DeepSets et leurs réseaux dérivés pour la résolution d'EDP symétriques *.

Résumé Les méthodes d'apprentissage automatique pour la résolution d'équations différentielles partielles (EDP) non linéaires sont des sujets d'actualité brûlants, et différents algorithmes proposés dans la littérature montrent une approximation numérique efficace en haute dimension. Dans cet article, nous introduisons une classe d'EDP invariantes aux permutations, appelées EDP symétriques. De tels problèmes sont très répandus, allant de la cosmologie à la mécanique quantique, en passant par l'évaluation et la couverture des options sur un marché multi-actifs avec des gains échangeables. Notre principale application provient en fait de l'approximation par les particules des problèmes de contrôle du champ moyen. Nous concevons des algorithmes d'apprentissage profond basés sur certains types de réseaux neuronaux, nommés PointNet et DeepSet (et leurs réseaux dérivés associés), pour calculer simultanément une approximation de la solution et son gradient aux EDP symétriques. Nous illustrons la performance et la précision des réseaux PointNet/DeepSet par rapport aux réseaux feedforward classiques, et fournissons plusieurs résultats numériques de notre algorithme pour les exemples d'un risque systémique à champ moyen, d'un problème de variance moyenne et d'un problème de contrôle McKean-Vlasov linéaire quadratique min/max.