Une approche de contrôle stochastique de la dualité robuste dans la maximisation de l'utilité.

Résumé Une célèbre application financière de la théorie de la dualité convexe donne une relation explicite entre les deux quantités suivantes : \begin{myenumerate} \item La richesse terminale optimale $X^*(T) : = X_{\varphi^*}(T)$ du problème classique de maximisation de la $U$-utilité espérée de la richesse terminale $X_{\varphi}(T)$ générée par les portefeuilles admissibles $\varphi(t). 0 \leq t \leq T$ dans un marché où le processus de prix des actifs risqués est modélisé comme une semi-martingale \item Le scénario optimal $\frac{dQ^*}{dP}$ du problème dual visant à minimiser la valeur attendue $V$ de $\frac{dQ}{dP}$ sur une famille de mesures de martingales locales équivalentes $Q$. Ici, $V$ est la fonction duale convexe de la fonction concave $U$. \end{myenumerate} Dans cet article, nous considérons des marchés modélisés par des processus d'Itô-Lévy, et dans la première partie, nous donnons une nouvelle preuve du résultat ci-dessus dans ce cadre, basée sur le principe du maximum dans la théorie du contrôle stochastique. Un avantage de notre approche est qu'elle donne également une relation explicite entre le portefeuille optimal $\varphi^*$ et la mesure optimale $Q^*$, en termes d'équations différentielles stochastiques rétroactives. Dans la deuxième partie, nous présentons des versions robustes (incertitude du modèle) des problèmes d'optimisation dans (i) et (ii), et nous prouvons une relation entre eux. En particulier, nous montrons explicitement comment passer de la solution d'un des problèmes à la solution de l'autre. Nous illustrons les résultats avec des exemples explicites.