COSSO Andrea

Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de viscosité de Crandall-Lions des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman dans l'espace des chemins continus, associées au contrôle optimal des EDS dépendant du chemin. Ceci semble être le premier résultat d'unicité dans un tel contexte. Plus précisément, comme dans l'article fondateur de P.L. Lions, la preuve de notre résultat principal, c'est-à-dire le théorème de comparaison, est basée sur le fait que la fonction de valeur est plus grande que toute sous-solution de viscosité et plus petite que toute supersolution de viscosité. Un tel résultat, couplé à la preuve que la fonction de valeur est une solution de viscosité (basée sur le principe de programmation dynamique, que nous prouvons), implique que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La preuve du théorème de comparaison dans l'article de P.L. Lions, repose sur des résultats de régularité qui manquent dans le présent contexte infini-dimensionnel, ainsi que sur la compacité locale de l'espace sous-jacent fini-dimensionnel. Nous surmontons ces difficultés techniques non triviales en introduisant une procédure d'approximation appropriée et une fonction lisse de type jauge, qui permet de générer des maxima et des minima par une version appropriée de la généralisation de Borwein-Preiss du principe variationnel d'Ekeland sur l'espace des chemins continus.

Nous étudions l'équation de Bellman dans l'espace de Wasserstein qui apparaît dans l'étude des problèmes de contrôle du champ moyen, à savoir les problèmes de contrôle optimal stochastique pour les processus de diffusion de McKean-Vlasov. En utilisant la notion standard de solution de viscosité à la Crandall-Lions étendue à notre cadre de Wasserstein, nous prouvons un résultat de comparaison sous des conditions générales, qui, couplé au principe de programmation dynamique, implique que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Bellman maître. Il s'agit du premier résultat d'unicité dans un tel contexte du second ordre. Les arguments classiques utilisés dans les cas standard d'équations dans des espaces à dimensions finies ou dans des espaces de Hilbert séparables à dimensions infinies ne s'étendent pas au présent cadre, en raison de la nature maladroite de l'espace de Wasserstein sous-jacent. La stratégie adoptée est basée sur des approximations en dimension finie de la fonction de valeur obtenue en termes de jeu coopératif à n joueurs, et sur la construction d'une fonction de type jauge lisse, construite à partir d'une régularisation d'une estimation sharpe de la métrique de Wasserstein. Une telle fonction de type jauge est utilisée pour générer des maxima/minima par une extension appropriée de la généralisation de Borwein-Preiss du principe variationnel d'Ekeland sur l'espace de Wasserstein.

Nous étudions le contrôle optimal d'équations de McKean-Vlasov dépendantes du chemin et évaluées dans des espaces de Hilbert, motivées par des modèles de champs moyens non markoviens pilotés par des EDP stochastiques. Nous établissons d'abord le caractère bien posé de l'équation d'état, puis nous prouvons le principe de programmation dynamique (DPP) dans un tel cadre général. La propriété cruciale d'invariance des lois de la fonction de valeur V est rigoureusement obtenue, ce qui signifie que V peut être considéré comme une fonction sur l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues évaluées dans un espace de Hilbert. Nous définissons ensuite une notion de dérivée de mesure par chemin, qui étend la dérivée de Wasserstein due à Lions [41], et prouvons une formule d'Itô fonctionnelle connexe dans l'esprit de Dupire [24] et de Wu et Zhang [51]. L'équation de Bellman principale est dérivée de la DPP au moyen d'une notion appropriée de solution de viscosité. Nous fournissons différentes formulations et simplifications d'une telle équation de Bellman notamment dans le cas particulier où il n'y a pas de dépendance à la loi de contrôle.

