SULEM Agnes

Le traitement des incertitudes est un problème fondamental dans le contexte financier. Les variables étudiées sont souvent dépendantes du temps, avec des queues de distribution épaisses. Dans cette thèse, on s'intéresse à des outils permettant de prendre en compte les incertitudes sous ses formes principales: incertitudes statistiques, paramétriques et erreur de modèle, tout en gardant en tête qu’on souhaite les appliquer à ce contexte.La première partie est consacrée à l’établissement d’inégalités de concentration dans le cadre de variables à queues épaisses. L’objectif de ces inégalités est de quantifier quelle confiance on peut donner à un estimateur basé sur une taille finie d'observations. Dans cette thèse, nous établissons de nouvelles inégalités de concentration, qui couvrent notamment le cas d'estimateur à distribution log-normale.Dans la seconde partie, on traite de l'impact de l'erreur de modèle pour l'estimation de la matrice de covariance sur des rendements boursiers, sous hypothèse qu’il existe un processus de covariance instantanée entre les rendements dont la valeur présente dépend de sa valeur passée. On peut alors construire explicitement la meilleure estimée de la matrice de covariance pour un instant et un horizon d'investissement donnés, et montrer qu'elle fournie la variance réalisée la plus faible avec grande probabilité dans le cadre du portefeuille minimum variance.Dans la troisième partie, on propose une approche pour estimer le ratio de Sharpe et l'allocation de portefeuille lorsqu'ils dépendent de paramètres jugés incertains. Notre approche passe par l'adaptation d'une technique d'approximation stochastique pour le calcul de la décomposition en polynômes du chaos de la quantité d'intérêt.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, on s'intéresse à l'optimisation de portefeuille avec distribution cible. Cette technique peut être formalisée sans avoir recours à aucune hypothèse de modèle sur les rendements. Nous proposons de trouver ces portefeuilles en minimisant des mesures de divergence basées sur les fonctions noyau et la théorie du transport optimal.

La présente thèse est une étude de différents problèmes d'allocation optimale de portefeuilles dans le cas où le taux d'appréciation, appelé le drift, du mouvement brownien de la dynamique des actifs est incertain. Nous considérons un investisseur ayant une croyance sur le drift sous la forme d'une distribution de probabilité, appelée a priori. L'incertitude sur le drift est prise en compte par une approche d'apprentissage bayésien qui permet de mettre à jour la distribution de probabilité a priori du drift. La thèse est divisée en deux parties autonomes . la première partie contient deux chapitres : le premier développe les résultats théoriques, et le second contient une application détaillée de ces résultats sur des données de marché. La première partie de la thèse est consacrée au problème de sélection de portefeuilles de Markowitz dans le cas multidimensionnel avec incertitude de drift. Cette incertitude est modélisée via une loi arbitraire a priori qui est mise à jour à l'aide du filtrage bayésien. Nous avons d'abord transformé le problème de Markowitz bayésien en un problème auxiliaire standard de contrôle pour lequel la programmation dynamique est appliquée. Ensuite, nous montrons l'existence et l'unicité d'une solution régulière à l'équation aux dérivées partielles (EDP) semi-linéaire associée. Dans le cas d'une distribution a priori gaussienne, la solution multidimensionnelle est explicitement calculée. De plus, nous étudions l'impact quantitatif de l'apprentissage à partir des données progressivement observées, en comparant la stratégie qui met à jour l'estimation du drift, appelée stratégie apprenante, à celle qui la maintient constante, appelée stratégie non-apprenante. Pour finir, nous analysons la sensibilité du gain lié à l'apprentissage, appelé valeur d'information ou valeur informative, par rapport à différents paramètres. Ensuite, nous illustrons la théorie avec une application détaillée des résultats précédents à des données historiques de marché. Nous soulignons la robustesse de la valeur ajoutée de l'apprentissage en comparant les stratégies optimales apprenante et non-apprenante dans différents univers d'investissement : indices de différentes classes d'actifs, devises et stratégies smart beta. La deuxième partie aborde un problème d'optimisation de portefeuilles en temps discret. Ici, l'objectif de l'investisseur est de maximiser l'espérance de l'utilité de la richesse terminale d'un portefeuille d'actifs risqués, en supposant un drift incertain et une contrainte de maximum drawdown satisfaite. Dans cette partie, nous formulons le problème dans le cas général, et nous résolvons numériquement le cas gaussien avec la fonction d'utilité de type constant relative risk aversion (CRRA), via un algorithme d'apprentissage profond. Finalement, nous étudions la sensibilité de la stratégie au degré d'incertitude entourant l'estimation du drift et nous illustrons empiriquement la convergence de la stratégie non-apprenante vers un problème de Merton contraint, sans vente à découvert.

Cette thèse propose des modèles et des méthodes pour étudier le contrôle du risque dans de larges systèmes financiers. Nous proposons dans une première partie une approche structurelle : nous considérons un système financier représenté comme un réseau d’institutions connectées entre elles par des interactions stratégiques sources de financement mais également par des interactions qui les exposent à un risque de contagion de défaut. La nouveauté de notre approche réside dans le fait que ces deux types d’interaction interfèrent. Nous proposons des nouvelles notions d’équilibre pour ces systèmes et étudions la connectivité optimale du réseau et le risque systémique associé. Dans une deuxième partie, nous introduisons des mesures de risque systémique définies par des équations différentielles stochastiques rétrogrades dirigées par des opérateurs à champ moyen et étudions des problèmes d’arrêt optimal associés. La dernière partie aborde des questions de liquidation optimale de portefeuilles.

Nous étudions les prix de supercouverture et les stratégies de supercouverture associées pour les options américaines dans un modèle de marché incomplet non linéaire avec défaut. Les points de vue du vendeur et de l'acheteur sont présentés. Le modèle de marché sous-jacent se compose d'un actif sans risque et d'un actif risqué piloté par un mouvement brownien et une martingale de défaut compensée. Les processus de portefeuille suivent une dynamique non linéaire avec un moteur non linéaire f. Nous donnons une représentation duale du prix du vendeur (supercouverture) pour l'option américaine associée à un payoff complètement irrégulier $(\xi_t)$ (pas nécessairement càdlàg) en termes de valeur d'un problème mixte non linéaire de contrôle/arrêt. La représentation duale implique un ensemble approprié de mesures de probabilité équivalentes, que nous appelons mesures de probabilité f-martingales. Nous fournissons également deux caractérisations infinitésimales du processus de prix du vendeur : en termes de la supersolution minimale d'une BSDE réfléchie contrainte et en termes de la supersolution minimale d'une BSDE réfléchie optionnelle. Sous certaines hypothèses de régularité sur $\xi$, nous montrons également un résultat de dualité pour le prix de l'acheteur en termes de valeur d'un problème de jeu de contrôle/arrêt non linéaire.

