Contrôle linéaire--quadratique pour une classe d'équations stochastiques de Volterra : solvabilité et approximation.

Résumé Nous fournissons un traitement exhaustif des problèmes de contrôle linéaire-quadratique pour une classe d'équations stochastiques de Volterra de type convolution, dont les noyaux sont des transformées de Laplace de certaines mesures matricielles signées qui ne sont pas nécessairement finies. Ces équations ne sont en général ni markoviennes ni semimartingales, et incluent le mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst inférieur à $1/2$ comme cas particulier. Nous établissons la correspondance du problème initial avec un problème markovien de dimension éventuellement infinie dans un espace de Banach, ce qui nous permet d'identifier les variables d'état contrôlées markoviennes. En utilisant un argument raffiné de vérification des martingales combiné à une technique de complétion des carrés, nous prouvons que la fonction de valeur est de forme quadratique linéaire dans ces variables d'état avec un contrôle optimal linéaire par rétroaction, dépendant d'équations de Riccati non standard évaluées dans un espace de Banach. De plus, nous montrons que la fonction de valeur du problème d'optimisation stochastique de Volterra peut être approximée par celle des problèmes classiques markoviens linéaires quadratiques de dimension finie, ce qui est d'une importance cruciale pour la mise en œuvre numérique.