Etude mathematique de quelques interfaces evolutives et stationnaires.

Résumé Cette these rassemble des resultats d'existence et d'unicite pour des problemes a frontiere libre evolutifs et stationnaires provenant de la biologie, de l'extraction du petrole ou de la mecanique des fluides. Un des traits principaux de ces modeles est qu'ils excluent toute presence de tension superficielle. La premiere partie traite d'une classe de problemes a frontiere libre comprenant les problemes dits de muskat et de stefan quasi-stationnaire. Dans tous ces cas, on montre par une analyse des termes non-lineaires et non-locaux, l'existence d'une unique solution locale classique dont la regularite est la meme en temps et en espace. Dans la deuxieme partie, on etudie une classe d'equations de transport stationnaire avec un terme d'ordre inferieur non-local et positif. Ce type d'equation provient directement du probleme a frontiere libre considere dans la partie 3, mais peut aussi etre etudie en tant que tel. Une analyse pseudo-differentielle donne l'existence d'une unique solution dans les espaces de sobolev. Dans la partie 3, nous considerons un fluide tridimensionnel incompressible soumis a la gravite s'ecoulant le long d'un plan incline, en l'absence de tension superficielle. Dans ce contexte, nous prouvons qu'il existe une unique solution dans des espaces de sobolev a poids en utilisant les resultats de la deuxieme partie, et au prix d'un theoreme de type nash-moser.