Mouvement brownien faux et calibration d'un modèle de volatilité locale à changement de régime.

Résumé Par le théorème de Gyongy, un modèle de volatilité locale et stochastique est calibré aux prix du marché de toutes les options d'achat avec des maturités et des strike positifs si sa fonction de volatilité locale est égale au rapport de la fonction de volatilité locale de Dupire sur la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique étant donné la valeur au comptant. Ceci conduit à une SDE non linéaire au sens de McKean. Les méthodes particulaires basées sur une approximation par noyau de l'espérance conditionnelle, telles que présentées par Guyon et Henry-Labordière (2011), fournissent une procédure de calibration efficace même si certaines erreurs de calibration peuvent apparaître lorsque la plage du facteur de volatilité stochastique est très large. Mais jusqu'à présent, aucun résultat d'existence n'est disponible pour les EDD non linéaires au sens de McKean. Dans le cas particulier où la fonction de volatilité locale est égale à l'inverse de la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique multiplié par la valeur au comptant donnée par cette valeur et où le taux d'intérêt est nul, la solution de l'EDD est un faux mouvement brownien. Lorsque le facteur de volatilité stochastique est une variable aléatoire constante (dans le temps) prenant un nombre fini de valeurs et que l'intervalle de son carré n'est pas trop grand, nous prouvons l'existence de l'équation de Fokker-Planck associée. Grâce à Figalli (2008), nous déduisons ensuite l'existence d'une nouvelle classe de fausses motions browniennes. Nous étendons ensuite ces résultats au cas particulier du modèle LSV appelé Regime Switching Local Volatility, où le facteur de volatilité stochastique est un processus de saut prenant un nombre fini de valeurs et dont l'intensité des sauts dépend du niveau du spot. Sous la même condition sur l'étendue de son carré, nous prouvons l'existence de l'EDP de Fokker-Planck associée. Nous déduisons ensuite l'existence du modèle calibré en étendant les résultats de Figalli (2008).