Une approche mathématique de la modélisation du carnet de commandes.

Résumé Nous présentons une étude mathématique du carnet d'ordres comme une chaîne de Markov multidimensionnelle à temps continu où le flux d'ordres est modélisé par des processus de Poisson indépendants. Notre objectif est de combler le fossé entre la description microscopique de la formation des prix (modélisation basée sur les agents), et l'approche des équations différentielles stochastiques utilisée classiquement pour décrire l'évolution des prix à des échelles de temps macroscopiques. Pour ce faire, nous nous appuyons sur la théorie des générateurs infinitésimaux et sur les critères de stabilité de Foster-Lyapunov pour les chaînes de Markov. Nous motivons notre approche en utilisant un exemple élémentaire où le spread est maintenu constant ("perfect market making"). Nous calculons ensuite le générateur infinitésimal associé au carnet d'ordres dans un cadre général, et nous lions la dynamique des prix à l'état instantané du carnet d'ordres. Dans la dernière section, nous prouvons que le carnet d'ordres est ergodique - en particulier, il a une distribution stationnaire - qu'il converge vers son état stationnaire à une vitesse exponentielle, et que la limite à grande échelle du processus de prix est un mouvement brownien.