Dans ce livre, des chercheurs de premier plan dans leur domaine font état de leurs derniers travaux, examinent les développements récents et passent en revue la littérature contemporaine.

Dans cet article, nous revisitons le problème de la " dynamique du sourire ". Dans un travail précédent, Bergomi a construit une classe de modèles de volatilité stochastique linéaire dans lesquels il a spécifié la dynamique conjointe entre le sous-jacent et ses variances instantanées à terme. L'auteur a introduit une quantité, qu'il a appelé le Skew Stickiness ratio, afin de relier deux quantités d'intérêt : la première quantité est la corrélation entre les incréments de la volatilité implicite à la monnaie de la maturité T et les rendements logarithmiques du sous-jacent, tandis que la seconde quantité est le skew implicite de la même maturité T. Dans notre travail, nous poursuivons l'étude du Skew stickiness ratio à la fois d'un point de vue théorique et empirique. Tout d'abord, nous fournissons une méthode pour estimer le SSR (skew stickiness ratio) à partir des prix des options, cette mesure est appelée SSR implicite car elle est réalisée sous la mesure de prix neutre au risque Q. Ensuite, nous rappelons comment mesurer le SSR réalisé sous la mesure de probabilité du monde réel P et nous soulignons empiriquement qu'il existe une divergence entre le SSR implicite et le SSR réalisé. L'étude empirique montre également que le SSR implicite, dans la limite des maturités courtes, peut prendre une valeur supérieure à 2 ce qui est en discordance avec les résultats obtenus dans les modèles de volatilité stochastique linéaire. Pour cette raison, nous montrons que la quantité positive (SSR -2) est cohérente avec la présence de sauts dans un modèle de volatilité stochastique.

Nous introduisons un processus de Hawkes multivarié avec des contraintes sur sa densité conditionnelle. Il s'agit d'un processus ponctuel multivarié dont l'intensité conditionnelle est similaire à celle d'un processus de Hawkes multivarié, mais certains événements sont interdits par rapport à des conditions limites sur une variable de contrainte multidimensionnelle, dont l'évolution est pilotée par le processus ponctuel. Nous étudions ce processus dans le cas particulier où la fonction de fécondité est exponentielle de sorte que le processus est entièrement décrit par une chaîne de Markov sous-jacente, qui inclut la variable de contrainte. Certaines conditions sur les paramètres sont établies pour assurer l'ergodicité de la chaîne. De plus, des limites d'échelle sont dérivées pour le processus ponctuel intégré. Cette étude est principalement motivée par la modélisation stochastique d'un carnet d'ordres limite pour l'analyse de données financières à haute fréquence.

Cet article étudie la question du filtrage et de la maximisation de la richesse terminale à partir de l'utilité espérée dans un modèle de volatilité stochastique à information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est celle générée par les prix des actifs, et les processus inobservables seront modélisés par une équation différentielle stochastique. En utilisant les techniques de changement de mesure, le contexte d'observation partielle peut être transformé en un contexte d'information complète tel que les coefficients ne dépendent que de l'histoire passée des prix observés (processus de filtrage). En adaptant le filtrage stochastique non linéaire, nous montrons que sous certaines hypothèses sur les coefficients du modèle, l'estimation des filtres dépend de modèles a priori pour la tendance et la volatilité stochastique. De plus, ces filtres satisfont une équation différentielle partielle stochastique appelée "équations de Kushner-Stratonovich". En utilisant l'approche de la dualité martingale dans ce modèle incomplet partiellement observé, nous pouvons caractériser la fonction de valeur et le portefeuille optimal. Le résultat principal ici est que la fonction de valeur duale associée à l'approche martingale peut être exprimée, via l'approche de programmation dynamique, en termes de solution d'une équation différentielle partielle semi-linéaire qui dépend également de l'estimation des filtres et de la volatilité. Nous illustrons nos résultats avec quelques exemples de modèles de volatilité stochastique populaires dans la littérature financière.