Cet article étudie les prix de supercouverture et les stratégies de supercouverture associées pour les options européennes dans un modèle de marché incomplet non linéaire avec défaut. Nous présentons le point de vue du vendeur et de l'acheteur. Le modèle de marché sous-jacent est constitué d'un actif sans risque et d'un actif risqué piloté par un mouvement brownien et une martingale de défaut compensée. Les processus de portefeuille suivent une dynamique non linéaire avec un moteur non linéaire f. En utilisant une approche de programmation dynamique, nous fournissons d'abord une formulation duale du prix du vendeur (supercouverture) pour l'option européenne en tant que suprématie, sur un ensemble approprié de mesures de probabilité équivalentes Q ∈ Q, de l'évaluation/attente f sous Q du gain. Nous fournissons également une caractérisation du processus de prix (de super-couverture) du vendeur comme la supersolution minimale d'une BSDE contrainte avec défaut et une caractérisation en termes de supersolution minimale faible d'une BSDE avec défaut. Par une forme de symétrie, nous obtenons des résultats correspondants pour l'acheteur. Nos résultats reposent sur l'établissement préalable d'une option non linéaire et d'une décomposition prévisible non linéaire pour les processus qui sont des supermartingales $\mathcal{E}^f$-fortes sous Q, pour tout Q ∈ Q.

Nous introduisons la croissance par seuil dans le modèle classique de contagion par seuil, ou de manière équivalente un réseau de processus de Cramér-Lundberg dans lequel les nœuds ont des sauts vers le bas lorsqu'il y a une défaillance d'un nœud voisin. En choisissant le modèle de configuration comme graphe sous-jacent, nous prouvons des limites fluides pour le modèle de base, ainsi que des extensions au cas dirigé, des temps d'inter-arrivée dépendant de l'état et le cas de la croissance entraînée par des sauts vers le haut. Nous obtenons des probabilités de ruine explicites pour les nœuds en fonction de leurs caractéristiques : seuil initial et degré d'entrée (et de sortie). Nous permettons ensuite aux nœuds de choisir leur connectivité en échangeant les avantages des liens et le risque de contagion. Nous définissons un concept d'équilibre rationnel dans lequel les nœuds choisissent leur connectivité en fonction de la probabilité de défaillance attendue de tout lien donné, puis nous imposons la condition que la probabilité de défaillance attendue coïncide avec la probabilité de défaillance réelle sous la connectivité optimale. Nous montrons l'existence d'un équilibre asymptotique ainsi que la convergence de la séquence d'équilibres sur les réseaux finis. En particulier, nos résultats montrent que les systèmes avec une croissance globale plus élevée peuvent avoir une probabilité de défaillance plus élevée à l'équilibre.

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

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Nous étudions les BSDE à champ moyen avec sauts et un opérateur de champ moyen généralisé qui peut capturer des interactions d'ordre supérieur telles que celles qui se produisent sur un graphe aléatoire inhomogène. Nous fournissons des résultats de comparaison et de comparaison stricte. Sur la base de ceux-ci, nous interprétons la solution BSDE comme une mesure de risque dynamique globale qui peut rendre compte de l'intensité des interactions du système et donc intégrer le risque systémique. En utilisant les transformées de Fenchel-Legendre, nous établissons une représentation duale pour la mesure de risque, et en particulier nous montrons sa dépendance à l'opérateur de champ moyen.

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Dans cette troisième édition, nous avons développé et mis à jour la deuxième édition et inclus des développements plus récents dans le domaine du contrôle stochastique et de ses applications. Plus précisément, nous avons remplacé la section 1.5 sur l'application à la finance par une présentation plus complète des marchés financiers modélisés par des diffusions par saut (le nouveau chapitre 2). Nous avons ajouté un nouveau chapitre sur les équations différentielles stochastiques à rebours, les mesures de risque convexes et les utilités récursives (Chap.4). De plus, nous avons élargi le chapitre sur l'arrêt optimal (qui était le chapitre 2, maintenant le chapitre 3) et le chapitre sur le contrôle stochastique (qui était le chapitre 3, maintenant le chapitre 5) et ajouté un nouveau chapitre sur les jeux différentiels stochastiques (chapitre 6). En outre, nous avons corrigé des erreurs et mis à jour et amélioré la présentation de l'ensemble du livre.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

Cet article étudie les prix de supercouverture et les stratégies de supercouverture associées pour les options européennes et américaines dans un marché incomplet non linéaire avec défaut. Nous présentons le point de vue du vendeur et de l'acheteur. Le modèle de marché sous-jacent est constitué d'un actif sans risque et d'un actif risqué piloté par un mouvement brownien et une martingale de défaut compensée. Le processus de portefeuille suit une dynamique non linéaire avec un moteur non linéaire f. En utilisant une approche de programmation dynamique, nous fournissons d'abord une formulation duale du prix du vendeur (supercouverture) pour l'option européenne en tant que suprématie sur un ensemble approprié de mesures de probabilité équivalentes Q ∈ Q de l'évaluation/attente f sous Q du gain. Nous fournissons également une caractérisation infinitésimale de ce prix comme la supersolution minimale d'un BSDE contraint avec défaut. Par une forme de symétrie, nous dérivons des résultats correspondants pour l'acheteur. Nous donnons également une représentation duale du prix du vendeur (supercouverture) pour l'option américaine associée à un payoff irrégulier (ξ t) (pas nécessairement càdlàg) en termes de valeur d'un problème mixte non linéaire de contrôle/arrêt. Nous fournissons également une caractérisation infinitésimale de ce prix en termes d'un BSDE réfléchi contraint. Lorsque ξ est càdlàg, nous montrons un résultat de dualité pour le prix de l'acheteur. Ces résultats reposent sur l'établissement préalable d'une décomposition optionnelle non linéaire pour les processus qui sont des supermartingales E f-fortes sous Q, pour tout Q ∈ Q.