Nous formulons un modèle d'équilibre des échanges intrajournaliers sur les marchés de l'électricité. Les agents font face à des contraintes d'équilibre entre la consommation de leurs clients plus les ventes intrajournalières et leur production plus les achats intrajournaliers. Ils ont une prévision continuellement mise à jour de la consommation de leurs clients à l'échéance avec une erreur de volatilité décroissante. Les prévisions sont sujettes au bruit idiosyncratique ainsi qu'au bruit commun (météo). Les capacités de production des agents sont soumises à des pannes aléatoires indépendantes, qui sont chacune modélisées par une chaîne de Markov. Le prix d'équilibre est défini comme le prix qui minimise le coût d'échange plus le coût de déséquilibre de chaque agent et qui satisfait la condition habituelle de compensation du marché. L'existence et l'unicité de l'équilibre sont prouvées, et nous montrons que le prix d'équilibre et les stratégies d'échange optimales sont des martingales. Les principales conclusions économiques sont les suivantes. (i) Lorsqu'il n'y a pas d'incertitude sur la production, il est démontré que le prix du marché est une combinaison convexe du coût marginal prévu de chaque agent, avec des poids déterministes. De plus, le prix du marché d'équilibre suit le modèle d'Almgren et Chriss et nous identifions la partie fondamentale ainsi que l'impact permanent sur le marché. Il s'avère que l'hétérogénéité entre les agents est une condition nécessaire pour que l'effet de Samuelson se vérifie. (ii) Lorsqu'il y a une incertitude de production, la volatilité des prix devient stochastique mais converge vers le cas sans incertitude de production lorsque le nombre d'agents augmente à l'infini. De plus, sur un cas à deux agents, nous montrons que les pannes potentielles d'un producteur à faible coût marginal réduisent sa position de vente.

Nous nous intéressons au développement d'une théorie des solutions de viscosité à la Crandall-Lions pour les équations aux dérivées partielles (EDP) dépendantes du chemin, à savoir les EDP dans l'espace des chemins continus C([0, T ]. R^d). Les EDP dépendantes du chemin peuvent jouer un rôle central dans l'étude de certaines classes de problèmes de contrôle optimal, comme par exemple les problèmes de contrôle optimal avec retard. Typiquement, ils n'admettent pas une solution lisse satisfaisant l'équation HJB correspondante au sens classique, il est donc naturel de chercher une notion de solution plus faible. Bien que d'autres notions de solution généralisée aient été proposées dans la littérature, l'extension du cadre de Crandall-Lions au cadre dépendant du chemin reste un problème ouvert. La question de l'unicité des solutions, qui est la question la plus délicate, sera basée sur les premières idées de la théorie des solutions de viscosité et une variante appropriée du principe variationnel d'Ekeland. Cette dernière est basée sur la construction d'une fonction lisse de type jauge, où lisse est entendu dans le sens horizontal/vertical (plutôt que Fréchet). Afin de rendre la présentation plus lisible, nous abordons l'équation de la chaleur dépendant du chemin, ce qui simplifie en particulier le lissage de sa solution "candidate" naturelle. Enfin, concernant la partie existence, nous fournissons une nouvelle preuve de la formule d'Itô fonctionnelle sous des hypothèses générales, étendant des résultats antérieurs dans la littérature.

Le but de ce travail est l'introduction d'une solution de type viscosité, appelée solution de forte viscosité pour la distinguer de la solution classique, avec les particularités suivantes : c'est un objet purement analytique. elle peut être facilement adaptée à des équations plus générales que les équations aux dérivées partielles classiques. Tout d'abord, nous introduisons la notion de solution de forte viscosité pour les équations aux dérivées partielles paraboliques semi-linéaires, en la définissant, en quelques mots, comme la limite ponctuelle des solutions classiques aux équations aux dérivées partielles paraboliques semi-linéaires perturbées. nous la comparons avec la définition standard de la solution de viscosité. Ensuite, nous étendons le concept de solution de forte viscosité au cas des équations aux dérivées partielles paraboliques semilinéaires dépendant du chemin, en fournissant un résultat d'existence et d'unicité.