Cette thèse étudie quelques aspects de la modélisation stochastique des carnets d'ordres. Nous analysons dans la première partie un modèle dans lequel les temps d'arrivées des ordres sont Poissoniens indépendants. Nous démontrons que le carnet d'ordres est stable (au sens des chaines de Markov) et qu'il converge vers sa distribution stationnaire exponentiellement vite. Nous en déduisons que le prix engendré dans ce cadre converge vers un mouvement Brownien aux grandes échelles de temps. Nous illustrons les résultats numériquement et les comparons aux données de marché en soulignant les succès du modèle et ses limites. Dans une deuxième partie, nous généralisons les résultats à un cadre où les temps d'arrivés sont régis par des processus auto et mutuellement existants, moyennant des hypothèses sur la mémoire de ces processus. La dernière partie est plus appliquée et traite de l'identification d'un modèle réaliste multivarié à partir des flux des ordres. Nous détaillons deux approches : la première par maximisation de la vraisemblance et la seconde à partir de la densité de covariance, et réussissons à avoir une concordance remarquable avec les données. Nous appliquons le modèle ainsi estimé à deux problèmes concrets de trading algorithmique, à savoir la mesure de la probabilité d'exécution et le coût d'un ordre limite.

Les récents changements réglementaires, connus sous le nom de Reg NMS aux États-Unis ou MiFID en Europe, ainsi que les effets de la crise financière (principalement son impact sur la liquidité), ont induit des changements majeurs sur la microstructure du marché sous deux aspects principaux : - la fragmentation de la liquidité autour de plusieurs lieux de négociation, avec l'apparition de nouveaux venus en Europe comme Chi-X, BATS Europe, ou Turquoise, certains d'entre eux n'étant pas réglementés ou "sombres". - la montée en puissance d'un nouveau type d'agents, les traders à haute fréquence, responsables de 40% à 70% des transactions. Ces deux effets sont liés puisque les traders à haute fréquence, étant les principaux clients des plateformes de négociation, ont un impact implicite sur les produits offerts par ces plateformes. En combinant une étude des résultats académiques récents et des preuves empiriques, ce document présente ce que nous considérons comme les éléments clés pour comprendre les enjeux de ces changements, et fournit également des indices potentiels pour atténuer certains d'entre eux. Une première section est consacrée à l'exposition des modifications récentes de la microstructure du marché. La seconde explique le rôle du processus de formation des prix et comment, en interagissant avec l'offre et la demande de liquidités, les traders haute fréquence peuvent le remodeler. La section suivante dévoile les différentes stratégies utilisées par ces nouveaux acteurs du marché et leur rentabilité. Enfin, la dernière section traite des outils récents conçus pour évaluer et contrôler l'activité de trading à haute fréquence.

Nous présentons dans notre travail un modèle d'évaluation des actifs financiers en temps continu où les volatilités de l'indice boursier et de l'action sont toutes deux stochastiques. En utilisant une technique de perturbation singulière, nous fournissons des approximations pour les prix des options européennes sur l'action et l'indice. Ces approximations sont des fonctions des paramètres du modèle. Nous montrons ensuite que les estimateurs existants du paramètre beta, proposés dans la littérature récente, sont biaisés dans notre contexte car ils sont tous basés sur l'hypothèse que la volatilité idiosyncratique de l'action est constante. Nous fournissons alors un estimateur non biaisé du paramètre bêta en utilisant uniquement les données de volatilité implicite. Cet estimateur est une mesure prospective du paramètre bêta dans le sens où il représente l'information contenue dans les prix des produits dérivés concernant la réalisation prospective de ce paramètre, nous testons ensuite sa capacité de prédiction du bêta prospectif et nous tirons une conclusion concernant son pouvoir prédictif.

Les relations de type "lead/lag" sont un fait stylisé important à haute fréquence. Certains actifs suivent la trajectoire d'autres actifs avec un léger décalage dans le temps. Nous fournissons des indicateurs pour mesurer ce phénomène en utilisant des données tick-by-tick. Des fonctions de corrélation croisée fortement asymétriques sont observées empiriquement, en particulier dans le cas du futur/actions. Nous confirmons l'intuition selon laquelle les actifs les plus liquides (courte durée intertrade, étroit écart entre l'offre et la demande, faible volatilité, rotation élevée) ont tendance à mener les actions plus petites. Cependant, les actions les plus corrélées sont celles qui ont des niveaux de liquidité similaires. Ce phénomène de lead/lag n'est pas constant tout au long de la journée, il présente une saisonnalité intraday avec des changements de comportement à des moments bien précis comme l'annonce de chiffres macroéconomiques et l'ouverture du marché américain. Ces relations lead/lag s'accentuent au fur et à mesure que l'on zoome sur des événements significatifs. Nous atteignons une précision de 60% lorsque nous prévoyons la prochaine variation du cours moyen du lagger en utilisant uniquement les informations passées du leader, ce qui est significativement meilleur qu'en utilisant uniquement les informations du lagger. Cependant, une stratégie naïve basée sur des ordres au marché ne peut pas profiter de cet effet à cause de l'écart entre les cours acheteur et vendeur.