Nous étudions le pricing et la couverture des options américaines dans un modèle de marché imparfait avec défaut, où les imperfections sont prises en compte via la non-linéarité de la dynamique de la richesse. Le payoff est donné par un processus adapté RCLL (ξt). Nous définissons le prix du vendeur de l'option américaine comme le minimum des capitaux initiaux qui permettent au vendeur de constituer un portefeuille de (super)couverture. Nous prouvons que ce prix coïncide avec la fonction de valeur d'un problème d'arrêt optimal avec une espérance non linéaire E g (induite par une BSDE), qui correspond à la solution d'une BSDE réfléchie non linéaire avec obstacle (ξt). De plus, nous montrons l'existence d'une stratégie de portefeuille de (super)couverture. Nous considérons ensuite le prix d'acheteur de l'option américaine, qui est défini comme le supremum des prix initiaux qui permettent à l'acheteur de choisir un temps d'exercice τ et une stratégie de portefeuille ϕ de façon à ce qu'il soit supercouvert. Nous montrons que le prix de l'acheteur est égal à la fonction de valeur d'un problème d'arrêt optimal avec une espérance non linéaire, et qu'il peut être caractérisé via la solution d'une BSDE réfléchie avec obstacle (ξt). Sous l'hypothèse supplémentaire de semicontinuité supérieure gauche le long des temps d'arrêt de (ξt), nous montrons l'existence d'une super-hedge (τ, ϕ) pour l'acheteur.

Nous étudions le problème du contrôle optimal des équations différentielles partielles stochastiques à champ moyen (équations d'évolution stochastiques) pilotées par un mouvement brownien et une mesure aléatoire de Poisson indépendante, dans le cas d'un contrôle à information partielle. Une nouveauté importante de notre problème est représentée par l'introduction d'opérateurs généraux de champ moyen, agissant à la fois sur le processus d'état contrôlé et sur le processus de contrôle. Nous formulons d'abord un principe de maximum suffisant et nécessaire pour ce type de contrôle. Nous prouvons ensuite l'existence et l'unicité de la solution de telles équations différentielles partielles stochastiques générales à champ moyen en avant et en arrière. Nous appliquons finalement nos résultats pour trouver le contrôle optimal explicite pour un problème de récolte optimale.

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Nous étudions les équations différentielles stochastiques rétroactives (non linéaires) pilotées par un mouvement brownien et une martingale attachée à un saut par défaut avec un processus d'intensité λ = (λ t). Le pilote des BSDEs peut être d'une forme généralisée impliquant un processus singulier à variation finie optionnel. En particulier, nous fournissons un théorème de comparaison et un théorème de comparaison stricte. Dans le cas particulier d'un pilote λ-linéaire généralisé, nous montrons une représentation explicite de la solution, impliquant l'espérance conditionnelle et une semimartingale exponentielle adjointe. Pour cette représentation, nous distinguons le cas où la composante singulière du pilote est prévisible et le cas où elle est seulement optionnelle. Nous appliquons nos résultats au problème de la tarification (non linéaire) des créances contingentes européennes dans un marché imparfait avec défaut. Nous étudions également le cas des créances générant des cashflows intermédiaires, en particulier au moment du défaut, qui sont modélisées par un processus singulier optionnel. Nous donnons un exemple illustrant le cas où le vendeur de l'option européenne est un grand investisseur dont la stratégie de portefeuille peut influencer la probabilité de défaut.

Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en mathématiques financières. La thèse contient deux parties. Dans la première partie, nous développons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés, nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique. Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur de l’équation de Bellman. Dans le premier chapitre, nous résumons quelques résultats utiles du calcul différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret. Le troisième chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu. Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites permettent de justifier quantitativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.

Nous étudions la formation de réseaux pour un ensemble d'institutions financières représentées comme des nœuds. Les liens sont source de revenus, et en même temps ils portent le risque de contagion. La connectivité optimale des nœuds résulte d'un jeu, dans lequel le risque de contagion dépend des choix de tous les nœuds du système. Notre modèle de réseau financier peut être interprété comme un ensemble de banques connectées par des relations de financement, dans lequel le seuil de contagion d'un nœud est représenté par sa capacité de financement externe. Une deuxième interprétation est celle d'un ensemble d'assureurs connectés par des contrats de réassurance, dans lesquels le seuil de contagion est représenté par leur capital. Nos résultats montrent que lorsque la distribution du seuil à travers les nœuds a une variance plus élevée, alors, en équilibre, la connectivité moyenne est en général croissante, mais la probabilité de défaillance des liens diminue. Ceci suggère que la stabilité financière est mieux décrite en termes de mécanisme de formation du réseau qu'en termes de statistiques simples de la topologie du réseau comme la connectivité moyenne.

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Nous étudions les infusions optimales de capitaux propres dans un réseau financier sujet au risque de défaillances contagieuses, qui peuvent être dues à l'insolvabilité ou à des pannes de banque par des créanciers à court terme. Les ruées bancaires peuvent être déclenchées par les défaillances des banques connectées. Sous une information complète sur les liens interbancaires, nous montrons que le problème se réduit à un problème d'optimisation combinatoire. Soumis à des contraintes budgétaires, le gouvernement choisit l'ensemble des coûts minimaux dont la survie induit la stabilité maximale du réseau. Nos résultats démontrent que l'infusion optimale de capitaux propres pourrait atténuer considérablement le risque de contagion des défaillances et stabiliser le système. Dans le cas d'une information partielle sur le réseau, l'objectif des contrôleurs change rapidement, passant de la prévention des faillites à la prévention des attaques des créanciers à court terme.

Nous étudions les stratégies d'évaluation et de supercouverture pour les options de jeu dans un marché imparfait avec défaut. Nous étendons les résultats obtenus par Kifer dans [Game Options, Finance. Stoch., 4 (2000), pp. 443-463] dans le cas d'un modèle de marché parfait au cas d'un marché imparfait avec défaut, lorsque les imperfections sont prises en compte via la non-linéarité de la dynamique de la richesse. Nous introduisons le prix du vendeur de l'option de jeu comme l'infimum des richesses initiales qui permettent au vendeur d'être supercouvert. Nous prouvons que ce prix coïncide avec la fonction de valeur d'un jeu de Dynkin généralisé associé, récemment introduit dans [R. Dumitrescu, M.-C. Quenez, et A. Sulem, Elect. J. Probab., 21 (2016), 64], exprimé avec une espérance non linéaire induite par une EDS arrière non linéaire avec saut de défaut. Nous étudions, par ailleurs, l'existence de stratégies de super-couverture. Nous abordons ensuite le cas de l'ambiguïté sur le modèle - par exemple l'ambiguïté sur la probabilité de défaut - et caractérisons le prix vendeur robuste d'une option de jeu comme la fonction de valeur d'un jeu de Dynkin généralisé mixte. Nous étudions l'existence d'un temps d'annulation et d'une stratégie de négociation qui permettent au vendeur d'être supercouvert, quel que soit le modèle.

