Dualité dynamique robuste dans la maximisation de l'utilité.

Résumé Une célèbre application financière de la théorie de la dualité convexe donne une relation explicite entre les deux quantités suivantes : (i) La richesse terminale optimale X^*(T) : = X_{\varphi ^*}(T) du problème de maximisation de la U-utilité espérée de la richesse terminale X_{\varphi }(T) générée par les portefeuilles admissibles \varphi (t). 0 \le t \le T sur un marché dont le processus de prix des actifs risqués est modélisé comme une semimartingale. (ii) Le scénario optimal \frac{dQ^*}{dP} du problème dual pour minimiser la valeur V attendue de \frac{dQ}{dP} sur une famille de mesures martingales locales équivalentes Q, où V est la fonction convexe conjuguée de la fonction concave U. Dans cet article, nous considérons des marchés modélisés par des processus d'Itô-Lévy. Dans la première partie, nous utilisons le principe du maximum en théorie du contrôle stochastique pour étendre la relation ci-dessus à une relation dynamique, valable pour tout t \in [0,T]. Nous prouvons en particulier que le processus adjoint optimal pour le problème primaire coïncide avec le processus de densité optimale, et que le processus adjoint optimal pour le problème dual coïncide avec le processus de richesse optimale.