One dimensional martingale rearrangement couplings.

Résumé Nous nous intéressons aux couplages de réarrangement martingal. Comme introduit par Wiesel [37] afin de prouver la stabilité des problèmes de transport optimal de Martingale, ce sont des projections dans la distance de Wasserstein adaptée des couplages entre deux mesures de probabilité sur la ligne réelle dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages de martingale entre ces deux marginaux. En raison du manque de compacité relative de l'ensemble des couplages avec des marginales données pour la topologie de Wasserstein adaptée, l'existence d'une telle projection n'est pas du tout claire. Sous une hypothèse de dispersion du barycentre sur le couplage original, qui est en particulier satisfaite par le couplage de Hoeffding-Fr'echet ou comonotone, Wiesel donne une construction algorithmique claire d'un réarrangement martingale lorsque les marginaux sont supportés de manière finie, puis se débarrasse de l'hypothèse de support fini en s'appuyant sur une procédure de limitation plutôt désordonnée pour surmonter le manque de compacité relative. Ici, nous donnons une construction générale directe d'un couplage de réarrangement de martingale sous l'hypothèse de dispersion du barycentre. Ce réarrangement martingal est obtenu à partir du couplage original par une approche similaire à la construction que nous avons donnée dans [24] du couplage martingal à transformation inverse, un membre d'une famille de couplages martingaux proches du couplage de Hoeffding-Fr'echet, mais pour une injection légèrement différente dans l'ensemble des couplages étendus introduits par Beiglb'ock et Juillet [9] et qui impliquent la distribution uniforme sur [0, 1] en plus des deux marginaux. Nous discutons enfin de la stabilité en distance de Wassertein adaptée du couplage martingale à transformation inverse par rapport aux distributions marginales.