Jeux de Dynkin généralisés et BSDE à double réflexion avec sauts.

Résumé Nous introduisons un problème de jeu qui peut être vu comme une généralisation du problème de jeu classique de Dynkin au cas d'une espérance non linéaire ${\cal E}^g$, induite par une équation différentielle stochastique inverse (BSDE) avec sauts à pilote non linéaire $g$. Soit $\xi, \zeta$ deux processus adaptés RCLL avec $\xi \leq \zeta$. Le critérium est donné par $ {\cal J}_{\tau, \sigma}= {\cal E}^g_{0, \tau \wedge \sigma } \left(\xi_{\tau}\textbf{1}_{\{\tau \leq \sigma\}}+\zeta_{\sigma}\textbf{1}_{\sigma<\tau\}\right)$ où $\tau$ et $ \sigma$ sont des temps d'arrêt évalués dans $[0,T]$. Sous la condition de Mokobodzki, nous établissons l'existence d'une fonction de valeur pour ce jeu, c'est-à-dire $\inf_{\sigma}\sup_{\tau} {\cal J}_{\tau, \sigma} = \sup_{\tau} \inf_{\sigma} {\cal J}_{\tau, \sigma}$. Cette valeur peut être caractérisée par une BSDE doublement réfléchie. En utilisant cette caractérisation, nous fournissons quelques nouveaux résultats sur ces équations, tels que des théorèmes de comparaison et des estimations a priori. Lorsque $\xi$ et $\zeta$ sont semi-continus supérieurs à gauche le long des temps d'arrêt, nous prouvons l'existence d'un point selle. Nous étudions également un problème de jeu mixte généralisé lorsque les joueurs ont deux actions : le contrôle continu et l'arrêt. Nous étudions ensuite le jeu de Dynkin généralisé dans un cadre markovien et ses liens avec les inégalités variationnelles intégro-différentielles partielles paraboliques à deux obstacles.