Contrôle optimal des SDE McKean-Vlasov dépendant du chemin en dimension infinie.

Résumé Nous étudions le contrôle optimal d'équations de McKean-Vlasov dépendantes du chemin et évaluées dans des espaces de Hilbert, motivées par des modèles de champs moyens non markoviens pilotés par des EDP stochastiques. Nous établissons d'abord le caractère bien posé de l'équation d'état, puis nous prouvons le principe de programmation dynamique (DPP) dans un tel cadre général. La propriété cruciale d'invariance des lois de la fonction de valeur V est rigoureusement obtenue, ce qui signifie que V peut être considéré comme une fonction sur l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues évaluées dans un espace de Hilbert. Nous définissons ensuite une notion de dérivée de mesure par chemin, qui étend la dérivée de Wasserstein due à Lions [41], et prouvons une formule d'Itô fonctionnelle connexe dans l'esprit de Dupire [24] et de Wu et Zhang [51]. L'équation de Bellman principale est dérivée de la DPP au moyen d'une notion appropriée de solution de viscosité. Nous fournissons différentes formulations et simplifications d'une telle équation de Bellman notamment dans le cas particulier où il n'y a pas de dépendance à la loi de contrôle.