Solutions de viscosité crandall-lions pour les pdes dépendant du chemin : le cas de l'équation de la chaleur.

Résumé Nous nous intéressons au développement d'une théorie des solutions de viscosité à la Crandall-Lions pour les équations aux dérivées partielles (EDP) dépendantes du chemin, à savoir les EDP dans l'espace des chemins continus C([0, T ]. R^d). Les EDP dépendantes du chemin peuvent jouer un rôle central dans l'étude de certaines classes de problèmes de contrôle optimal, comme par exemple les problèmes de contrôle optimal avec retard. Typiquement, ils n'admettent pas une solution lisse satisfaisant l'équation HJB correspondante au sens classique, il est donc naturel de chercher une notion de solution plus faible. Bien que d'autres notions de solution généralisée aient été proposées dans la littérature, l'extension du cadre de Crandall-Lions au cadre dépendant du chemin reste un problème ouvert. La question de l'unicité des solutions, qui est la question la plus délicate, sera basée sur les premières idées de la théorie des solutions de viscosité et une variante appropriée du principe variationnel d'Ekeland. Cette dernière est basée sur la construction d'une fonction lisse de type jauge, où lisse est entendu dans le sens horizontal/vertical (plutôt que Fréchet). Afin de rendre la présentation plus lisible, nous abordons l'équation de la chaleur dépendant du chemin, ce qui simplifie en particulier le lissage de sa solution "candidate" naturelle. Enfin, concernant la partie existence, nous fournissons une nouvelle preuve de la formule d'Itô fonctionnelle sous des hypothèses générales, étendant des résultats antérieurs dans la littérature.