Cet article étudie les problèmes de contrôle à champ moyen singulier et les jeux différentiels stochastiques à deux joueurs à champ moyen singulier. On obtient des conditions à la fois suffisantes et nécessaires pour les contrôles optimaux et pour l'équilibre de Nash. Sous certaines hypothèses, les conditions d'optimalité pour le contrôle du champ moyen singulier sont réduites à un problème de Skorohod réfléchi, dont on prouve que la solution existe de manière unique. Les motivations sont données comme la récolte optimale des systèmes stochastiques à champ moyen, les investissements irréversibles optimaux sous incertitude et les jeux d'investissement singuliers à champ moyen. En particulier, un simple jeu d'investissement singulier à champ moyen est étudié, où l'équilibre de Nash existe mais n'est pas unique.

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Dans cette thèse, on considère la modélisation de la loi jointe des statistiques d'ordre, c.à.d. des vecteurs aléatoires avec des composantes ordonnées presque sûrement. La première partie est dédiée à la modélisation probabiliste des statistiques d'ordre d'entropie maximale à marginales fixées. Les marginales étant fixées, la caractérisation de la loi jointe revient à considérer la copule associée. Dans le Chapitre 2, on présente un résultat auxiliaire sur les copules d'entropie maximale à diagonale fixée. Une condition nécessaire et suffisante est donnée pour l'existence d'une telle copule, ainsi qu'une formule explicite de sa densité et de son entropie. La solution du problème de maximisation d'entropie pour les statistiques d'ordre à marginales fixées est présentée dans le Chapitre 3. On donne des formules explicites pour sa copule et sa densité jointe. On applique le modèle obtenu pour modéliser des paramètres physiques dans le Chapitre 4.Dans la deuxième partie de la thèse, on étudie le problème d'estimation non-paramétrique des densités d'entropie maximale des statistiques d'ordre en distance de Kullback-Leibler. Le chapitre 5 décrit une méthode d'agrégation pour des densités de probabilité et des densités spectrales, basée sur une combinaison convexe de ses logarithmes, et montre des bornes optimales non-asymptotiques en déviation. Dans le Chapitre 6, on propose une méthode adaptative issue d'un modèle exponentiel log-additif pour estimer les densités considérées, et on démontre qu'elle atteint les vitesses connues minimax. L'application de cette méthode pour estimer des dimensions des défauts est présentée dans le Chapitre 7.

Une célèbre application financière de la théorie de la dualité convexe donne une relation explicite entre les deux quantités suivantes : (i) La richesse terminale optimale X^*(T) : = X_{\varphi ^*}(T) du problème de maximisation de la U-utilité espérée de la richesse terminale X_{\varphi }(T) générée par les portefeuilles admissibles \varphi (t). 0 \le t \le T sur un marché dont le processus de prix des actifs risqués est modélisé comme une semimartingale. (ii) Le scénario optimal \frac{dQ^*}{dP} du problème dual pour minimiser la valeur V attendue de \frac{dQ}{dP} sur une famille de mesures martingales locales équivalentes Q, où V est la fonction convexe conjuguée de la fonction concave U. Dans cet article, nous considérons des marchés modélisés par des processus d'Itô-Lévy. Dans la première partie, nous utilisons le principe du maximum en théorie du contrôle stochastique pour étendre la relation ci-dessus à une relation dynamique, valable pour tout t \in [0,T]. Nous prouvons en particulier que le processus adjoint optimal pour le problème primaire coïncide avec le processus de densité optimale, et que le processus adjoint optimal pour le problème dual coïncide avec le processus de richesse optimale.

Nous étudions un problème combiné de contrôle optimal/arrêt sous une espérance non linéaire E f induite par une BSDE avec sauts, dans un cadre markovien. La fonction de récompense terminale est seulement supposée être borelienne. La fonction de valeur u associée à ce problème est généralement irrégulière. Nous établissons d'abord un sous-(resp., super-) principe d'optimalité de la programmation dynamique impliquant son enveloppe semi-continue supérieure (resp., inférieure) u * (resp., u *). Ce résultat, appelé principe de programmation dynamique faible (DPP), étend celui obtenu dans [Bouchard et Touzi, SIAM J. Control Optim., 49 (2011), pp. 948-962] dans le cas d'une espérance classique au cas d'une espérance E f et d'une fonction de récompense terminale borélienne. En utilisant ce DPP faible, nous prouvons ensuite que u * (resp., u *) est une sous-(resp., super-) solution de viscosité d'une inégalité variationnelle non linéaire de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Ces actes offrent une sélection d'articles de recherche et d'étude évalués par des pairs, rédigés par certains des plus grands chercheurs internationaux dans les domaines de la finance, de l'énergie, de la stochastique et du risque, qui présentent leurs dernières découvertes sur des problèmes d'actualité. Les articles couvrent les domaines de la modélisation stochastique sur les marchés de l'énergie et les marchés financiers, de la gestion du risque avec des facteurs environnementaux dans une perspective de contrôle stochastique, de l'évaluation et de la couverture des produits dérivés sur les marchés dominés par les énergies renouvelables, et développent tous la théorie de l'analyse stochastique et de la finance mathématique. Les articles ont été présentés lors de la première conférence sur la "Stochastique de l'économie environnementale et financière (SEFE)", faisant partie de l'activité du groupe de recherche SEFE du Centre d'études avancées (CAS) à l'Académie des sciences d'Oslo, en Norvège, pendant l'année universitaire 2014/2015.

Nous introduisons un problème de jeu qui peut être vu comme une généralisation du problème de jeu classique de Dynkin au cas d'une espérance non linéaire ${\cal E}^g$, induite par une équation différentielle stochastique inverse (BSDE) avec sauts à pilote non linéaire $g$. Soit $\xi, \zeta$ deux processus adaptés RCLL avec $\xi \leq \zeta$. Le critérium est donné par $ {\cal J}_{\tau, \sigma}= {\cal E}^g_{0, \tau \wedge \sigma } \left(\xi_{\tau}\textbf{1}_{\{\tau \leq \sigma\}}+\zeta_{\sigma}\textbf{1}_{\sigma<\tau\}\right)$ où $\tau$ et $ \sigma$ sont des temps d'arrêt évalués dans $[0,T]$. Sous la condition de Mokobodzki, nous établissons l'existence d'une fonction de valeur pour ce jeu, c'est-à-dire $\inf_{\sigma}\sup_{\tau} {\cal J}_{\tau, \sigma} = \sup_{\tau} \inf_{\sigma} {\cal J}_{\tau, \sigma}$. Cette valeur peut être caractérisée par une BSDE doublement réfléchie. En utilisant cette caractérisation, nous fournissons quelques nouveaux résultats sur ces équations, tels que des théorèmes de comparaison et des estimations a priori. Lorsque $\xi$ et $\zeta$ sont semi-continus supérieurs à gauche le long des temps d'arrêt, nous prouvons l'existence d'un point selle. Nous étudions également un problème de jeu mixte généralisé lorsque les joueurs ont deux actions : le contrôle continu et l'arrêt. Nous étudions ensuite le jeu de Dynkin généralisé dans un cadre markovien et ses liens avec les inégalités variationnelles intégro-différentielles partielles paraboliques à deux obstacles.

