Schéma Ninomiya-Victoir : convergence forte, version antithétique et application aux estimateurs multiniveaux.

Résumé Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir qui est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Nous prouvons la convergence forte avec l'ordre 1/2. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma soit à chaque niveau, soit uniquement au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux : en effet, la variance d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux est liée à l'erreur forte entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma permettant de construire un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux atteignant la complexité optimale ${\mathcal O}(\epsilon^{-2})$ pour la précision $\epsilon$. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié, qui peut être fortement couplé avec l'ordre 1 au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux. Des expériences numériques montrent que ce choix améliore l'efficacité, puisque l'ordre 2 de convergence faible du schéma de Ninomiya-Victoir permet de réduire le nombre de niveaux de discrétisation.