Un principe de programmation dynamique faible pour un contrôle optimal combiné arrêt/stochastique avec ${\cal E}^{f}$-expectations.

Résumé Nous étudions un problème combiné de contrôle optimal/arrêt sous une espérance non linéaire E f induite par une BSDE avec sauts, dans un cadre markovien. La fonction de récompense terminale est seulement supposée être borelienne. La fonction de valeur u associée à ce problème est généralement irrégulière. Nous établissons d'abord un sous-(resp., super-) principe d'optimalité de la programmation dynamique impliquant son enveloppe semi-continue supérieure (resp., inférieure) u * (resp., u *). Ce résultat, appelé principe de programmation dynamique faible (DPP), étend celui obtenu dans [Bouchard et Touzi, SIAM J. Control Optim., 49 (2011), pp. 948-962] dans le cas d'une espérance classique au cas d'une espérance E f et d'une fonction de récompense terminale borélienne. En utilisant ce DPP faible, nous prouvons ensuite que u * (resp., u *) est une sous-(resp., super-) solution de viscosité d'une inégalité variationnelle non linéaire de Hamilton-Jacobi-Bellman.