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Dans le présent document on aborde trois divers thèmes liés au contrôle et au calcul stochastiques, qui s'appuient sur la notion d'équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) dirigée par une mesure aléatoire. Les trois premiers chapitres de la thèse traitent des problèmes de contrôle optimal pour différentes catégories de processus markoviens non-diffusifs, à horizon fini ou infini. Dans chaque cas, la fonction valeur, qui est l'unique solution d'une équation intégro-différentielle de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), est représentée comme l'unique solution d'une EDSR appropriée. Dans le premier chapitre, nous contrôlons une classe de processus semi-markoviens à horizon fini. le deuxième chapitre est consacré au contrôle optimal de processus markoviens de saut pur, tandis qu'au troisième chapitre, nous examinons le cas de processus markoviens déterministes par morceaux (PDMPs) à horizon infini. Dans les deuxième et troisième chapitres les équations d'HJB associées au contrôle optimal sont complètement non-linéaires. Cette situation survient lorsque les lois des processus contrôlés ne sont pas absolument continues par rapport à la loi d'un processus donné. Etant donné ce caractère complètement non-linéaire, ces équations ne peuvent pas être représentées par des EDSRs classiques. Dans ce cadre, nous avons obtenu des formules de Feynman-Kac non-linéaires en généralisant la méthode de la randomisation du contrôle introduite par Kharroubi et Pham (2015) pour les diffusions. Ces techniques nous permettent de relier la fonction valeur du problème de contrôle à une EDSR dirigée par une mesure aléatoire, dont une composante de la solution subit une contrainte de signe. En plus, on démontre que la fonction valeur du problème de contrôle originel non dominé coïncide avec la fonction valeur d'un problème de contrôle dominé auxiliaire, exprimé en termes de changements de mesures équivalentes de probabilité. Dans le quatrième chapitre, nous étudions une équation différentielle stochastique rétrograde à horizon fini, dirigée par une mesure aléatoire à valeurs entières sur $R_+ times E$, o`u $E$ est un espace lusinien, avec compensateur de la forme $nu(dt, dx) = dA_t phi_t(dx)$. Le générateur de cette équation satisfait une condition de Lipschitz uniforme par rapport aux inconnues. Dans la littérature, l'existence et unicité pour des EDSRs dans ce cadre ont été établies seulement lorsque $A$ est continu ou déterministe. Nous fournissons un théorème d'existence et d'unicité même lorsque $A$ est un processus prévisible, non décroissant, continu à droite. Ce résultat s’applique par exemple, au cas du contrôle lié aux PDMPs. En effet, quand $mu$ est la mesure de saut d'un PDMP sur un domaine borné, $A$ est prévisible et discontinu. Enfin, dans les deux derniers chapitres de la thèse nous traitons le calcul stochastique pour des processus discontinus généraux. Dans le cinquième chapitre, nous développons le calcul stochastique via régularisations des processus à sauts qui ne sont pas nécessairement des semimartingales. En particulier nous poursuivons l'étude des processus dénommés de Dirichlet faibles, dans le cadre discontinu. Un tel processus $X$ est la somme d'une martingale locale et d'un processus adapté $A$ tel que $[N, A] = 0$, pour toute martingale locale continue $N$. Pour une fonction $u: [0, T] times R rightarrow R$ de classe $C^{0,1}$ (ou parfois moins), on exprime un développement de $u(t, X_t)$, dans l'esprit d'une généralisation du lemme d'Itô, lequel vaut lorsque $u$ est de classe $C^{1,2}$. Le calcul est appliqué dans le sixième chapitre à la théorie des EDSRs dirigées par des mesures aléatoires. Dans de nombreuses situations, lorsque le processus sous-jacent $X$ est une semimartingale spéciale, ou plus généralement, un processus de Dirichlet spécial faible, nous identifions les solutions des EDSRs considérées via le processus $X$ et la solution $u$ d’une EDP intégro-différentielle associée.

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Nous étudions les problèmes de contrôle stochastique optimal de systèmes généraux couplés d'équations différentielles stochastiques avant-arrière avec sauts. Au moyen de la formule d'Ito-Ventzell, le système est transformé en une équation différentielle partielle stochastique inverse contrôlée. En utilisant un principe de comparaison pour de telles équations, nous obtenons une équation générale stochastique de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) pour la fonction de valeur du problème de contrôle. Dans le cas du contrôle optimal markovien des diffusions par saut, cette équation se réduit à l'équation classique de HJB. Les résultats sont appliqués à l'étude de la minimisation du risque sur les marchés financiers.

Nous considérons un réseau financier noyau-périphérie stylisé dans lequel les liens conduisent à la création de projets dans l'économie extérieure mais rendent les banques sujettes au risque de contagion. Le contrôleur cherche à maximiser, sous contraintes budgétaires, la valeur du système financier définie comme le montant total des projets externes. Sous information partielle sur les liens interbancaires, révélée en conjonction avec la propagation de la contagion, on montre que le problème de contrôle optimal devient un problème de décision markovien. Nous trouvons la politique d'intervention optimale en utilisant la programmation dynamique. Nos résultats numériques montrent que la valeur du système dépend de la connectivité d'une manière non monotone : elle augmente d'abord avec la connectivité, puis diminue avec la connectivité. La valeur maximale atteinte dépend de manière critique du budget du contrôleur et de la disponibilité d'une stratégie d'intervention adaptée. De plus, nous montrons que pour les systèmes hautement connectés, il est optimal d'augmenter le taux d'intervention dans les banques périphériques plutôt que dans les banques centrales. Mots clés : Risque systémique, Contrôle optimal, Réseaux financiers.