L'objectif de cette étude est de quantifier l'avantage de faible latence du trading haute fréquence (HFT) et de calculer, de manière empirique, une période de détention optimale d'un trader HF. Les critiques prétendent que la faible latence conduit à une asymétrie d'information qui victimise les investisseurs de détail. Cependant, les études objectives mesurant le gain dû à cette asymétrie sont rares. Afin de réaliser cette étude, de nouvelles méthodes sont introduites dans cet article, en particulier, le problème de la stratégie optimale est formulé et des idées sont données pour le calculer dans un temps raisonnable. Une nouvelle mesure, la période de détention moyenne pondérée, est introduite et un algorithme pour la calculer est proposé. En utilisant les concepts précédents, une grande étude empirique basée sur la stratégie omnisciente optimale est présentée et des preuves de la limitation de l'avantage de faible latence sont fournies. En particulier, il est montré que l'écart entre l'offre et la demande et les coûts de transaction conduisent à une fréquence de négociation bien inférieure à la fréquence de renouvellement de l'information.

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Nous étudions la possibilité que la dynamique collective d'un ensemble d'actions puisse conduire à un panier spécifique violant l'hypothèse de marché efficace. Précisément, nous montrons qu'il est systématiquement possible de former un panier avec une structure d'autocorrélation non triviale lorsque les échelles de temps examinées sont de l'ordre de quelques dizaines de secondes. De plus, nous montrons que cette situation est suffisamment persistante pour permettre une certaine forme de prévision.

Dans cette note, j'étudie plus en profondeur une nouvelle approche récemment introduite pour la couverture des produits dérivés sur des marchés incomplets via la minimisation du risque local non quadratique. Un résultat de structure est fourni, qui montre essentiellement l'équivalence entre la minimisation du risque non quadratique sous la probabilité historique et la minimisation du risque local quadratique sous une probabilité équivalente, implicitement définie.

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Dans cette note, nous transposons un modèle de carnet d'ordres basé sur le processus de Hawkes dans un cadre markovien et, en utilisant des techniques issues de la théorie des chaînes de Markov et de la stabilité stochastique, nous montrons que le carnet d'ordres est stable et conduit à une limite de prix diffusive à de grandes échelles de temps.

Nous introduisons un processus de Hawkes multivarié avec des contraintes sur sa densité conditionnelle. Il s'agit d'un processus ponctuel multivarié dont l'intensité conditionnelle est similaire à celle d'un processus de Hawkes multivarié, mais certains événements sont interdits par rapport à des conditions limites sur une variable de contrainte multidimensionnelle, dont l'évolution est pilotée par le processus ponctuel. Nous étudions ce processus dans le cas particulier où la fonction de fécondité est exponentielle de sorte que le processus est entièrement décrit par une chaîne de Markov sous-jacente, qui inclut la variable de contrainte. Certaines conditions sur les paramètres sont établies pour assurer l'ergodicité de la chaîne. De plus, des limites d'échelle sont dérivées pour le processus ponctuel intégré. Cette étude est principalement motivée par la modélisation stochastique d'un carnet d'ordres limite pour l'analyse de données financières à haute fréquence.

Un carnet d'ordres à cours limité fournit des informations sur les prix des ordres à cours limité disponibles et leurs volumes. Sur la base de ces quantités, nous donnons un résultat empirique sur la relation entre l'équilibre de la liquidité entre l'offre et la demande et nous montrons que l'équilibre de la liquidité sur la meilleure offre/la meilleure demande est très informatif pour prédire la direction du futur ordre de marché. En outre, nous définissons le saut de prix comme l'arrivée d'un ordre de marché de vente (d'achat) qui est exécuté à un prix inférieur (supérieur) au prix de la meilleure offre (meilleure demande) au moment juste après l'arrivée de l'ordre de marché précédent. Des caractéristiques sont ensuite extraites concernant les volumes d'ordres à cours limité, les écarts de prix des ordres à cours limité, les informations sur les ordres de marché et les informations sur les événements liés aux ordres à cours limité. La régression logistique est appliquée pour prédire le saut de prix à partir des caractéristiques du carnet d'ordres à cours limité. La régression logistique LASSO est introduite pour nous aider à faire une sélection de variables à partir de laquelle nous sommes capables de mettre en évidence l'importance de différentes caractéristiques dans la prédiction de la future hausse des prix. Afin de s'affranchir de la saisonnalité des données intrajournalières, l'analyse est basée sur deux ensembles de données distincts : celui du matin et celui de l'après-midi. Sur la base d'une analyse des quarante plus grandes valeurs françaises du CAC40, nous constatons que le signe de la transaction et la taille de l'ordre de marché ainsi que la liquidité sur la meilleure offre (meilleure demande) sont constamment informatifs pour prédire le saut de prix à venir.

