Calcul et combinatoire en dynamique, stochastique et contrôle.

Résumé Nous étudions les équations différentielles stochastiques rétroactives (non linéaires) pilotées par un mouvement brownien et une martingale attachée à un saut par défaut avec un processus d'intensité λ = (λ t). Le pilote des BSDEs peut être d'une forme généralisée impliquant un processus singulier à variation finie optionnel. En particulier, nous fournissons un théorème de comparaison et un théorème de comparaison stricte. Dans le cas particulier d'un pilote λ-linéaire généralisé, nous montrons une représentation explicite de la solution, impliquant l'espérance conditionnelle et une semimartingale exponentielle adjointe. Pour cette représentation, nous distinguons le cas où la composante singulière du pilote est prévisible et le cas où elle est seulement optionnelle. Nous appliquons nos résultats au problème de la tarification (non linéaire) des créances contingentes européennes dans un marché imparfait avec défaut. Nous étudions également le cas des créances générant des cashflows intermédiaires, en particulier au moment du défaut, qui sont modélisées par un processus singulier optionnel. Nous donnons un exemple illustrant le cas où le vendeur de l'option européenne est un grand investisseur dont la stratégie de portefeuille peut influencer la probabilité de défaut.