Représentation SDE rétrograde pour les problèmes de contrôle stochastique avec intensité contrôlée non dominée.

Résumé Nous nous intéressons aux problèmes de contrôle stochastique issus de la finance mathématique et, en particulier, liés à l'incertitude des modèles, où l'incertitude affecte à la fois la volatilité et l'intensité. Ce type de problèmes de contrôle stochastique est associé à une équation différentielle intégro-partielle entièrement non linéaire, qui présente la particularité que la mesure $(\lambda(a,\cdot))_a$ caractérisant la partie saut n'est pas fixe mais dépend d'un paramètre $a$ qui vit dans un ensemble compact $A$ d'un espace euclidien $\R^q$. Nous ne supposons pas que la famille $(\lambda(a,\cdot))_a$ soit dominée. De plus, la partie diffusive peut être dégénérée. Notre objectif est de donner une représentation BSDE, dite formule de Feynman-Kac non linéaire, pour la fonction de valeur associée à ces problèmes de contrôle. Pour cela, nous introduisons une classe d'équations différentielles stochastiques rétroactives avec sauts et partie diffusive partiellement contrainte. Nous cherchons la solution minimale de cette famille de BSDEs, pour laquelle nous prouvons l'unicité et l'existence au moyen d'un argument de pénalisation. Nous montrons ensuite que la solution minimale de notre BSDE fournit l'unique solution de viscosité à notre équation différentielle intégro-partielle entièrement non linéaire.