Cette thèse explore théoriquement et empiriquement certains aspects de la formation et de l’évolution des prix des actifs financiers observés en haute fréquence. Nous commençons par l’étude de la dynamique jointe de l’option et de son sous-jacent. Les données haute fréquence rendant observable le processus de volatilité réalisée du sous-jacent, nous cherchons à savoir si cette information est utilisée pour fixer les prix des options. Nous trouvons que le marché ne l’exploite pas. Les modèles de volatilité stochastique sont donc à considérer comme des modèles à forme réduite. Cette étude permet néanmoins de tester la pertinence d’une mesure de couverture empirique que nous appelons delta effectif. C’est la pente de la régression des rendements des prix de l’option sur ceux du sous-jacent. Elle fournit un indicateur de couverture assez satisfaisant et indépendant de toute modélisation. Pour la dynamique des prix, nous nous tournons dans les chapitres suivants vers des modèles plus explicites de la microstructure du marché. L’une des caractéristiques de l’activité de marché est son regroupement, ou clustering. Les processus de Hawkes, processus ponctuels présentant cette caractéristique, fournissent donc un cadre mathématique adéquat pour l’étude de cette activité. La représentation Markovienne de ces processus, ainsi que leur caractère affine quand le noyau est exponentiel, permettent de recourir aux puissants outils analytiques que sont le générateur infinitésimal et la formule de Dynkin pour calculer différentes quantités qui leur sont reliées, telles que les moments ou autocovariances du nombre d’évènements sur un intervalle donné. Nous commençons par un cadre monodimensionnel, assez simple pour éclairer la démarche, mais suffisamment riche pour permettre des applications telles que le groupement des instants d’arrivée d’ordres de marché, la prévision de l’activité de marché à venir sachant l’activité passée, ou la caractérisation de formes inhabituelles, mais néanmoins observées, de signature plot où la volatilité mesurée décroît quand la fréquence d’échantillonnage augmente. Nos calculs nous permettent aussi de rendre la calibration des processus de Hawkes instantanée en recourant à la méthode des moments. La généralisation au cas multidimensionnel nous permet ensuite de capturer, avec le clustering, le phénomène de retour à la moyenne qui caractérise aussi l’activité de marché observée en haute fréquence. Des formules générales pour le signature plot sont alors obtenues et permettent de relier la forme de celui-ci à l’importance relative du clustering ou du retour à la moyenne. Nos calculs permettent aussi d’obtenir la forme explicite de la volatilité associée à la limite diffusive, connectant la dynamique de niveau microscopique à la volatilité observée macroscopiquement, par exemple à l’échelle journalière. En outre, la modélisation des activités d’achat et de vente par des processus de Hawkes permet de calculer l’impact d’un méta ordre sur le prix de l’actif. On retrouve et on explique alors la forme concave de cet impact ainsi que sa relaxation temporelle. Les résultats analytiques obtenus dans le cas multidimensionnel fournissent ensuite le cadre adéquat à l’étude de la corrélation. On présente alors des résultats généraux sur l’effet Epps, ainsi que sur la formation de la corrélation et du lead lag.

Le fractionnement des ordres est une pratique courante en trading : les traders scrutent constamment le carnet d'ordres à cours limité et choisissent de limiter la taille de leurs ordres au marché à la quantité disponible à la meilleure limite, contrôlant ainsi l'impact de leurs ordres sur le marché. Dans cet article, nous nous concentrons sur les autres transactions, les transactions à limites multiples qui passent par le meilleur prix disponible dans le carnet d'ordres, ou "trade-throughs". Nous fournissons diverses statistiques sur les trade-throughs : fréquence, volume, distribution intraday, impact sur le marché. Nous présentons également une nouvelle méthode de mesure des paramètres de lead-lag entre actifs, secteurs ou marchés.

