MARGHERITI William

Nous nous intéressons aux couplages de réarrangement martingal. Comme introduit par Wiesel [37] afin de prouver la stabilité des problèmes de transport optimal de Martingale, ce sont des projections dans la distance de Wasserstein adaptée des couplages entre deux mesures de probabilité sur la ligne réelle dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages de martingale entre ces deux marginaux. En raison du manque de compacité relative de l'ensemble des couplages avec des marginales données pour la topologie de Wasserstein adaptée, l'existence d'une telle projection n'est pas du tout claire. Sous une hypothèse de dispersion du barycentre sur le couplage original, qui est en particulier satisfaite par le couplage de Hoeffding-Fr'echet ou comonotone, Wiesel donne une construction algorithmique claire d'un réarrangement martingale lorsque les marginaux sont supportés de manière finie, puis se débarrasse de l'hypothèse de support fini en s'appuyant sur une procédure de limitation plutôt désordonnée pour surmonter le manque de compacité relative. Ici, nous donnons une construction générale directe d'un couplage de réarrangement de martingale sous l'hypothèse de dispersion du barycentre. Ce réarrangement martingal est obtenu à partir du couplage original par une approche similaire à la construction que nous avons donnée dans [24] du couplage martingal à transformation inverse, un membre d'une famille de couplages martingaux proches du couplage de Hoeffding-Fr'echet, mais pour une injection légèrement différente dans l'ensemble des couplages étendus introduits par Beiglb'ock et Juillet [9] et qui impliquent la distribution uniforme sur [0, 1] en plus des deux marginaux. Nous discutons enfin de la stabilité en distance de Wassertein adaptée du couplage martingale à transformation inverse par rapport aux distributions marginales.

Notre résultat principal consiste à établir la stabilité des couplages martingaux : supposons que $\pi$ est un couplage martingal avec des marginaux $\mu, \nu$. Alors, étant donné des mesures marginales approximatives $\tilde \mu \approx \mu, \tilde \nu\approx \nu$ dans un ordre convexe, nous montrons qu'il existe un couplage martingale approximatif $\tilde\pi \approx \pi$ avec des marginales $\tilde \mu, \tilde \nu$. En finance mathématique, les prix des options d'achat et de vente européennes fournissent des informations sur les mesures marginales des mesures de prix sans arbitrage. Le résultat ci-dessus affirme que de faibles variations des prix des options d'achat et de vente n'entraînent que de faibles variations du niveau des mesures de prix sans arbitrage. Bien que ces faits aient été anticipés depuis un certain temps, la preuve réelle nécessite des résultats de stabilité quelque peu complexes pour la distance de Wasserstein adaptée. Le résultat a notamment des conséquences pour plusieurs problèmes connexes. Plus précisément, il est pertinent pour les approximations numériques, il conduit à une nouvelle preuve du principe de monotonicité du transport optimal de martingale et il implique la stabilité du transport optimal de martingale faible ainsi que l'encastrement optimal de Skorokhod. Du côté de la finance mathématique, cela donne la continuité du problème de l'évaluation robuste des options exotiques et des options VIX par rapport aux données du marché. Ces applications seront détaillées dans deux articles complémentaires.

Alors que de nombreuses questions en finance (robuste) peuvent être posées dans le cadre du transport optimal des martingales (MOT), d'autres nécessitent de considérer également des fonctions de coût non linéaires. Selon la terminologie de Gozlan, Roberto, Samson et Tetali, cela correspond au transport optimal martingal faible (WMOT). Dans cet article, nous établissons la stabilité du WMOT, ce qui est important puisque les données financières ne peuvent donner que des informations imprécises sur les marginales sous-jacentes. Comme application, nous déduisons la stabilité de la limite de superréplication pour les futures VIX ainsi que la stabilité du mouvement brownien étiré et nous dérivons un principe de monotonicité pour WMOT.

