AL GERBI Anis

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Dans cet article, nous résumons les résultats concernant le fort taux de convergence du schéma de Ninomiya-Victoir et la convergence stable en loi de son erreur normalisée que nous avons obtenus dans des articles précédents. Nous rappelons ensuite les propriétés des estimateurs Monte Carlo multiniveaux impliquant ce schéma que nous avons introduits et étudiés auparavant. Enfin, nous nous intéressons à l'erreur introduite par la discrétisation des équations différentielles ordinaires impliquées dans le schéma de Ninomiya-Victoir. Nous prouvons que cette erreur converge avec un ordre fort 2 lorsqu'une méthode Runge-Kutta explicite d'ordre 4 (resp. 2) est utilisée pour les ODEs correspondant aux champs vectoriels browniens (resp. Stratonovich drift). Nous relaxons donc l'ordre 5 pour les ODEs Browniennes nécessaires par Ninomiya et Ninomiya (2009) pour obtenir le même ordre de forte convergence. De plus, les propriétés de nos estimateurs Monte-Carlo multiniveaux sont préservées lorsque ces méthodes Runge-Kutta sont utilisées.

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir. Les auteurs de ce schéma proposent d'approcher la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS), notée $X$, en résolvant $d+1$ équations différentielles ordinaires (EDOs) sur chaque pas de temps, où $d$ est la dimension du mouvement brownien. Le but de cette étude est d'analyser l'utilisation de ce schéma dans une méthode de Monte-Carlo multi-pas. En effet, la complexité optimale de cette méthode est dirigée par l'ordre de convergence vers $0$ de la variance entre les schémas utilisés sur la grille grossière et sur la grille fine. Cet ordre de convergence est lui-même lié à l'ordre de convergence fort entre les deux schémas. Nous montrons alors dans le chapitre $2$, que l'ordre fort du schéma de Ninomiya-Victoir, noté $X^{NV,eta}$ et de pas de temps $T/N$, est $1/2$. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité $Oleft(epsilon^{-2}right)$ à l'aide d'un schéma de Milstein modifié. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié qui peut-être couplé à l'ordre fort $1$ avec le schéma de Giles et Szpruch au dernier niveau d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas. Cette idée est inspirée de Debrabant et Rossler. Ces auteurs suggèrent d'utiliser un schéma d'ordre faible élevé au niveau de discrétisation le plus fin. Puisque le nombre optimal de niveaux de discrétisation d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas est dirigé par l'erreur faible du schéma utilisé sur la grille fine du dernier niveau de discrétisation, cette technique permet d'accélérer la convergence de la méthode Monte-Carlo multi-pas en obtenant une approximation d'ordre faible élevé. L'utilisation du couplage à l'ordre $1$ avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet ainsi de garder un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité optimale $Oleft( epsilon^{-2} right)$ tout en profitant de l'erreur faible d'ordre $2$ du schéma de Ninomiya-Victoir. Dans le troisième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'erreur renormalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$. Nous montrons la convergence en loi stable vers la solution d'une EDS affine, dont le terme source est formé des crochets de Lie entre les champs de vecteurs browniens. Ainsi, lorsqu'au moins deux champs de vecteurs browniens ne commutent pas, la limite n'est pas triviale. Ce qui assure que l'ordre fort $1/2$ est optimal. D'autre part, ce résultat peut être vu comme une première étape en vue de prouver un théorème de la limite centrale pour les estimateurs Monte-Carlo multi-pas. Pour cela, il faut analyser l'erreur en loi stable du schéma entre deux niveaux de discrétisation successifs. Ben Alaya et Kebaier ont prouvé un tel résultat pour le schéma d'Euler. Lorsque les champs de vecteurs browniens commutent, le processus limite est nul. Nous montrons que dans ce cas précis, que l'ordre fort est $1$. Dans le chapitre 4, nous étudions la convergence en loi stable de l'erreur renormalisée $Nleft(X - X^{NV}right)$ où $X^{NV}$ est le schéma de Ninomiya-Victoir lorsque les champs de vecteurs browniens commutent. Nous démontrons la convergence du processus d'erreur renormalisé vers la solution d'une EDS affine. Lorsque le champ de vecteurs dritf ne commute pas avec au moins un des champs de vecteurs browniens, la vitesse de convergence forte obtenue précédemment est optimale.

