Equation principale de Bellman dans l'espace de Wasserstein : Unicité des solutions de viscosité.

Résumé Nous étudions l'équation de Bellman dans l'espace de Wasserstein qui apparaît dans l'étude des problèmes de contrôle du champ moyen, à savoir les problèmes de contrôle optimal stochastique pour les processus de diffusion de McKean-Vlasov. En utilisant la notion standard de solution de viscosité à la Crandall-Lions étendue à notre cadre de Wasserstein, nous prouvons un résultat de comparaison sous des conditions générales, qui, couplé au principe de programmation dynamique, implique que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Bellman maître. Il s'agit du premier résultat d'unicité dans un tel contexte du second ordre. Les arguments classiques utilisés dans les cas standard d'équations dans des espaces à dimensions finies ou dans des espaces de Hilbert séparables à dimensions infinies ne s'étendent pas au présent cadre, en raison de la nature maladroite de l'espace de Wasserstein sous-jacent. La stratégie adoptée est basée sur des approximations en dimension finie de la fonction de valeur obtenue en termes de jeu coopératif à n joueurs, et sur la construction d'une fonction de type jauge lisse, construite à partir d'une régularisation d'une estimation sharpe de la métrique de Wasserstein. Une telle fonction de type jauge est utilisée pour générer des maxima/minima par une extension appropriée de la généralisation de Borwein-Preiss du principe variationnel d'Ekeland sur l'espace de Wasserstein.