L'objectif de cet article est de revoir brièvement et de faire de nouvelles études sur les corrélations et les co-mouvements des actions, afin de comprendre les " saisonnalités " et l'évolution des marchés. En utilisant les données intraday du CAC40, nous commençons par réaffirmer les résultats d'Allez et Bouchaud [New J. Phys. 13, 025010 (2011)] : la corrélation moyenne entre les actions augmente tout au long de la journée. Nous utilisons ensuite l'échelle multidimensionnelle (MDS) pour générer des cartes et visualiser l'évolution dynamique du marché boursier au cours de la journée. Nous ne trouvons pas de différence marquée dans la structure du marché au cours d'une journée. Un autre objectif est d'utiliser les données quotidiennes pour les études MDS, et de visualiser ou détecter des secteurs spécifiques dans un marché et des périodes de crise. Nous suggérons que ce type de visualisation puisse être utilisé pour identifier des paires d'actions potentielles pour le "pair trade".

Nous étudions le comportement des solutions très faibles d'équations elliptiques linéaires lorsque le côté droit appartient à un espace L1 pondéré, le poids étant une fonction de la distance à la frontière.

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Nous étudions l'influence de la prise en compte des coûts de liquidité et de l'impact du marché lors de la couverture d'une créance contingente, d'abord dans le cadre en temps discret, puis en temps continu. Dans ce dernier cas et dans un marché complet, nous dérivons une équation aux dérivées partielles de prix entièrement non-linéaire, et caractérisons sa nature parabolique en fonction de la valeur d'un paramètre numérique naturellement interprété comme un coefficient de relaxation pour l'impact du marché. Nous étudions ensuite le cas plus difficile des modèles de volatilité stochastique, et prouvons la parabularité de l'équation de prix dans un cas particulier.

Nous présentons une étude mathématique du carnet d'ordres comme une chaîne de Markov multidimensionnelle à temps continu où le flux d'ordres est modélisé par des processus de Poisson indépendants. Notre objectif est de combler le fossé entre la description microscopique de la formation des prix (modélisation basée sur les agents), et l'approche des équations différentielles stochastiques utilisée classiquement pour décrire l'évolution des prix à des échelles de temps macroscopiques. Pour ce faire, nous nous appuyons sur la théorie des générateurs infinitésimaux et sur les critères de stabilité de Foster-Lyapunov pour les chaînes de Markov. Nous motivons notre approche en utilisant un exemple élémentaire où le spread est maintenu constant ("perfect market making"). Nous calculons ensuite le générateur infinitésimal associé au carnet d'ordres dans un cadre général, et nous lions la dynamique des prix à l'état instantané du carnet d'ordres. Dans la dernière section, nous prouvons que le carnet d'ordres est ergodique - en particulier, il a une distribution stationnaire - qu'il converge vers son état stationnaire à une vitesse exponentielle, et que la limite à grande échelle du processus de prix est un mouvement brownien.

L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique.

Dans cette note, nous transposons un modèle de carnet d'ordres basé sur le processus de Hawkes dans un cadre markovien et, en utilisant des techniques issues de la théorie des chaînes de Markov et de la stabilité stochastique, nous montrons que le carnet d'ordres est stable et conduit à une limite de prix diffusive à de grandes échelles de temps.

