Quelques contributions des méthodes d'apprentissage bayésiennes et computationnelles aux problèmes de sélection de portefeuille.

Résumé La présente thèse est une étude de différents problèmes d'allocation optimale de portefeuilles dans le cas où le taux d'appréciation, appelé le drift, du mouvement brownien de la dynamique des actifs est incertain. Nous considérons un investisseur ayant une croyance sur le drift sous la forme d'une distribution de probabilité, appelée a priori. L'incertitude sur le drift est prise en compte par une approche d'apprentissage bayésien qui permet de mettre à jour la distribution de probabilité a priori du drift. La thèse est divisée en deux parties autonomes . la première partie contient deux chapitres : le premier développe les résultats théoriques, et le second contient une application détaillée de ces résultats sur des données de marché. La première partie de la thèse est consacrée au problème de sélection de portefeuilles de Markowitz dans le cas multidimensionnel avec incertitude de drift. Cette incertitude est modélisée via une loi arbitraire a priori qui est mise à jour à l'aide du filtrage bayésien. Nous avons d'abord transformé le problème de Markowitz bayésien en un problème auxiliaire standard de contrôle pour lequel la programmation dynamique est appliquée. Ensuite, nous montrons l'existence et l'unicité d'une solution régulière à l'équation aux dérivées partielles (EDP) semi-linéaire associée. Dans le cas d'une distribution a priori gaussienne, la solution multidimensionnelle est explicitement calculée. De plus, nous étudions l'impact quantitatif de l'apprentissage à partir des données progressivement observées, en comparant la stratégie qui met à jour l'estimation du drift, appelée stratégie apprenante, à celle qui la maintient constante, appelée stratégie non-apprenante. Pour finir, nous analysons la sensibilité du gain lié à l'apprentissage, appelé valeur d'information ou valeur informative, par rapport à différents paramètres. Ensuite, nous illustrons la théorie avec une application détaillée des résultats précédents à des données historiques de marché. Nous soulignons la robustesse de la valeur ajoutée de l'apprentissage en comparant les stratégies optimales apprenante et non-apprenante dans différents univers d'investissement : indices de différentes classes d'actifs, devises et stratégies smart beta. La deuxième partie aborde un problème d'optimisation de portefeuilles en temps discret. Ici, l'objectif de l'investisseur est de maximiser l'espérance de l'utilité de la richesse terminale d'un portefeuille d'actifs risqués, en supposant un drift incertain et une contrainte de maximum drawdown satisfaite. Dans cette partie, nous formulons le problème dans le cas général, et nous résolvons numériquement le cas gaussien avec la fonction d'utilité de type constant relative risk aversion (CRRA), via un algorithme d'apprentissage profond. Finalement, nous étudions la sensibilité de la stratégie au degré d'incertitude entourant l'estimation du drift et nous illustrons empiriquement la convergence de la stratégie non-apprenante vers un problème de Merton contraint, sans vente à découvert.