Approximation des couplages martingales sur la ligne dans la topologie adaptée faible.

Résumé Notre résultat principal consiste à établir la stabilité des couplages martingaux : supposons que $\pi$ est un couplage martingal avec des marginaux $\mu, \nu$. Alors, étant donné des mesures marginales approximatives $\tilde \mu \approx \mu, \tilde \nu\approx \nu$ dans un ordre convexe, nous montrons qu'il existe un couplage martingale approximatif $\tilde\pi \approx \pi$ avec des marginales $\tilde \mu, \tilde \nu$. En finance mathématique, les prix des options d'achat et de vente européennes fournissent des informations sur les mesures marginales des mesures de prix sans arbitrage. Le résultat ci-dessus affirme que de faibles variations des prix des options d'achat et de vente n'entraînent que de faibles variations du niveau des mesures de prix sans arbitrage. Bien que ces faits aient été anticipés depuis un certain temps, la preuve réelle nécessite des résultats de stabilité quelque peu complexes pour la distance de Wasserstein adaptée. Le résultat a notamment des conséquences pour plusieurs problèmes connexes. Plus précisément, il est pertinent pour les approximations numériques, il conduit à une nouvelle preuve du principe de monotonicité du transport optimal de martingale et il implique la stabilité du transport optimal de martingale faible ainsi que l'encastrement optimal de Skorokhod. Du côté de la finance mathématique, cela donne la continuité du problème de l'évaluation robuste des options exotiques et des options VIX par rapport aux données du marché. Ces applications seront détaillées dans deux articles complémentaires.