Nous analysons le comportement asymptotique d'un système d'inégalités quasi variationnelles paraboliques et elliptiques entièrement non linéaires. Ces équations sont liées aux problèmes de contrôle de commutation robuste introduits dans [3]. Nous prouvons que, lorsque l'horizon temporel va vers l'infini (resp. le facteur d'escompte va vers zéro), la solution moyenne à long terme du système parabolique (resp. la solution escomptée limite du système elliptique) est caractérisée par une solution d'un système non linéaire d'inégalités variationnelles ergodiques. Nos résultats sont valables sous une condition de dissipativité et sans aucune hypothèse de non dégénérescence sur le terme de diffusion. Notre approche utilise principalement des arguments probabilistes et en particulier une représentation de jeu aléatoire dual pour la solution du système d'inégalités variationnelles.

Nous fournissons une représentation stochastique pour une classe générale d'équations de Hamilton-Jacobi (HJ) visqueuses, qui ont une convexité et une non-linéarité superlinéaire dans leur terme de gradient, via un type d'équation différentielle stochastique inverse (BSDE) avec une contrainte dans la partie martingale. Nous comparons notre résultat avec la représentation classique en termes de BSDE (super)quadratique, et nous montrons en particulier que l'existence d'une solution à l'équation HJ visqueuse peut être obtenue sous des hypothèses de croissance plus générales sur les coefficients, y compris le coefficient de diffusion non borné et les données terminales.

Nous considérons un problème de commande de commutation robuste. Le contrôleur n'observe que l'évolution du processus d'état, et utilise donc des stratégies de commutation à rétroaction (en boucle fermée), une classe non standard de contrôles de commutation introduite dans cet article. Le joueur adverse (nature) choisit des contrôles en boucle ouverte qui représentent ce qu'on appelle l'incertitude de Knightian, c'est-à-dire les mauvaises spécifications du modèle. Le (demi-)jeu switcher contre nature est alors formulé comme un problème d'optimisation (robuste) en deux étapes. Nous développons la méthode stochastique de Perron dans ce cadre, et prouvons qu'elle produit une sous et une supersolution de viscosité à un système d'inégalités variationnelles de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), qui enveloppe la fonction de valeur. Avec un principe de comparaison, cela caractérise la fonction de valeur du jeu comme la solution unique de viscosité à l'équation HJB, et montre comme sous-produit le principe de programmation dynamique pour le problème de contrôle de commutation à rétroaction robuste.

Nous analysons un problème de contrôle optimal stochastique, où le processus d'état suit une dynamique de McKean-Vlasov et où le coefficient de diffusion peut être dégénéré. Nous prouvons que sa fonction de valeur V admet une représentation non linéaire de Feynman-Kac en termes d'une classe d'équations différentielles stochastiques avant-arrière, avec un processus avant autonome. Nous exploitons cette représentation probabiliste pour prouver rigoureusement le principe de programmation dynamique (DPP) pour V. La représentation de Feynman-Kac que nous obtenons a un rôle important au-delà de son rôle intermédiaire dans l'obtention de notre résultat principal : en fait, elle serait utile pour développer des schémas numériques probabilistes pour V. Le DPP est important pour obtenir une caractérisation de la fonction de valeur comme solution d'une équation différentielle partielle non linéaire (l'équation dite de Hamilton-Jacobi-Belman), dans ce cas sur l'espace de Wasserstein des mesures. Il convient de noter que la manière habituelle de résoudre ces équations est le principe du maximum de Pontryagin, qui nécessite certaines hypothèses de convexité. Il y a eu des tentatives d'utilisation de l'approche de programmation dynamique auparavant, mais ces travaux supposaient a priori que les contrôles étaient de type rétroaction markovienne, ce qui permet d'écrire le problème uniquement en termes de distribution du processus d'état (et le problème de contrôle devient un problème déterministe). Dans cet article, nous considérons des commandes en boucle ouverte et nous dérivons le principe de programmation dynamique dans ce cas le plus général. Afin d'obtenir la représentation de Feynman-Kac et le principe de programmation dynamique randomisé, nous mettons en œuvre la méthode dite de randomisation, qui consiste à formuler un nouveau problème de contrôle de McKean-Vlasov, exprimé sous forme faible en prenant le supremum sur une famille de mesures de probabilité équivalentes. L'un des principaux résultats de l'article est la preuve que ce dernier problème de contrôle a la même fonction de valeur V que le problème de contrôle original.