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Nous étudions un système couplé d'équations différentielles stochastiques contrôlées (EDS) pilotées par un mouvement brownien et une mesure aléatoire de Poisson compensée, constitué d'une EDS directe dans le processus inconnu X(t) et d'une EDS inverse à champ moyen prédictif (EDSB) dans les inconnues Y(t),Z(t),K(t,⋅). Le pilote de la BSDE au temps t peut dépendre non seulement des processus inconnus Y(t),Z(t),K(t,⋅), mais aussi de la valeur future prédite Y(t+δ), définie par l'espérance conditionnelle A(t):=E[Y(t+δ)|Ft]. Nous donnons un principe de maximum suffisant et nécessaire pour le contrôle optimal de tels systèmes, puis nous appliquons ces résultats aux deux problèmes suivants : (i) Portefeuille optimal dans un marché financier avec un processus de prix des actifs influencé par les initiés. (ii) Taux de consommation optimal à partir d'un flux de trésorerie modélisé comme un SDE Itô-Lévy géométrique, avec respect de l'utilité récursive prédictive.acceptedVersio.

Nous étudions le problème d'arrêt optimal pour les mesures de risque dynamiques représentées par des équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts et sa relation avec les BSDE réfléchies (RBSDE). Nous fournissons d'abord des théorèmes généraux d'existence, d'unicité et de comparaison pour les RBSDE avec sauts dans le cas d'un obstacle adapté RCLL. Nous montrons ensuite que la fonction de valeur du problème d'arrêt optimal est caractérisée comme la solution d'une RBSDE. L'existence d'un temps d'arrêt optimal est obtenue lorsque l'obstacle est semi-continu à gauche le long des temps d'arrêt. Enfin, nous étudions les problèmes d'arrêt optimal robustes liés au cas de l'ambiguïté du modèle.

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Nous étudions le problème d'arrêt optimal pour des mesures de risque dynamiques représentées par des équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts et sa relation avec les BSDE réfléchies (RBSDE). La position financière est donnée par un processus adapté RCLL. Nous énonçons d'abord quelques propriétés des RBSDEs avec sauts lorsque le processus d'obstacle est uniquement RCLL. Nous prouvons ensuite que la fonction de valeur du problème d'arrêt optimal est caractérisée comme la solution d'un RBSDE. L'existence de temps d'arrêt optimaux est obtenue lorsque l'obstacle est semi-continu à gauche le long des temps d'arrêt. Enfin, nous étudions les problèmes d'arrêt optimal robustes liés au cas avec ambiguïté du modèle et leurs liens avec les problèmes mixtes de contrôle/arrêt optimal. Nous prouvons que, sous certaines hypothèses, la fonction de valeur est égale à la solution d'une RBSDE. Nous étudions ensuite l'existence de points selle lorsque l'obstacle est semi-continu à gauche le long des temps d'arrêt.

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Nous étudions le problème d'arrêt optimal pour une mesure de risque dynamique monotone induite par une équation différentielle stochastique à rebours avec sauts dans le cas markovien. Nous montrons que la fonction de valeur est une solution de viscosité d'un problème d'obstacle pour une inégalité variationnelle intégro-différentielle partielle et nous fournissons un résultat d'unicité pour ce problème d'obstacle.

Nous étudions le contrôle optimal de la contagion interbancaire, lorsque le gouvernement dispose d'une information complète sur les expositions interbancaires. Les institutions financières sont sujettes au risque d'insolvabilité canalisé par le réseau d'expositions et au risque de liquidité par les pannes bancaires. Le gouvernement cherche à maximiser, sous contraintes budgétaires, la valeur totale du système financier ou, de manière équivalente, à minimiser la perte de poids mort induite par les retraits de banques. Le problème peut être exprimé comme un problème d'optimisation convexe avec un aspect combinatoire, traitable lorsque l'ensemble des banques éligibles à l'intervention est suffisamment petit, mais réaliste.

Cet article est principalement un aperçu des développements récents de la recherche concernant les méthodes de minimisation du risque sur les marchés financiers modélisés par des processus d'Itô-Lévy, mais il contient également de nouveaux résultats sur le principe du maximum stochastique sous-jacent. Le concept d'une mesure de risque convexe est introduit, et deux représentations de telles mesures sont données, à savoir : (i) la représentation duale et (ii) la représentation au moyen d'équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts. En fonction de la représentation, le problème correspondant de portefeuille à risque minimal est étudié, soit dans le contexte des jeux différentiels stochastiques, soit dans celui du contrôle optimal des EDS avant-arrière. Le concept connexe d'utilité récursive est également introduit, et les problèmes correspondants de maximisation de l'utilité récursive sont étudiés. Dans les deux cas, le principe du maximum pour le contrôle stochastique optimal joue un rôle crucial, et dans cet article, nous prouvons une version de ce principe qui est plus forte que ce qui était connu auparavant. La théorie est illustrée par des exemples, montrant explicitement le portefeuille minimisant le risque dans certains cas. Afrika Matematika mai 2014, disponible en ligne le 18 mai 2014 La publication finale est disponible sur Springe.

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Nous considérons un modèle de marché financier avec un seul actif risqué dont le processus de prix évolue selon un saut de diffusion général avec des coefficients localement bornés et où les participants au marché n'ont accès qu'à un flux d'information partiel $(\E_t)_{t\geq0}\subseteq(\F_t)_{t\geq0}$. Pour toute fonction d'utilité, nous prouvons que le marché financier à information partielle est localement viable, dans le sens où le problème de maximisation de l'utilité espérée de la richesse terminale a une solution jusqu'à un temps d'arrêt, si et seulement si l'utilité marginale de la richesse terminale est la densité d'une mesure martingale équivalente à l'information partielle (PIEMM). Ce résultat d'équivalence est prouvé de manière constructive en s'appuyant sur les principes du maximum pour le contrôle stochastique sous information partielle. Nous montrons ensuite que le marché financier est globalement viable si et seulement s'il existe un déflateur martingale local à information partielle (DMLIP), qui peut être construit explicitement. Dans le cas de coefficients bornés, ce dernier s'avère être le processus de densité d'un PIEMM global. Nous illustrons nos résultats à l'aide d'un exemple explicite.

