Limites de transport optimal par chemin entre une diffusion unidimensionnelle et son schéma d'Euler.

Résumé Dans le présent article, nous prouvons que la distance de Wasserstein sur l'espace des chemins d'échantillonnage continus équipés de la norme du supremum entre les lois d'un processus de diffusion unidimensionnel uniformément elliptique et sa discrétisation d'Euler avec $N$ étapes est inférieure à $O(N^{-2/3+\varepsilon})$ où $\varepsilon$ est une constante positive arbitraire. Ce taux est intermédiaire entre l'estimation d'erreur forte en $O(N^{-1/2})$ obtenue en couplant l'équation différentielle stochastique et le schéma d'Euler avec le même mouvement brownien et l'estimation d'erreur faible $O(N^{-1})$ obtenue en comparant les espérances de la même fonction de la diffusion et du schéma d'Euler au temps terminal $T$. Nous vérifions également que le supremum sur $t\in[0,T]$ de la distance de Wasserstein sur l'espace des mesures de probabilité sur la ligne réelle entre les lois de la diffusion au temps $t$ et du schéma d'Euler au temps $t$ se comporte comme $O(\sqrt{\log(N)}N^{-1})$.