Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman dépendant du chemin : Unicité des solutions de viscosité de Crandall-Lions.

Résumé Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de viscosité de Crandall-Lions des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman dans l'espace des chemins continus, associées au contrôle optimal des EDS dépendant du chemin. Ceci semble être le premier résultat d'unicité dans un tel contexte. Plus précisément, comme dans l'article fondateur de P.L. Lions, la preuve de notre résultat principal, c'est-à-dire le théorème de comparaison, est basée sur le fait que la fonction de valeur est plus grande que toute sous-solution de viscosité et plus petite que toute supersolution de viscosité. Un tel résultat, couplé à la preuve que la fonction de valeur est une solution de viscosité (basée sur le principe de programmation dynamique, que nous prouvons), implique que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La preuve du théorème de comparaison dans l'article de P.L. Lions, repose sur des résultats de régularité qui manquent dans le présent contexte infini-dimensionnel, ainsi que sur la compacité locale de l'espace sous-jacent fini-dimensionnel. Nous surmontons ces difficultés techniques non triviales en introduisant une procédure d'approximation appropriée et une fonction lisse de type jauge, qui permet de générer des maxima et des minima par une version appropriée de la généralisation de Borwein-Preiss du principe variationnel d'Ekeland sur l'espace des chemins continus.