On sait depuis [24] que deux mesures de probabilité unidimensionnelles dans l'ordre convexe admettent un couplage martingale par rapport auquel l'intégrale de $\vert x-y\vert$ est inférieure à deux fois leur $\mathcal W_1$-distance (distance de Wasserstein avec l'indice $1$). Nous avons montré dans [24] que le remplacement de $\vert x-y\vert$ et $\mathcal W_1$ respectivement par $\vert x-y\vert^\rho$ et $\mathcal W_\rho^\rho$ ne conduit pas à une constante multiplicative finie. Nous montrons ici qu'une constante finie est retrouvée en remplaçant $\mathcal W_\rho^\rho$ par le produit de $\mathcal W_\rho$ par le $\rho$-ième moment centré du second marginal à la puissance $\rho-1$. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à une dimension supérieure.

Cette thèse est motivée par l'étude de la stabilité du problème de transport optimal martingale, et s'articule naturellement autour de deux parties. Dans la première partie, nous exhibons une nouvelle famille de couplages martingale entre deux mesures de probabilités unidimensionnelles μ et ν comparables dans l'ordre convexe. Cette famille contient en particulier le couplage martingale transformée inverse, qui est explicite en termes des fonctions quantiles des marginales. L'intégrale M_1(μ,ν) de |x-y| contre chacun de ces couplages est majorée par le double de la distance de Wasserstein W_1(μ,ν) entre μ et ν. Nous montrons une inégalité similaire lorsque |x-y| et W_1 sont respectivement remplacés par |x-y|^ρ et le produit de W_ρ par le moment centré d'ordre ρ de la seconde marginale élevé à l'exposant ρ-1, pour ρ∈[1,+∞[ quelconque. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à la dimension supérieure. Enfin, nous établissons une forte connexion entre notre nouvelle famille de couplages martingale et la projection d'un couplage entre deux marginales données comparables dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages martingale entre ces mêmes marginales. Cette dernière projection est prise par rapport à la distance de Wasserstein adaptée, qui majore la distance de Wasserstein usuelle et induit donc une topologie plus fine et mieux adaptée pour la modélisation financière, puisqu'elle prend en compte la structure temporelle des martingales. Dans la seconde partie, nous prouvons que tout couplage martingale dont les marginales sont approchées par des mesures de probabilité comparables dans l'ordre convexe peut être lui-même approché par des couplages martingale au sens de la distance de Wasserstein adaptée. Nous traitons ensuite d'applications variées de ce résultat. En particulier, nous renforçons un résultat de stabilité portant sur le problème de transport faible optimal et établissons un résultat de stabilité pour le problème de transport faible optimal martingale.

Cette thèse est motivée par l'étude de la stabilité du problème de transport optimal martingale, et s'articule naturellement autour de deux parties. Dans la première partie, nous exhibons une nouvelle famille de couplages martingale entre deux mesures de probabilités unidimensionnelles μ et ν comparables dans l'ordre convexe. Cette famille contient en particulier le couplage martingale transformée inverse, qui est explicite en termes des fonctions quantiles des marginales. L'intégrale M_1(μ,ν) de |x-y| contre chacun de ces couplages est majorée par le double de la distance de Wasserstein W_1(μ,ν) entre μ et ν. Nous montrons une inégalité similaire lorsque |x-y| et W_1 sont respectivement remplacés par |x-y|^ρ et le produit de W_ρ par le moment centré d'ordre ρ de la seconde marginale élevé à l'exposant ρ-1, pour ρ∈[1,+∞[ quelconque. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à la dimension supérieure. Enfin, nous établissons une forte connexion entre notre nouvelle famille de couplages martingale et la projection d'un couplage entre deux marginales données comparables dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages martingale entre ces mêmes marginales. Cette dernière projection est prise par rapport à la distance de Wasserstein adaptée, qui majore la distance de Wasserstein usuelle et induit donc une topologie plus fine et mieux adaptée pour la modélisation financière, puisqu'elle prend en compte la structure temporelle des martingales. Dans la seconde partie, nous prouvons que tout couplage martingale dont les marginales sont approchées par des mesures de probabilité comparables dans l'ordre convexe peut être lui-même approché par des couplages martingale au sens de la distance de Wasserstein adaptée. Nous traitons ensuite d'applications variées de ce résultat. En particulier, nous renforçons un résultat de stabilité portant sur le problème de transport faible optimal et établissons un résultat de stabilité pour le problème de transport faible optimal martingale. Nous en déduisons la stabilité par rapport aux marginales du prix de sur-réplication de contrats à termes sur le VIX.