Ce travail de thèse aborde deux sujets : (i) L'utilisation d'une nouvelle méthode numérique pour l'évaluation des options sur un panier d'actifs, (ii) Le risque de liquidité, la modélisation du carnet d'ordres et la microstructure de marché. Premier thème : Un algorithme glouton et ses applications pour résoudre des équations aux dérivées partielles. L'exemple typique en finance est l'évaluation d'une option sur un panier d'actifs, laquelle peut être obtenue en résolvant l'EDP de Black-Scholes ayant comme dimension le nombre d'actifs considérés. Nous proposons d'étudier un algorithme qui a été proposé et étudié récemment dans [ACKM06, BLM09] pour résoudre des problèmes en grande dimension et essayer de contourner la malédiction de la dimension. L'idée est de représenter la solution comme une somme de produits tensoriels et de calculer itérativement les termes de cette somme en utilisant un algorithme glouton. La résolution des EDP en grande dimension est fortement liée à la représentation des fonctions en grande dimension. Dans le Chapitre 1, nous décrivons différentes approches pour représenter des fonctions en grande dimension et nous introduisons les problèmes en grande dimension en finance qui sont traités dans ce travail de thèse. La méthode sélectionnée dans ce manuscrit est une méthode d'approximation non-linéaire appelée Proper Generalized Decomposition (PGD). Le Chapitre 2 montre l'application de cette méthode pour l'approximation de la solution d'une EDP linéaire (le problème de Poisson) et pour l'approximation d'une fonction de carré intégrable par une somme des produits tensoriels. Un étude numérique de ce dernier problème est présenté dans le Chapitre 3. Le problème de Poisson et celui de l'approximation d'une fonction de carré intégrable serviront de base dans le Chapitre 4 pour résoudre l'équation de Black-Scholes en utilisant l'approche PGD. Dans des exemples numériques, nous avons obtenu des résultats jusqu'en dimension 10. Outre l'approximation de la solution de l'équation de Black-Scholes, nous proposons une méthode de réduction de variance des méthodes Monte Carlo classiques pour évaluer des options financières. Second thème : Risque de liquidité, modélisation du carnet d'ordres, microstructure de marché. Le risque de liquidité et la microstructure de marché sont devenus des sujets très importants dans les mathématiques financières. La dérégulation des marchés financiers et la compétition entre eux pour attirer plus d'investisseurs constituent une des raisons possibles. Dans ce travail, nous étudions comment utiliser cette information pour exécuter de façon optimale la vente ou l'achat des ordres. Les ordres peuvent seulement être placés dans une grille des prix. A chaque instant, le nombre d'ordres en attente d'achat (ou vente) pour chaque prix est enregistré. Dans [AFS10], Alfonsi, Fruth et Schied ont proposé un modèle simple du carnet d'ordres. Dans ce modèle, il est possible de trouver explicitement la stratégie optimale pour acheter (ou vendre) une quantité donnée d'actions avant une maturité. L'idée est de diviser l'ordre d'achat (ou de vente) dans d'autres ordres plus petits afin de trouver l'équilibre entre l'acquisition des nouveaux ordres et leur prix. Ce travail de thèse se concentre sur une extension du modèle du carnet d'ordres introduit par Alfonsi, Fruth et Schied. Ici, l'originalité est de permettre à la profondeur du carnet d'ordres de dépendre du temps, ce qui représente une nouvelle caractéristique du carnet d'ordres qui a été illustré par [JJ88, GM92, HH95, KW96]. Dans ce cadre, nous résolvons le problème de l'exécution optimale pour des stratégies discrètes et continues. Ceci nous donne, en particulier, des conditions suffisantes pour exclure les manipulations des prix au sens de Huberman et Stanzl [HS04] ou de Transaction-Triggered Price Manipulation (voir Alfonsi, Schied et Slynko).

Nous étudions l'influence de la prise en compte des coûts de liquidité et de l'impact du marché lors de la couverture d'une créance contingente, d'abord dans le cadre en temps discret, puis en temps continu. Dans ce dernier cas et dans un marché complet, nous dérivons une équation aux dérivées partielles de prix entièrement non-linéaire, et caractérisons sa nature parabolique en fonction de la valeur d'un paramètre numérique naturellement interprété comme un coefficient de relaxation pour l'impact du marché. Nous étudions ensuite le cas plus difficile des modèles de volatilité stochastique, et prouvons la parabularité de l'équation de prix dans un cas particulier.

Dans cette note, j'étudie plus en profondeur une nouvelle approche récemment introduite pour la couverture des produits dérivés sur des marchés incomplets via la minimisation du risque local non quadratique. Un résultat de structure est fourni, qui montre essentiellement l'équivalence entre la minimisation du risque non quadratique sous la probabilité historique et la minimisation du risque local quadratique sous une probabilité équivalente, implicitement définie.