Les EDP dépendant du chemin (EDPP) sont des objets naturels à étudier lorsque l'on traite de modèles non markoviens. Récemment, après l'introduction (voir [12]) du calcul dit pathwise (ou fonctionnel ou Dupire), plusieurs articles ont été consacrés à l'étude du caractère bien posé de ce type d'équations, tant du point de vue des solutions régulières (voir par exemple [18]) que des solutions de viscosité (voir par exemple [13]), dans le cas d'un espace sous-jacent de dimension finie. Dans cet article, motivé par l'étude de modèles pilotés par des EDP stochastiques dépendant du chemin, nous donnons un premier résultat de bien-posé pour les solutions de viscosité des EDP lorsque l'espace sous-jacent est un espace de Hilbert de dimension infinie. La preuve nécessite une modification substantielle de l'approche suivie dans le cas de la dimension finie. Nous observons également que, différemment du cas en dimension finie, notre résultat de bien-posé, même dans le cas markovien, s'applique à des équations qui ne peuvent pas être traitées, jusqu'à présent, avec la théorie connue des solutions de viscosité.

Nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques rétrospectives réfléchies avec sauts non positifs et barrière supérieure. L'existence et l'unicité d'une solution minimale sont prouvées par une approche de double péna\-lisation sous des hypothèses de régularité sur l'obstacle. Dans un cadre de diffusion à changement de régime approprié, nous montrons la connexion entre notre classe de BSDEs et les inégalités variationnelles entièrement non linéaires. Notre représentation BSDE fournit en particulier une formule de type Feynman-Kac pour les EDP associées aux jeux différentiels stochastiques généraux à somme nulle de type controller-and-stopper, où le contrôle affecte à la fois la dérive et le terme de diffusion, et où le coefficient de diffusion peut être dégénéré. De plus, nous énonçons une formule de jeu double de cette solution minimale BSDE impliquant un changement équivalent des mesures de probabilité et des processus d'escompte. Cela donne en particulier une nouvelle représentation pour les jeux différentiels stochastiques à somme nulle de type controller-and-stopper.

Nous nous intéressons aux problèmes de contrôle stochastique issus de la finance mathématique et, en particulier, liés à l'incertitude des modèles, où l'incertitude affecte à la fois la volatilité et l'intensité. Ce type de problèmes de contrôle stochastique est associé à une équation différentielle intégro-partielle entièrement non linéaire, qui présente la particularité que la mesure $(\lambda(a,\cdot))_a$ caractérisant la partie saut n'est pas fixe mais dépend d'un paramètre $a$ qui vit dans un ensemble compact $A$ d'un espace euclidien $\R^q$. Nous ne supposons pas que la famille $(\lambda(a,\cdot))_a$ soit dominée. De plus, la partie diffusive peut être dégénérée. Notre objectif est de donner une représentation BSDE, dite formule de Feynman-Kac non linéaire, pour la fonction de valeur associée à ces problèmes de contrôle. Pour cela, nous introduisons une classe d'équations différentielles stochastiques rétroactives avec sauts et partie diffusive partiellement contrainte. Nous cherchons la solution minimale de cette famille de BSDEs, pour laquelle nous prouvons l'unicité et l'existence au moyen d'un argument de pénalisation. Nous montrons ensuite que la solution minimale de notre BSDE fournit l'unique solution de viscosité à notre équation différentielle intégro-partielle entièrement non linéaire.