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Nous étudions les problèmes de contrôle stochastique optimal avec sauts sous l'incertitude du modèle. Nous réécrivons ces problèmes comme des jeux différentiels stochastiques d'équations différentielles stochastiques avant-arrière. Nous prouvons des principes généraux de maximum stochastique pour ces jeux, à la fois dans le cas d'une somme nulle (en trouvant des conditions pour les points de selle) et pour les jeux à somme non nulle (en trouvant des conditions pour les équilibres de Nash). Nous appliquons ensuite ces résultats pour étudier les problèmes de consommation optimale de portefeuille robuste avec pénalité. Nous établissons une connexion entre la viabilité du marché sous l'incertitude du modèle et les mesures martingales équivalentes. Dans le cas d'une pénalité entropique, nous prouvons un théorème général de réduction, indiquant qu'un problème de consommation optimale de portefeuille sous incertitude de modèle peut être réduit à un problème classique de consommation de portefeuille sous certitude de modèle, avec un changement dans la fonction d'utilité, et nous relions cela au contrôle sensible au risque. En particulier, ce résultat montre que l'incertitude du modèle augmente l'indice d'aversion au risque d'Arrow-Pratt. Publié en ligne : 01 Sep 2012 La publication finale est disponible à Springe.

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Nous considérons des problèmes généraux de contrôle singulier pour des champs aléatoires donnés par une équation différentielle partielle stochastique (SPDE). Nous montrons que, sous certaines conditions, le contrôle singulier optimal peut être identifié avec la solution d'un système couplé d'EDPS et d'une EDPS réfléchie (EDPSR). A titre d'illustration, nous appliquons le résultat à un problème de récolte optimale singulière d'une population dont la densité est modélisée comme une équation de réaction-diffusion stochastique. L'existence et l'unicité des solutions des RBSPDE sont établies, ainsi que des théorèmes de comparaison. Nous établissons ensuite une relation entre les RBSPDEs et l'arrêt optimal des SPDEs, et nous appliquons le résultat à un problème d'arrêt minimisant le risque.

Nous étudions le problème d'arrêt optimal pour les mesures de risque dynamiques représentées par des équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts et sa relation avec les BSDE réfléchies (RBSDE). Nous fournissons d'abord des théorèmes généraux d'existence, d'unicité et de comparaison pour les RBSDE avec sauts dans le cas d'un obstacle adapté RCLL. Nous montrons ensuite que la fonction de valeur du problème d'arrêt optimal est caractérisée comme la solution d'une RBSDE. L'existence d'un temps d'arrêt optimal est obtenue lorsque l'obstacle est semi-continu à gauche le long des temps d'arrêt. Enfin, nous étudions les problèmes d'arrêt optimal robustes liés au cas de l'ambiguïté du modèle.

Nous étudions les BSDE réfléchis à double barrière (DBBSDE) avec sauts et barrières RCLL, et leurs liens avec les jeux de Dynkin généralisés. Nous fournissons des résultats d'existence et d'unicité et prouvons que pour tout pilote Lipschitz, la solution de la DBBSDE coïncide avec la fonction de valeur d'un problème de jeu, qui peut être vu comme une généralisation du problème classique de Dynkin au cas des attentes conditionnelles $g$. En utilisant cette caractérisation, nous prouvons quelques nouveaux résultats sur les DBBSDE avec sauts, tels que des théorèmes de comparaison et des estimations a priori.

Nous étudions les liens entre les équations différentielles stochastiques rétrospectives réfléchies (BSDE réfléchies) avec sauts et les inégalités variationnelles intégro-différentielles partielles (PIDVI). Dans un cadre markovien, nous montrons que la solution de la BSDE réfléchie correspond à l'unique solution de viscosité de la PIDVI. Nous appliquons ces résultats à un problème d'arrêt optimal pour des mesures de risque dynamiques induites par des BSDE avec sauts.

Nous étudions les problèmes de contrôle stochastique optimal de systèmes généraux couplés d'équations di érentielles stochastiques avant-arrière avec sauts. Au moyen de la formule d'It^o-Ventzell, le système est transformé en une équation di érentielle partielle stochastique inverse contrôlée (BSPDE) avec sauts. En utilisant un principe de comparaison pour de telles BSPDE, nous obtenons une équation générale stochastique de Hamilton-Jacobi- Bellman (HJB) pour de tels problèmes de contrôle. Dans le cas markovien classique avec contrôle optimal des di usions de saut, l'équation se réduit à l'équation classique de HJB. Les résultats sont appliqués à l'étude de la minimisation du risque dans les marchés nanciers.

Une célèbre application financière de la théorie de la dualité convexe donne une relation explicite entre les deux quantités suivantes : $$\text{Unknown environment 'myenumerate'}$$ Dans cet article, nous considérons des marchés modélisés par des processus d'Itô-Lévy, et dans la première partie, nous donnons une nouvelle preuve du résultat ci-dessus dans ce cadre, basée sur le principe du maximum dans la théorie du contrôle stochastique. Un avantage de notre approche est qu'elle donne également une relation explicite entre le portefeuille optimal $\varphi^*$ et la mesure optimale $Q^*$, en termes d'équations différentielles stochastiques rétroactives. Dans la deuxième partie, nous présentons des versions robustes (incertitude du modèle) des problèmes d'optimisation dans (i) et (ii), et nous prouvons une relation entre eux. En particulier, nous montrons explicitement comment passer de la solution d'un des problèmes à la solution de l'autre. Nous illustrons les résultats avec des exemples explicites.

Dans le cas brownien, les liens entre les mesures de risque dynamiques et les BSDE ont été largement étudiés. Dans cet article, nous étudions le cas avec sauts. Nous étudions d'abord les propriétés des BSDE pilotées par un mouvement brownien et une mesure aléatoire de Poisson. En particulier, nous fournissons un théorème de comparaison, sous des hypothèses assez faibles, étendant celui de Royer \cite{R}. Nous donnons ensuite quelques propriétés des mesures de risque dynamiques induites par les BSDE avec sauts.

Nous étudions un programme gouvernemental d'infusion d'actions privilégiées visant à atténuer la contagion interbancaire. Les institutions financières sont sujettes au risque d'insolvabilité canalisé par le réseau de la dette interbancaire et au risque de liquidité de financement. Le gouvernement cherche à maximiser, sous contrainte budgétaire, la valeur nette totale du système financier ou, de manière équivalente, à minimiser les pertes de poids mort induites par les pannes bancaires. On suppose que le gouvernement dispose d'une information complète sur la dette interbancaire. Le problème de la quantification du montant optimal des infusions peut être exprimé comme un problème d'optimisation combinatoire convexe, traçable lorsque l'ensemble des banques éligibles à l'intervention (banques principales) est suffisamment petit, mais réaliste. Nous constatons qu'aucune banque n'a intérêt à se retirer du programme, lorsque le taux de dividende privilégié versé au gouvernement est égal au rendement externe du budget d'intervention du gouvernement. D'autre part, il peut être optimal pour le gouvernement de faire des infusions dans un sous-ensemble strict de banques principales.