Le but de cette thèse est d’approfondir les connaissances académiques sur les variations jointes des actifs financiers à haute fréquence en les analysant sous un point de vue novateur. Nous tirons profit d’une base de données de prix tick-by-tick pour mettre en lumière de nouveaux faits stylises sur la corrélation haute fréquence, et également pour tester la validité empirique de modèles multivariés. Dans le chapitre 1, nous discutons des raisons pour lesquelles la corrélation haute fréquence est d’une importance capitale pour le trading. Par ailleurs, nous passons en revue la littérature empirique et théorique sur la corrélation à de petites échelles de temps. Puis nous décrivons les principales caractéristiques du jeu de données que nous utilisons. Enfin, nous énonçons les résultats obtenus dans cette thèse. Dans le chapitre 2, nous proposons une extension du modèle de subordination au cas multivarié. Elle repose sur la définition d’un temps événementiel global qui agrège l’activité financière de tous les actifs considérés. Nous testons la capacité de notre modèle à capturer les propriétés notables de la distribution multivariée empirique des rendements et observons de convaincantes similarités. Dans le chapitre 3, nous étudions les relations lead/lag à haute fréquence en utilisant un estimateur de fonction de corrélation adapte aux données tick-by-tick. Nous illustrons sa supériorité par rapport à l’estimateur standard de corrélation pour détecter le phénomène de lead/lag. Nous établissons un parallèle entre le lead/lag et des mesures classiques de liquidité et révélons un arbitrage pour déterminer les paires optimales pour le trading de lead/lag. Enfin, nous évaluons la performance d’un indicateur basé sur le lead/lag pour prévoir l’évolution des prix à court terme. Dans le chapitre 4, nous nous intéressons au profil saisonnier de la corrélation intra-journalière. Nous estimons ce profil sur quatre univers d’actions et observons des ressemblances frappantes. Nous tentons d’incorporer ce fait stylise dans un modèle de prix tick-by-tick base sur des processus de Hawkes. Le modèle ainsi construit capture le profil de corrélation empirique assez finement, malgré sa difficulté à atteindre le niveau de corrélation absolu.

On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal.

La calibration des vanilles est un problème majeur de la finance. On tente ici de le résoudre pour trois classes de modèles : les modèles à volatilité locale et stochastique, le modèle dit à « corrélation locale » et un modèle hybride de volatilité locale avec taux stochastiques. D’un point de vue mathématique, l’équation de calibration est une équation non linéaire et intégro-différentielle particulièrement complexe. Dans une première partie, on prouve des résultats d’existence de solutions pour cette équation, ainsi que pour son adjoint (plus simple à résoudre). Ces résultats se fondent sur des méthodes de points fixes dans des espaces de Hölder et requièrent des théorèmes classiques relatifs aux équations aux dérivées partielles paraboliques, ainsi que quelques estimations à priori au temps court. La deuxième partie traite de l’application de ces résultats d’existence aux trois modèles financiers précédemment cités. On y expose également les résultats numériques obtenus en résolvant l’edp. La calibration par cette méthode est tout à fait satisfaisante. Enfin, dans un dernier temps, on s’intéresse à l’algorithme utilisé pour la résolution numérique : un schéma ADI prédicteur-correcteur, qu’on modifie pour prendre en compte le caractère non linéaire de l’équation. On décrit également un phénomène d’instabilité de la solution de l’edp qu’on tente d’expliquer d’un point de vue théorique grâce à l’instabilité dite de « Hadamard ».

Cette these rassemble des resultats d'existence et d'unicite pour des problemes a frontiere libre evolutifs et stationnaires provenant de la biologie, de l'extraction du petrole ou de la mecanique des fluides. Un des traits principaux de ces modeles est qu'ils excluent toute presence de tension superficielle. La premiere partie traite d'une classe de problemes a frontiere libre comprenant les problemes dits de muskat et de stefan quasi-stationnaire. Dans tous ces cas, on montre par une analyse des termes non-lineaires et non-locaux, l'existence d'une unique solution locale classique dont la regularite est la meme en temps et en espace. Dans la deuxieme partie, on etudie une classe d'equations de transport stationnaire avec un terme d'ordre inferieur non-local et positif. Ce type d'equation provient directement du probleme a frontiere libre considere dans la partie 3, mais peut aussi etre etudie en tant que tel. Une analyse pseudo-differentielle donne l'existence d'une unique solution dans les espaces de sobolev. Dans la partie 3, nous considerons un fluide tridimensionnel incompressible soumis a la gravite s'ecoulant le long d'un plan incline, en l'absence de tension superficielle. Dans ce contexte, nous prouvons qu'il existe une unique solution dans des espaces de sobolev a poids en utilisant les resultats de la deuxieme partie, et au prix d'un theoreme de type nash-moser.