Schémas arrière profonds à plusieurs étapes pour les EDP non linéaires et analyse des erreurs d'approximation.

Résumé Nous développons des schémas d'apprentissage automatique à plusieurs étapes pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires en haute dimension. La méthode est basée sur la représentation probabiliste des EDP par des équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE) et leur discrétisation temporelle itérée. Dans le cas d'EDP semi-linéaires, notre algorithme estime simultanément par rétro-induction la solution et son gradient par des réseaux neuronaux à travers des minimisations séquentielles de fonctions de perte quadratiques appropriées qui sont effectuées par descente de gradient stochastique. L'approche est étendue au cas plus difficile des EDP entièrement non linéaires, et nous proposons différentes approximations du Hessien de la solution de l'EDP, c'est-à-dire la composante $\Gamma$ de l'EDPS, en combinant des poids de Malliavin et des réseaux neuronaux. Des tests numériques approfondis sont effectués avec divers exemples d'EDP semi-linéaires, y compris l'équation de Burgers visqueuse, et des exemples d'EDP entièrement non linéaires comme les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman qui se posent dans les problèmes de sélection de portefeuille avec des volatilités stochastiques, ou les équations de Monge-Ampère en dimension jusqu'à 15. La performance et la précision de nos résultats numériques sont comparées à d'autres algorithmes d'apprentissage automatique récents dans la littérature, voir \cite{HJE17}, \cite{HPW19}, \cite{BEJ19}, \cite{BBCJN19} et \cite{phawar19}. En outre, nous fournissons une analyse rigoureuse de l'erreur d'approximation du schéma arrière profond à plusieurs étapes ainsi que de la méthode de fractionnement profonde pour les EDP semi-linéaires, qui donne un taux de convergence en termes de nombre de neurones pour les réseaux neuronaux peu profonds.