Cette thèse porte sur l'optimisation des portefeuilles d'actifs soumis au risque de défaut. La crise actuelle nous a permis de comprendre qu'il est important de tenir compte du risque de défaut pour pouvoir donner la valeur réelle de son portefeuille. En effet dûs aux différents échanges des acteurs du marché financier, le système financier est devenu un réseau de plusieurs connections dont il est indispensable d'identifier pour évaluer le risque d'investir dans un actif financier. Dans cette thèse, nous définissons un système financier avec un nombre fini de connections et nous proposons un modèle de la dynamique d'un actif dans un tel système en tenant compte des connections entre les différents actifs. La mesure de la corrélation sera faite à travers l'intensité de sauts des processus. A l'aide des Equations stochastiques Différentielles Rétrogrades (EDSR), nous déduirons le prix d'un actif contingent et nous tiendrons compte du risque de modèle afin de mieux évaluer la consommation et la richesse optimal si on investit dans un tel marché.

Cette thèse donne deux applications du calcul de Malliavin pour les processus de sauts. Dans la première partie, nous traitons la minoration de la densité des diffusions à sauts dont la partie continue est dirigée par un mouvement Brownien. Pour cela, nous utilisons une formule d'intégration par parties conditionnelle basée sur le mouvement Brownien uniquement. Nous traitons ensuite le calcul d'options financières dont le prix du sous-jacent est un processus à sauts pur. Dans la deuxième partie, nous développons un calcul abstrait du type Malliavin basé sur des variables aléatoires non indépendantes, de densité conditionnelle discontinue. Nous établissons une formule d'intégration par parties que nous appliquons aux amplitudes et temps de sauts des processus à sauts considérés. Dans la troisième partie, nous utilisons cette intégration par parties pour calculer le Delta d'options européennes et asiatiques et le prix et le Delta d'options américaines.

Nous étudions des questions liées à l'évaluation et à la couverture des dérivés de crédit sur panier. En particulier, nous nous intéressons, d'une part, à la modélisation de la corrélation de défaut, et d'autre part, à l'incomplétude de marché introduite par le risque de corrélation. Cette thèse contribue également à la littérature sur les méthodes numériques d'évaluation des produits sur panier. Dans le premier chapitre, on étudie l'approche des diffusions à sauts conditionnels et l'impact du grossissement de filtrations sur la dynamique des processus d'intensité. Le deuxième chapitre est consacrée à la copule de Marshall-Olkin. On effectue une étude détaillée de ses propriétés, ainsi que de la paramétrisation de cette structure de corrélation. Dans le troisième chapitre, on développe des méthodes semi-analytiques afin d'évaluer des dérivés de crédit sur panier dans un modèle de Marshall-Olkin. Dans le quatrième chapitre, on résout le problème de couverture des produits sur panier. Enfin, dans le cinquième chapitre, on analyse le risque de corrélation qu'on trouve dans une nouvelle génération de produits connus sous le nom de CDO-au-carré.

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La première partie est consacrée au contrôle optimal stochastique et impulsionnel. Nous proposons deux algorithmes pour résoudre numériquement des inéquations Quasi Variationnelles qui apparaissant dans un problème de gestion de portefeuille avec coûts de transaction fixes et proportionnels. Dans la deuxième partie nous appliquons le calcul de Malliavin au calcul des sensibilités. Nous étudions des processus de sauts purs et nous établissons des formules d’intégration par partie à l’aide des densités des amplitudes de sauts que nous supposons différentiables. Ensuite nous affaiblissons l’hypothèse sur les densités en les supposant différentiables par morceaux. Ainsi nous utilisons la densité des temps de sauts pour établir des formules d’IPP. Nous étudions aussi des modèles de diffusons continues à plusieurs facteurs. L’ellipticité de la diffusion est nécessaire pour l’approche classique du calcul de Malliavin. Pour les options européennes nous établissons plusieurs IPP indépendamment de l’ellipticité de la diffusion, à l’aide d’autres variables qui agrègent la diffusion multidimensionnelle et qui réduisent la dimension de la matrice covariance de Malliavin. Dans le dernier chapitre nous étudions le calibrage de la volatilité locale par minimisation de l’entropie relative. Il s’agit de résoudre un problème de contrôle stochastique. Nous proposons des améliorations aux algorithmes déjà existants.

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Cette thèse porte sur l'étude de la couverture à temps discret des options européennes. Dans la première partie, on introduit des restrictions de couverture dans le modèle de black-scholes : on suppose que le market-maker ne peut se couvrir qu'un nombre maximum fixe de fois à des instants aléatoires de son choix. On identifie la stratégie qui minimise la variance de l'erreur de couverture. On montre que la variance minimale est solution d'une suite de problèmes d'arrêt optimal qui conduisent à des inéquations variationnelles (i. V. ). Via la technique des solutions de viscosité, on étudie l'existence et l'unicité de solutions de ces i. V. Et on montre la convergence de la solution du problème discretise par la méthode des différences finies vers la solution du problème continu. Enfin, on étend ces résultats à d'autres critères. Dans la deuxième partie, on détermine la plus petite richesse initiale nécessaire pour surcouvrir l'option dans le modèle de black-scholes dans le contexte réel suivant : le market-maker ne peut se couvrir qu'à des instants aléatoires de son choix. Lorsque le nombre de couvertures est fixe, on montre que ce prix correspond à la stratégie buy-and-hold pour un call, ou la stratégie correspondante pour toute option avec un payoff continue. Dans le cas ou le nombre peut dépendre de la trajectoire du spot et que le delta de l'option de black-scholes de l'actif contingent est un processus à variation finie (ce qui exclut toutes les options standards en général), on montre que le plus petit prix est le prix de black-scholes de l'option.

L'auteur propose un modèle général alternatif aux modèles gaussiens classiques. Ce modèle s'appuie sur les processus alpha-stables ou processus de Levy. Ces processus présentent de nombreuses caractéristiques importantes : occurrence des grands évènements bien plus grandes (lois à queue épaisse), asymétrie des hausses et des baisses, autosimilarité en accord avec les mesures statistiques, prise en compte du smile de volatilité. La thèse présente un ensemble complet de solutions analytiques et numériques permettant une implémentation et un calcul effectifs associés à l'utilisation de ces processus. Elle propose en outre une formule fermée de pricing d'option de change, extensible aux actions et aux taux d'intérêts, et étudie différentes stratégies d'utilisation : arbitrage sur le smile de volatilité, amélioration des couts de gestion de couverture.