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir, qui est basé sur la résolution de $d+1$ équations différentielles ordinaires (ODE) à chaque pas de temps, pour approximer la solution d'une équation différentielle stochastique (SDE), où $d$ est la dimension du brownien. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma dans un estimateur Monte Carlo multi-niveaux. En effet, la complexité optimale de cette méthode est déterminée par l'ordre de convergence vers zéro de la variance entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau, ce qui est lié à l'ordre de convergence forte entre les deux schémas. Dans le deuxième chapitre, nous prouvons la convergence forte avec l'ordre $1/2$ du schéma de Ninomiya-Victoir $X^{NV,eta}$, avec un pas de temps $T/N$, vers la solution $X$ de l'EDS limite. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma de Milstein modifié et sa version antithétique, basés sur la permutation de chaque paire successive d'incréments browniens dans le schéma, permettant de construire un estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux atteignant la complexité optimale $Oleft(epsilon^{-2}right)$ pour la précision $epsilon$, comme dans une méthode de Monte Carlo simple avec des variables aléatoires sans biais indépendantes et identiquement distribuées. Dans le même esprit, nous proposons un schéma modifié de Ninomiya-Victoir, qui peut être fortement couplé avec un ordre $1$ au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux. Cette idée est inspirée par Debrabant et R "ossler qui suggèrent d'utiliser un schéma avec un ordre élevé de convergence faible sur la grille la plus fine au niveau le plus fin de la méthode de Monte Carlo multiniveau. Comme le nombre optimal de niveaux de discrétisation est lié à l'ordre faible du schéma utilisé sur la grille la plus fine au niveau le plus fin, Debrabant et R "ossler parviennent à réduire le temps de calcul en diminuant le nombre de niveaux de discrétisation. Le couplage avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet de combiner les deux idées. De cette façon, nous préservons la complexité optimale $Oleft(epsilon^{-2}right)$ et nous réduisons le temps de calcul, puisque le schéma de Ninomiya-Victoir est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Dans le troisième chapitre, nous vérifions que l'erreur normalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$ converge vers une EDS affine avec des termes sources impliquant les brackets de Lie entre les champs vectoriels browniens. Ce résultat assure que le taux de convergence forte est en fait de $1/2$ quand au moins deux champs de vecteurs browniens ne commuent pas. Pour relier ce résultat à l'estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux, on peut considérer comme une première étape l'adaptation au schéma de Ninomiya-Victoir du théorème central limite de type Lindeberg-Feller, dérivé récemment par Ben Alaya et Kebaier pour l'estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux basé sur le schéma d'Euler. Lorsque les champs vectoriels browniens commuent, la limite disparaît. Nous prouvons alors la convergence forte avec l'ordre $1$ dans ce cas. Le quatrième chapitre traite de la convergence du processus d'erreur normalisé $Nleft(X - X^{NV}right)$, où $X^{NV}$ est le Ninomiya-Victoir dans le cas commutatif. Nous prouvons sa convergence stable en droit vers un SDE affine avec des termes sources impliquant les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens et le champ vectoriel de dérive. Ce résultat assure que le taux de convergence forte est effectivement de $1$ lorsque les champs vectoriels browniens commuent, mais qu'au moins l'un d'entre eux ne commute pas avec le champ vectoriel de dérive de Stratonovich Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir.

Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir qui est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Nous prouvons la convergence forte avec l'ordre 1/2. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma soit à chaque niveau, soit uniquement au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux : en effet, la variance d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux est liée à l'erreur forte entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma permettant de construire un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux atteignant la complexité optimale ${\mathcal O}(\epsilon^{-2})$ pour la précision $\epsilon$. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié, qui peut être fortement couplé avec l'ordre 1 au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux. Des expériences numériques montrent que ce choix améliore l'efficacité, puisque l'ordre 2 de convergence faible du schéma de Ninomiya-Victoir permet de réduire le nombre de niveaux de discrétisation.

Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir qui est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Nous prouvons la convergence forte avec l'ordre 1/2. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma soit à chaque niveau, soit uniquement au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux : en effet, la variance d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux est liée à l'erreur forte entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma permettant de construire un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux atteignant la complexité optimale O(ϵ-2) pour la précision ϵ. Dans le même esprit, nous proposons un schéma modifié de Ninomiya-Victoir, qui peut être fortement couplé avec un ordre 1 au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux. Des expériences numériques montrent que ce choix améliore l'efficacité, puisque l'ordre 2 de convergence faible du schéma de Ninomiya-Victoir permet de réduire le nombre de niveaux de discrétisation.

Dans un travail précédent, nous avons prouvé la forte convergence à l'ordre 1 du schéma de Ninomiya-Victoir $X^{\rm NV}$ avec un pas de temps $T/N$ vers la solution $X$ de l'EDS limite lorsque les champs vectoriels browniens commuent. Dans cet article, nous prouvons que le processus d'erreur normalisé $N(X-X^{\rm NV})$ converge vers une EDS affine avec des termes sources impliquant les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens et le champ vectoriel de dérive. Ce résultat garantit que le taux de convergence fort est en fait égal à 1 lorsque les champs vectoriels browniens commuent, mais qu'au moins l'un d'entre eux ne commute pas avec le champ vectoriel de dérive. Lorsque tous les champs vectoriels commuent, la limite disparaît. Notre résultat est cohérent avec le fait que le schéma de Ninomiya-Victoir résout l'EDS dans ce cas.