Quelques schémas d'apprentissage automatique pour les EDP non linéaires de haute dimension.

Résumé Nous proposons de nouveaux schémas d'apprentissage automatique pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP) non linéaires de haute dimension. S'appuyant sur la représentation classique d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE) des EDP, nos algorithmes estiment simultanément la solution et son gradient par des réseaux neuronaux profonds. Ces approximations sont réalisées à chaque pas de temps à partir de la minimisation de fonctions de perte définies récursivement par rétro-induction. La méthodologie est étendue aux inégalités variationnelles qui apparaissent dans les problèmes d'arrêt optimal. Nous analysons la convergence des schémas d'apprentissage profond et fournissons des estimations d'erreur en termes d'approximation universelle des réseaux neuronaux. Les résultats numériques montrent que nos algorithmes donnent de très bons résultats jusqu'à la dimension 50 (et certainement au-delà), à la fois pour les problèmes d'EDP et d'inégalités variationnelles. Pour la résolution des EDP, nos résultats sont très similaires à ceux obtenus par la méthode récente de \cite{weinan2017deep} lorsque cette dernière converge vers la bonne solution ou ne diverge pas. Les tests numériques indiquent que les méthodes proposées ne sont pas bloquées dans des minima locaux pauvres comme cela peut être le cas avec l'algorithme conçu dans \cite{weinan2017deep}, et aucune divergence n'est expérimentée. La seule limite semble être due à l'incapacité des réseaux neuronaux profonds considérés à représenter une solution avec une structure trop complexe en haute dimension.